> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Так как равенства

Так как равенства

Так как равенства (1), (2) и (3) содержат исчерпывающее определение символа а -+- b (то есть исчерпывающее определение суммы или операции, при помощи которой она вычисляется, — сложения), то все свойства суммы должны в этих равенствах содержаться, или, иначе, должны логически из них вытекать. Грассман показал, что все свойства суммы двух целых чисел действительно можно вывести из соотношений (1) — (3), пользуясь опять-таки законом совершенной индукции. Покажем это на том свойстве суммы, которое известно под названием закона сочетательности (или ассоциативности). Оно выражается равенством:

а + {Ь + е)=(а -|- b) с (I).

При с=0, в силу определения (1), как левая, так и правая часть этого равенства обращается в а -(- Ь; теорема, таким образом, справедлива. При с=1 равенство имеет вид:

« + ( + 1)=(в + )+1 (4>

В силу определения (3) левая часть этого равенства выражает число натурального ряда (а + Ь), то есть следующее за а + b. В силу определения (2) тог же член натурального ряда выражается правой частью равенства. Равенство остается, следовательно, справедливым и при с— 1. Допустим, что оно справедливо при с — и, то есть, чго имеет место равенство:

а + (Ь + п)={а + Ь) + и (5).

Докажем, что теорема справедлива также при с=п- -1, т.-c., что имеет место равенство:

а + “Ь (п + )] — (а + Ь) -+ (п -f- 1) (6).

В силу установленного уже соотношения (4)

ft + (л 4- 1)=(6 + л) -f-1 (7),

а потому

« + № + (л+1)|=в + Р + я)+1| (8).

Из того же соотношения (4) следует:

« +К + Л)+!]=[« +(И-я)]+ 1 (9).

В силу сделанного допущения, которое выражается равенством (5), правая часть последнего равенства равна |(я-|~6)-|- л|-|- 1. Итак, преобразование левой части равенства (6) через соотношения (7), (8) и (9) приводит к равенству:

в + [ + (я+1)]=1(в + Ф + л] + 1 (10).

Согласно тому же соотношению (4)

(а ft) + (л + 1)=[(л -f- ft) + л] 1 (11).

Равенства (10) и (11) показывают, что обе части равенства (6) выражают один и тот же член натурального ряда, а потому равенство это справедливо. Вместе с тем индуктивно но отношению к с доказано соотношение (I), то есть сочетательность суммы. Мы подробно привели это доказательство для того, чтобы отчетливо выяснить, каким образом Грассман применяет метод совершенной индукции. Совершенно тем же путем Грассман устанавливает второй основной закон сложения, который выражается равенствома + Ь=Ь- -а (II)

и известен под названием закона переместительности (или коммутативности). Из этих двух основных законов можно вывести все остальные свойства сложения, заключающиеся в том, что можно слагаемые соединять в какие угодно группы, складывать слагаемые каждой группы в каком угодно порядке, а затем сложить полученные частные суммы; результат (общая сумма) не зависит ни от группировки слагаемых, ни от порядка их расположения в каждой сумме; и это устанавливается индуктивно по отношению к числу слагаемых.

Исчерпав таким образом теорию сложения целых чисел, Грассман переходит к вычитанию. Если а есть число натурального ряда, следующее за 6 или совпадающее с ft, то всегда существует один и только один член натурального ряда х, для которого

α= х- -Ь (12).

Это доказывается индуктивно но отношению к ft. Число х называется разностьючисел а и ft и обозначается символом я—ft; этот символ определяется соотношениемя=(я — ft) -)- ft (13).

Определив таким образом понятие о разности и вычитании, Грассман устанавливает свойства суммы и разности, выражающиеся равенствами:

я (ft — с) — (а + ft) — с я — (ft -f- с) — (а — ft)—с (III). я — (ft — с) — а- - с — b

Отсюда проистекают дальнейшие свойства суммы и разности, выражающиеся известными правилами сложения и вычитания многочленов. Каждый шаг в этой теории неизменно проводится методом совершенной индукции.

Умножение целых чисел Грассман определяет также индуктивно. Прежде всего равенствая-0=0 и я-1=я (14)

представляют собою определения, устанавливающие, что: под произведением натурального числа на нуль мы разумеем нуль; под произведением натурального числа на 1 мы разумеем то же число. За этим следует индуктивное определение, выражаемое равенствомя (я -f- 1)=я и + я (15).

Смысл его заключается в следующем. Предполагая известным, что разумеют под произведением натурального числа я на натуральное число и (то есть я п), оно устанавливает, что мы разумеем под произведением я (я 4- 1); именно, под произведением числа а на число (п -f-1) мы разумеем произведение а и, увеличенное числом а. Из этого определения, неизменно путем совершенной индукции, выводятся три основных свойства умножения: переместительность произведения, сочетательность его и распределительность относительно суммы, которые последовательно выражаются равенствами:

а b — b аа (ft с)=(а ft) с (IV).

a -(b-j-с)=a- b-j-a-c

Из этих свойств выводятся все арифметические преобразования, известные под названием умножения одночленов и многочленов.

Для перехода к делению необходимо установить еще одно очень важное свойство, заключающееся в следующем:

если в-й=0 и а=0, то 6=0 (V);

иными словами, если произведение дву“ множителей равно нулю, то по крайней мере один из сомножителей равен нулю.

Если число а следует за числом b в натуральном ряду, то говорят, что а больше b (в знаках а > Ь) и что Ь меньше а (Ь < а). Из основной теоремы о существовании разности следует, что при а > Ь

α= Ь - - с (16),

где с>0 (ибо при с=0 мы имели бы α= Ь).