> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Так как распределение расстояний между точками может быть сделано совершенно произвольно

Так как распределение расстояний между точками может быть сделано совершенно произвольно

Так как распределение расстояний между точками может быть сделано совершенно произвольно (при самом построении пространства), то возможны пространства, в которых прямолинейное расположение трех точек вовсе не имеет места. Существуютпространства, в которых между одними точками имей 1 ся промежуточные точки а между другими их нет. Существуют пространства, в которых между двумя точками на определенных от них расстояниях есть промежуточные точки, а на других расстояниях — нет. Наконец, существуют пространства, в которых между любыми двумя точками А и В существует промежуточная точка. В соответствии с этим мы можем условиться сделать предметом своего исследования только такие пространства, в которых выполняется следующее требование (постулат):

Постулат I. Между любыми двумя точками А и В, на любом расстоянии, меньшем АВ, от любой из них, имеется промежуточная точка.

Этим постулатом из числа всех возможных пространств выделена очень обширная группа. Подчиняя пространства этой группы новым требованиям, мы будем их все более и более специфицировать,отпечатлевая их особенности. Совокупность точек, обладающих тем свойством, что любые три из них расположены прямолинейно, мы будем называть прямолинейным образом. Пусть А и В будут две точки некоторого пространства, удовлетворяющего первому постулату. Положим, что каждая из точек С и D расположена прямолинейно относительно точек А и В. Образуют ли четыре точки А, В, С и D прямолинейный образе Иными словами, влечет ли то обстоятельство, что точки С и D расположены прямолинейно относительно точек А и В, также прямолинейное расположение точки А относительно С и D и точки В относительно С и Dе Исследование обнаруживает, что иногда это имеет место, иногда нет. Мы можем ограничиться изучением тех пространств, в которых это имеет место, и соответственно этому поставить следующее требование:

Постулат II. Если точки С и D расположены пиямолинейно относительно точек А и В, то и обратно, точки А и В расположены прямолинейно относительно точек С и D.

В пространстве, удовлетворяющем этим двум постулатам, мы будем называть прямой АВ образ, состоящий из двух точек Л и А и всех тех точек пространства, которые расположены прямолинейно относительно А и В. Основываясь на приведенных двух постулатах, можно доказать, что прямая представляет собою прямолинейный образ и вполне определяется любыми двумя своими точками.

Совокупность точек прямой АВ, лежащих между точками А и В, образует вместе с точками А и В отрезок АВ. В тесной связи с этим находится и следующая терминология. Если точка О на прямой АВ лежит между точками А и В, то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от точки U; если точка О прямой АВ не принадлежит отрезку АВ, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от точки

О. Эти понятия вводят нас в учение о расположении точек на прямой. Следующие четыре теоремы составляют основу этого учения.

1) Если три точки А, В и С расположены прямолинейно и точка В лежит при этом между А и С, то четвертая точка D не может лежать одновременно между А и В и между В и С.

2) Если точки А, В и С расположены прямолинейно и точка В лежит между А и С, а четвертая точка D расположена между А и В, то точка В лежит между D и С.

3) Если три точки А, В и С расположены прямолинейно, причем В лежит между А и С, а четвертая точка D лежит между А и В, то точка D лежит между точками А и С.

4) Если четыре точки А,В,С и D образуют прямолинейный образ и при этом как точка В, тик и точка D рас положены между А и С, то точка D лежит либо между А и В, либо между В и С.

Опираясь на эти теоремы можно доказать предложение, составляющее наиболее существенную часть учения о расположении точек на прямой. Оно заключается в следующем. Если О есть некоторая точка прямой линии, то все остальные точки на этой прямой распадаются на две категории, обладающие следующими свойствами: если А я В суть точки одной и той же категории, то они расположены по одну сторону от точки О; если же точка А принадлежит одной категории, а точка В принадлежит другой, то точки А и В расположены по разные стороны от точки О. Эти две категории точек образуют две стороны прямой относительно точки О или две стороны, на которые точка О делит прямую. Мы приходим, таким образом, к формальному обоснованию важного понятия, которым мы обыкновенно владеем исключительно интуитивно.