> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Так как точки любых двух отрезков образуют множества той же мощности

Так как точки любых двух отрезков образуют множества той же мощности

Так как точки любых двух отрезков образуют множества той же мощности, что и точки луча, то любые два отрезка, рассматриваемые как множества точек, имеют одинаковую мощность. Переводя эти результаты с геометрического языка на арифметический, мы можем сказать: совокупность всех арифметических чисел представляет собою множество той же мощности, что и совокупность чисел, содержащихся в любом интервале от а до b.

В частности, совокупность всех чисел, содержащихся между 0 и 1, имеет ту же мощность, что и совокупность всех арифметических чисел. Всякое множество этой мощности Кантор называет континуумом. Спрашивается, совпадает ли мощность континуума с мощностью натурального рядае Если рассматривать континуум всех арифметических чисел, то натуральный ряд входит в него как составная часть; но эта часть имеет меньшую мощность. Докажем это. С этой целью допустим противное. Допустим, что совокупность всех арифметических чисел или, что то же, совокупность всех чисел, содержащихся между 0 и 1, образует исчислимое множество; иными словами, мы допустим, что все числа, содержащиеся между 0 и 1, можно перенумеровать. Каждое из этих чисел можно представить в виде десятичной дроби, конечной, если это дробь рациональная, и бесконечной, если это дробь иррациональная. Мы можем каждую дробь считать бесконечной, заполняя дальнейшие места нулями. Итак, все числа, содержащиеся между О и 1, перенумерованы. Составим теперь новую правильную бесконечную десятичную дробь следующим образом. После нуля поставим на первом месте десятичный знак, отличающийся на единицу (больший) от первого десятичного знака той дроби, которая имеет номер 1; на втором месте поставим цифру, на 1 превышающую ту цифру, которая занимает второе место во второй дроби; вообще на /я-ом месте поставим цифру, следующую за той, которая занимает в т-ой дроби т-ое место; если эта цифра была 9, мы вместо нее поставим нуль. Полученная таким образом дробь будет отличаться от всех наших дробей: от первой она во всяком случае будет отличаться первым десятичным знаком, от второй — вторым и так далее Между тем это все же правильная дробь. Так как мы допустили, что перенумерованы все дроби, то мы приходим к противоречию. Это рассуждение требует только небольшого усложнения, чтобы избежать кое-каких несущественных возражений. Итак, мощность континуума выше мощности натурального ряда. Будем обозначать ее через nt. Это естьчисло, количественный характер которого имеет то же значение, что и в случае любого числа натурального ряда. Если мы скажем, что данное множество содержит к, элементов, то это означает, что множество имеет ту же мощность, что и континуум; это совершенно подобно тому, как множество, содержащее 5 элементов, имеет ту же мощность, что и множество 1, 2, 3, 4, 5.

Рассуждениями, столь же элементарными, как и приведенные выше, Кантор показал, что совокупность точек, заполняющих квадрат или куб, имеет мощность континуума. Совокупность всех непрерывных функций одной или вообще определенного числа переменных имеет мощность континуума. Но совокупность всевозможных функций хотя бы даже одной переменной имеет уже более высокую мощность. В этом направлении можно идти сколь угодно далеко: наибольшей мощности не существует, — каково бы ни было множество, можно всегда составить множество, имеющее большую мощность.