> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Такая же тесная связь существует между пятым постулатом и учением о подобии

Такая же тесная связь существует между пятым постулатом и учением о подобии

Такая же тесная связь существует между пятым постулатом и учением о подобии. Обычное построение теории подобия целиком основано на евклидовом постулате. Уже Валлис (1616—1703) показал, что достаточно допустить существование подобных фигур произвольного размера, чтобы получить всю геометрию Евклида. Учение о подобии, таким образом, существенно зависит от постулата. С учением о подобии неразрывно связана евклидова метрика: учение об измерении площадей и обьемов; таким образом, и эта часть геометрии тесно связана с пятым постулатом.

Изложенное достаточно выясняет, как глубоко проникает пятый постулат в существо евклидовой геометрии.

5. Открытие неевклидовой геометрии. Многие пытались доказать пятый постулат от противного. Всякое доказательство от противного заключается в том, что доказываемое предложение предполагается ложным, то есть отвергается, и из этого предположения делаются логические выводы. Можно сказать так: к предыдущим, уже установленным геометрическим аксиомам и теоремам присоединяется предложение, противоположное тому, которое требуется доказать, и из этого материала делаются логические вывоты до тех пор, пока они не приводят к прямому противоречию с одним из установленных уже предложений. Такое противоречие устанавливает неправильность сделанного предположения и тем доказывает справедливость того предложения, доказать которое собственно имелось в виду. Так именно и поступали все те, которые пытались доказать пятый постулат от противного. Делалось предположение, что пятый постулат несправедлив, и к абсолютной геометрии, уже установленной без помощи этого постулата,

присоединялось предложение, ему противоположное. Из этого геометрического материала делались логические выводы в убежден и, что они приведут к прямому логическому противоречию с ранее принятым. Став на этот путь, одни довольно быстро сбивались, усматривая противоречие там, где его в действительности не было. Нужно дать себе ясный отчет в том, что противоречие должно быть не интуитивное, а логическое; иными словами, цель нельзя считать достигнутой, когда мы придем к выводам, противоречащим нашим геометрическим представлениям: это ведь всегда бывает, как только мы становимся на путь доказательства от противного. Чтобы действительно достигнуть цели, мы должны, как уже сказано, прийти к противоречию логическому, то есть мы должны прийти к предложению, отрицающему то, что было принято нами ранее. Этого именно не понимали достаточно ясно многие из тех, которые становились на путь доказательства от противного; придя к выводу, ярко противоречащему нашим геометрическим представлениям, нашим пространственным образам, они считали вопрос исчерпанным. Другие их в этом изобличали, но сами делали то же самое, только продвинувшись по этому скользкому пути несколько далее. Но более глубокие мыслители умели пройти в этом направлении далеко.

Вступая на путь доказательства пятого постулата от противного нужно, как сказано, начать с того, чтобы принять, как предположение, противоположное допущение. Так как самый постулат, как мы видели, может получить весьма различное выражение, то весьма различны также и формы противоположного положения, из которого исходили доказывавшие постулат от противного.

Джироламо Саккери (Saccheri), итальян. монах, иезуит (1667—1733), исходит из вопроса о сумме углов треугольника (у него, впрочем, несколько иначе поставленного:. Здесь возможны, как мы уже видели, три гипотезы. С первой из них Саккери легко справляется, доказывая, что сумма углов треугольника не может превысить 2d. Остаются два предположения — евклидово, чго сумма углов треугольника равна 2d, и противоположное, то есть неевклидово, что эта сумма меньше 2d. Саккери принимает это последнее допущение, не придавая ему иного значения, как только предположения, которое должно привести к абсурду. Тонко разматывая выводы из сделанного допущения, Саккери устанавливает 32 предложения, к которым оно приводит; в 33-ем предложении он уже пользуется бесконечно большими и приходит к противоречиюс абсолютной геометрией, которое он так настойчиво искал. В действительности, однако, это противоречие есть только плод недоразумения, вернее—плод неосторожного обращения с бесконечно удаленными точками, которое в эту эпоху было очень обычным. Сомнения в правильности этого заключения явственно проглядывают в дальнейших рассуждениях самого Саккери.

Философ и математик Ламберт, в середине XVIII ст., не знал работы Саккери, но шел по тому же пути, чуть-чуть иначе формулируя исходное положение. Развивая следствия, из него проистекающие, он также очень тонким рассуждением приходит к ряду предложений, которые имели бы место, если бы считать постулат Евклида ложным. Ламберт уже не впадает ни в какую ошибку: он ясно сознает, что ни к какому противоречию его допущение не приводит. Поражаясь, напротив, чарующей стройности, к которой его рассуждения приводят, он бессилен сделать отсюда окончательный вывод и только восторженно восклицает: „В этом есть нечто восхитительное, что вызывает даже желание, чтобы третья гипотеза была справедлива. И все же я желал бы, несмотря на это преимущество, чтобы это было не так, потому что это было бы сопряжено с рядом других неудобств. Тригонометрические таблицы стали бы бесконечно пространными, подобия и пропорциональности фигур не существовало бы вовсе; ни одна фигура не могла бы быть представлена иначе, как в абсолютной своей величине; и астрономии пришлось бы плохо.“

По тому же пути безуспешных попыток доказать постулат Евклида от противного, сопровождаемых открытием замечательной цепи выводов, к которым приводит отрицание этого постулата, шли позже также другие талантливые математики, как, например, Вахтер, Тауринус, Швейкарт. Они углубили этот материал стройных выводов из парадоксального допущения и проложили путь геометру, который решился бы смелее занять позицию действительного отрицания евклидова постулата.

Повидимому, первый решительно и твердо стал на этот путь великий германский математик Гаусс (смотрите). Однако, за всю свою жизнь Гаусс ни разу не опубликовал своих взглядов на этот предмет; напротив того, он тщательно их скрывал, справедливо опасаясь той нетерпимости, которая будет проявлена математиками по отношению к этим черезвычайно своеобразным идеям. Только из его переписки с друзьями и учениками (В. Больай, Ольберсом, Герлингом, Шумахером), опубликованной после ей смерти, а также из оставленных им заметок, ныне опубликованных в VIII томе полного собрания его сочинений, видно, как глубоко Гаусс владел неевклидовой геометрией.

Впервые эти замечательные идеи были опубликованы в 1826 г. великим русским геометром, профессором казанского унив. Н. И. Лобачевским (смотрите), а несколькими годами позже, совершенно независимо от Лобачевского,— черезвычайно талантливым молодым венгерским математиком Иоанном Больай (смотрите Больэ). Основная мысль этих геометров заключалась в том. что, присоединяя к абсолютной геометрии постулат, противоположный постулату Евклида, как это дел :ли все, пытавшиеся доказать постулат от противного, невозможно прийти к противоречию, ибо его в этой комбинации посылок вовсе нет. Иными словами, с точки зрения логической нет ничего несообразного в том, чтобы отвергнуть пятый постулат Евклида и вместо него принять противоположное положение. Это положение также будет логически совместимо с остальными постулатами Евклида и приведет к стройной геометрической системе, глуб ко отличающейся от евклидовой, но столь же совершенной и формально правильной. Эта неевклидова геометрия находится в резком противоречии с нашими интуитивными представлениями о геометрических образах; но логическая концепция все же остается совершенно безукоризненной. Это разительное противоречие между интуицией и логикой, разгадка которого была обнаружена лишь много позже, служило для многих выдающихся математиков непреодолимым препятствием для принятия неевклидовой геометрии. И лишь исключительная проницательность двух-трех гениальных мыслителей призвала к жизни и осветила этот новый мир замечательных геометрических идей.

6. Содержание геометрии Лобачевско-го-Больай. Лобачевский и Больай разными путями пришли к одной и той же своеобразной геометрической системе. Совершенно ясное представление об этой замечательной системе можно получить только путем терпеливого и основательного ее изучения. Здесь же о ней возможно дать только самсе общее представление.

Пятый постулат Евклида Лобачевский берет в так называемой Плейфордовской форме, в которой он получает следующее выражение: в плоскости через точку О, лежащую вне прямой АВ (которая, конечно, лежит в той же плоскости), можно провести только одну прямую, не встречающую АВ. Противоположное допущение, следовательно, заключается в том, что через точку О, лежащую вне прямой АВ, в плоскости ОАВ, проходит больше одной прямой, не встречающей АВ. Это и есть исходное допущение Лобачевского.

Все прямые, проходящие в той же плоскости через точку О {рис. 4), распадаются относительно прямой АВ на две категории: первую категорию образуют прямые QQ, N“N, РР, встречающие прямую АВ вторую образуют прямые КК, L“L, ММ, которые прямой АВ не встречают. Обе категории прямых отделяются одна от другой двумя прямыми А“А и В“В’. Картина представляется в таком виде, что прямые, проходящие внутри вертикальных углов А“ОВ“ и В’0.4, пересекают прямую АВ, прямые же, проходящие внутри углов АОВ“ и А“ОВг ее не пересекают. Правильнее, следовательно, будет сказать, что прямые, проходящие через точку О, делятся относительно прямой АВ не на две, а на три категории: 1) пересекающие АВ, 2) расходящиеся с ней (то есть проходящие внутри углов АОВ“ и A “OB) и 3) прямые А” А’ и В“ В, отде

ляющие прямые, расходящиеся с прямой АВ, от прямых, ее пересекающих. Две прямые последней категории прямой АВ также не пересекают, но по обе стороны перпендикуляра ОР это суть первые прямые, не пересекающие АВ. Эти две прямые Лобачевский называет параллельными прямой АВ в точке О. Термин этот имеет, таким образом, у Лобачевского не то значение, чго у Евклида. Через каждую точку плоскости О проходят, следовательно, две прямые, параллельные данной прямой АВ. Но если рассматривать не прямые, а лучи, разумея под лучем АВ прямую АВ, направленную от А к В, а под лучем В А — ту же прямую, направленную от В к А, то можно считать луч А“А параллельным лучу ВА, а луч В“В параллельным лучу АВ. При таком соглашении можно сказать, что в плоскости через каждую точку О, лежащую вне луча АВ, проходит один и только один луч, параллельный лучу АВ. В этой форме предложение очень близко подходит к евклидову постулату; но, на самом деле, положение совершенно иное, потому что самое понятие о параллельности здесь существенно доугое.

Лобачевский доказывает, что луч, параллельный другому лучу в одной из своих точек, параллелен ему и в каждой другой своей точке, то есть в каждой из своих точек с надлежащей стороны производит отделение пересекающих прямых от непересекающих.

Он доказывает также, что два луча всегда взаимно параллельны, то есть что, если луч CD || АВ, то и АВ || CD; благодаря этому мы можем говорить просто о двух параллельных лучах (не оговаривая, который из них параллелен другому). Далее, как и в евклидовой геометрии, два луча, параллельные третьему, параллельны между собою.

С_

А-В

Рисунок 5.

В таком виде представляется учение о параллельных линиях в геометрии Лобачевского. На нем непосредственно основывается учение о взаимном расположении прямых на плоскости. Если прямая CD пересекается с прямой АВ, то она, как и в евклидовой геометрии, беспредельно от нее отдаляется по обе стороны от точки пересечения. Если луч CD параллелен лучу АВ (рисунок 5), то со стороны параллельности он неограниченно (асимптотически) приближается к АВ, никогда его не достигая;

с другой же стороны неограниченно от него удаляется. Наконец, если луч CD расходится с АВ (рисунок 6), то с той стороны, с которой он образует с перпендикуляром MN отрый угол NMD, он сначала приближается к АВ, достигает наименьшего расстояния PQ и затем начинает с другой стороны перпендикуляра PQ симметрично относительно него удаляться от АВ; прямая же PQ перпендикулярна к обеим прямым. В евклидовой геометрии две прямые могут оставаться на одном и том же расстоянии одна от другой: этим свойством обладают две параллельные прямые. В плоскости Лобачевского это никогда не имеет места. Две прямые либо неограниченно расходятся одна от другой по обе стороны от общей точки (пересекающиеся прямые), либо неограниченно сближаются с одной стороны и неограниченно удаляются одна от другой с другой стороны (параллельные прямые), либо неограниченно удаляются по обе стороны от общего перпендикуляра (расходящиеся прямые). Аналогично дело обстоит с двумя плоскостями. Они могут пересекаться,— тогда они неограниченно удаляются одна от другой по обе стороны от линии пересечения; они могут быть параллельны,—тогда они неограниченно приближаются одна к другой вдоль пучка параллельных лучей; они могут расходиться,—тогда они имеют общий перпендикуляр, от которого неограниченно расходятся во все стороны. Все эти соотношения Лобачевский вполне строго доказывает, исходя из основных положений, которые легли в основу его системы, то есть абсолютной геометрии и постулата, противоположного евклидову.

В дальнейшем развитии его системы основную роль играет одна геометрическая идея, чуждая новых допущений, но очень своеобразная по своему замыслу. Она связана с особого рода кривыми и поверхностями, существующими в неевклидовом пространстве, с т. н. предельными линиями и предельными поверхностями. Совокупность лучей, проходящих в плоскости через одну точку, образует пучек; общая точка называется центром пучка. Окружности, имеющие общий центр в центре пучка, представляют собою т. н. ортогональные траектории пучка, то есть кривые, пересекающие все лучи пучка ортогонально, под прямым углом. Это имеет место как в евклидовой, так и в неевклидовой геометрии. Совокупность параллельных лучей, как в евклидовой, так и неевклидовой плоскости, также рассматривается как пучек; это как бы пучек, центр которого лежит в бесконечности. Ортогональными траекториями такого пучка в евклидовой плоскости служат прямые, перпендикуляр!. ые к лучам этого пучка. Руководясь этими соображениями, в евклидовой геометрии часто говорят, что прямую можно рассматривать как окружность, центр которой лежит в бесконечности, или как окружность бесконечно большого радиуса. В неевклидовой плоскости ортогональными траекториями пучка параллелей служат не прямые, а замечательные кривые (рисунок 7), которые Лобачевский называет предельными кругами, или предельными линиями,

или орициклами. Окружностями бесконечного радиуса здесь служат не прямые, как в евклидовой геометрии, а предельные линии. Замечательное свойство предельной линии заключается в том, что она может скользить по самой себе, как прямая или окружность: она имеет одинаковую кривизну во всех своих точках. Вместе с тем, подобно прямым линиям, псе предельные линии конгруэнтны между собой.

В пространстве совокупность лучей, проходящих через одну и ту же точку, образует -связку. Сферические поверхности, имеющие центр в центре связки, пересекают ортогонально все лучи связки. Если центр связки -„уходит в бесконечность“, то есть, если связка состоит из параллельных лучей, то поверхностями, ортогонально эти лучи секущими, в евклидовом пространстве являются плоскости; в неевклидовом пространстве эту роль играют кривые поверхности, которые .Лобачевский называет предельными по

верхностями, или орисферами {рис. 8 ); лучи пучка называются осями орисферы. Орисфера обладает тем же свойством, что сфера и плоскость: она может свободно передвигаться по самой себе. Через каждую точку орисферы проходит ось. Если возьмем две точки О и Л на орисфере {рис. 9) и через них проведем оси поверхности 00 и ЛЛ, то плоскость, через эти две параллели проходящая, рассечет поверхность по предельной линии ОА. Таким образом, на предельной поверхности через каждые две точки проходит одна и только одна предельная линия, как на плоскости через каждые две точки проходит одна и только одна прямая. Сечение предельной поверхности всякой другой плоскостью, непроходящей через ось, есть окружность. В частности, если в какой-либо точке оси {К или К), лежащей с вогнутой стороны предельной поверхности, проведем к этой

оси перпендикулярную плоскость, то она пересечет поверхность по окружности. Таким образом, предельная поверхность может быть рассматриваема как поверхность вращения вокруг любой из ее осей. Так как меридианами при этом служат предельные линии, то можно сказать, что предельная поверхность может быть получена вращением предельной линии вокруг любой из ее осей, совершенно аналогично тому, как сфера получается вращением окружности большого круга вокруг любого диаметра шара. Разница лишь в том, что орисфера есть поверхность разомкнутая, и ее диаметры как бы сходятся в бесконечности.

Геометрию плоскости, планиметрию, можно строить, не выходя из самой плоскости, основываясь на возможности свободного передвижения плоскости в самой себе; это свободное передвижение заключается в том, что каждую точку плоскости можно привести в совмещение с любой другой точкой, а затем вращением плоскости вокруг этой точки повернуть ее на люб >й угол. Основными образами, которыми оперирует планиметрия,являются прямые линии,прямолинейные углы и прямолинейные фигуры; изучение кривых линий, даже окружности, уже основывается на предварительном изучении прямой.

Аналогично этому строится геометрия сферы. И сфера может свободно передвигаться по самой себе, причем каждая точка может быть приведена в любую другую точку, и вращением вокруг любой точки сферу можно повернуть на любой угол. В геометрии сферы роль прямых в качестве

О’

Рисунок 9.

основного линейного образа играют окружности больших кругов. Геометрия сферы изучает эти окружности, углы треугольника и многоугольника, ими образуемые. Но так как окружности больших кругов на сфере всегда пересекаются в двух точках, а не в одной, как две прямые, то геометрия сферы значительно отличается от геометрии плоскости.