> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Такие попытки дать строго логическое обоснование геометрии относятся к глубокой древности

Такие попытки дать строго логическое обоснование геометрии относятся к глубокой древности

Такие попытки дать строго логическое обоснование геометрии относятся к глубокой древности. Еще в V стол, до н. э. геометр Лев уже составил такого рода трактат по геометрии; за ним последовали другие работы того же рода. Но ни одно из этих сочинений до нас не дошло; все они были забыты, когда появилось одно из величайших произведений научной мысли—.Начала“ Евклида (смотрите XIII, 323/27).

2. Система геометрии у Евклида. В тринадцати книгах „Начал“, посвященных преимущественно геометрии, Евклид не только дает строго продуманную систему геометрии, но также глубоко проникает в учение о числе. Собственно геометрии посвящены книги I-VI и XI-XIII; они содержат весь тот материал, который ныне принято называть элементарной геометрией. Все построение выполнено для того времени с таким совершенством, что вполне оригинальным творением одного человека оно быть не могло; оно несомненно представляет собой результат преемственного творчества нескольких поколений эллинских геометров, которое получило свое завершение в бессмертном труде Евклида. Каждая книга начинается рядом определений, постулатов и аксиом. Под постулатами (а1:ща-а — требования) Евклид разумеет чисто геометрические положения — элементарные свойства геометрических образов, настолько очевидные, что их без всяких сомнений и колебаний можно принять за исходные положения. Самое же наименование „постулаты“, то есть требования, обусловливается диалектическим методом преподавания и распространения научных идей, который господствовал в Г реции в Александрийскую эпоху. Это делалось путем беседы-диспута; посту латы—это были те положения, которые должен был принять диспутант, чтобы он был уже по необходимости вынужден признать все дальнейшее, что желал установить руководитель диспута; это были логические требования, которые руководитель диалога или диспута предъявлял к остальным его участникам. В частности, таким образом, постулаты геометрии—это те требования, которые руководитель предъявляет к лицу, приступающему под его руководством к изучению геометрии: он должен признать их для себя ясными, неоспоримыми, он должен эти требования принять, и тогда он будет вынужден признать все последующее. И это гарантирует и его и науку от ошибок.

Кроме постулатов, у Евклида есть еще аксиомы, y.oivai swoiai, то есть общие достояния нашего ума. Это—положения, которые не представляют собою специфически геометрических истин; это — положения более общего свойства, находящие себе применение не только в геометрии, но и вне ее. У Евклида аксиомы носят все же математический характер, но не чисто геометрический. Например — две величины, порознь равные третьей, равны между собой. Это положение будет справедливо независимо от того, будут ли это величины геометрические (длины, площади, объёмы), арифметические (числа), или механические (скорости, силы) и так далее

Сочинения Евклида дошли до нас в различных списках и изданиях, не вполне тождественных между собою. В область определений, постулатов и аксиом падают наибольшие расхождения, вследствие которых было трудно точно установить различие между аксиомами и постулатами; сомнения в этом отношении остаются и по настоящее время. Первой книге Евклида в изданииможно сказать, доминирующую роль в развитии учения об основаниях геометрии, то-необходимо его совершенно отчетливо разъяснить. На каждом из рисунка 1 и 2 изображены две прямые АВ и CD, расположенные в одной плоскости и пересеченные третьей прямой MN. С каждой стороны секущей MN образуется два внутренних односторонних угла: а, с и b, d„ Но на рисунке 1 углы эти в каждой паре дополняют друг друга до 2 d, так что я -(- г=2d и b A- d —2d, на рисунке 2 сумма углов я и с меньше 2d, а сумма углов Ь и d больше 2d: а с < 2d, b - -d> 2d.. В первом случае прямые АВ и CD не пересекутся, сколько бы мы их ни продолжали; Евклид это без труда доказывает. Во втором случае прямые ИВ и CD должны при достаточном продолжении пересечься со стороны углов я и с то есть с той стороны, с которой сумма внутренних односторонних

В С

Рисунок 1.

эллинистов Гейберга и Менге („Euklidis opera omnia“, ediderunt et latine interpretati sunt J. Heiberg et H. Menge, 1883—1916, 8 тт.), которое признается лучшим, предпосланы следующие пять постулатов: требуется — 1) чтобы от каждой точки к каждой другой точке можно было провести прямую линию, 2) и чтобы каждую ограниченную линию можно было продолжать неопределенно, 3) и чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом, 4) и чтобы все прямые углы были равны и 5) чтобы всякий раз, как прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Первые четыре из этих постулатов совершенно ясны, пятый же выражен тяжело; так как он игрзет черезвычайно важную,

Я С

углов меньше 2d. Доказать это Евклид не в состоянии и потому ставит это положенис-как исходное требование, как постулат.

Эти постулаты в связи с определениями и аксиомами составляют, таким образом, те теоретические основания, которые Евклид делает базой своей геометрической системы. Все остальное должно составить логический вывод из этих положений. Как уже сказано, система в этом отношении глубоко продумана. Особенно характерным для евклидовой разработки геометрии является чистота геометрического метода в том смысле, что Евклид не прибегает ни к каким средствам, чуждым чистой геометрии; он нс пользуется даже арифметическими средствами, которые — к слову сказать— в ту пору были очень слабы. Это направление позже выразили словами geo-metriam geometrice (геометрию геометрически). Даже учение об отношениях и пропорциях проведено Евклидом (повидимому, по схеме, ранее установленной Евдоксом) без малейшего уклона в сторону арифметики; это учение есть одно из замечательнейших творений греческого гения.

Достоинства .Начал“ Евклида, именно как выдержанной логической системы, настолько высоки, что в течение почти двух тысячелетий с ними не могло конкурировать ни одно сочинение по геометрии. Все руководства по геометрии представляли собой те же .Начала“ Евклида, несколько более приспособленные для понимания учащихся, но по существу мало от них отличавшиеся. При всем том, уже в глубокой древности философы, уделившие „Началам“ много внимания, пришли к сознанию, что, при всех высоких достоинствах „Начал“ Евклида, его творение, как строго логическая дедуктивная система, все же черезвычайно далеко от совершенства. Всякое дедуктивное логическое построение по существу своему должно быть формальным. Из посылок „все А суть В“ и „все В суть С“ вытекает „все А суть С“. Это строго логический вывод (силлогизм Barbara). Правильность вывода здесь совершенно не зависит от того, что мы разумеем под терминами А, В и С. Не от содержания понятий, которыми мы оперируем в дедуктивном построении, не от тех образов и представлений, которые мы с этими понятиями соединяем, зависит правильность дедукции, а от формы, по которой посылки и сделанный из них вывод построены: если эта форма соблюдена, то умозаключение правильно, какое бы содержание мы ни вкладывали в термины, входящие в посылки. Это именно разумеют, когда говоря:, что чисто дедуктивный вывод по существу своему неизбежно носит совершенно формальный характер; и в этом его коренное отличие от диалектической логики.

Применяя эти соображения к геометрической дедукции, мы приходим к тому, что строго логический вывод геометрического предложения также должен носить совершенно формальный характер, то есть должен основываться исключительно на правилах построения силлогизма, а не на тех образах, которые мы соединяем с геометрическими понятиями. Мы определенным образом представляем себе прямую линию, плоскость, круг, многоугольник. Если эти представления играют роль в ходе умозаключения, то чистой дедукции уже нет: вывод представляет собою смесь логического умозаключения и наглядных, интуитивных соображений. Между тем, если разрешить себе свободно пользоваться интуицией, то тяжелый аппарат Евклида во многих своих частях будет ненужен; сомни

Тельно даже, есть ли надобность доказывать многие геометрические предложения, которых интуитивная ясность не вызывает никаких возражений. В этом порядке развертывается геометрическое творчество, идущее всегда путем интуитивного усмотрения и его примирения с возникающими от неправильной интуиции противоречиями; на этой точке зрения мы стоим и в настоящее время, когда обучаем начаткам геометрии детей. Но не на этой точке зрения стоял Евклид. Он ставил себе совершенно определенно задачу развить геометрию из небольшого числа предпосылок — определений, постулатов и аксиом — строго-логически,—следовательно, дедуктивно, формально. Но выполнить эту задачу в полной мере ему далеко не удалось. Его дедукция, часто поражающая необычайной тонкостью мысли, все же грешит против требований формальной логики почти в каждом его рассуждении, в каждом доказательстве. Вот через внутреннюю точку круга проведена прямая; Евклид утверждает, что эта прямая пересечет периферию круга. На чем основано это утверждениее На том, что это ясно глазу, на тех наглядных представлениях, которые мы соединяем с прямою и с кругом. Две крайние точки отрезка лежат на двух различных сторонах треугольника; Евклид утверждает, что все остальные точки отрезка лежат внутри треугольника. Ясно, что он апеллирует здесь к интуиции. Легко понять, что Евклид совершенно бессилен это утверждение доказать, потому что среди его определений нет определения понятий „внутри“ и „вне“, нет, следовательно, материала, на котором можно было бы такое доказательство основать. Число таких отступлений от чистой дедукции у Евклида черезвычайно велико; дедукция и интуиция постоянно переплетаются в его системе. При всей своей стройности, при всей своей мощи, логически она еще далека от действительного установления теоретических основ геометрии.

Между тем действительное и безупречное установление этих основ—то под напором развертывавшегося фактического материала, то в обстановке общего направления философской мысли — в высшей мере занимало умы геометров и философов, начиная с современников Евклида и до наших дней. И так как в пору, весьма близкую к Евклиду, уже выработалось сознание, что система Евклида не удовлетворяет всем требованиям формальной логики, то очень рано возникают попытки восполнить эти пробелы. Этой задачей занимаются многочисленные автору, известные под общим названием комментаторов Евклида.

3. Комментаторы Евклида. Из античных комментаторов наиболее замечательные —

Папп и Прокл, из средневековых—Клавий, а позднее Саккери; из арабских комментаторов—Анариций и Нассер-Эддин, из более поздних—англичанин Грегори и французский геометр Лежандр(смотрите). Каждый из этих комментаторов утверждал, что совершенно освободил творение Евклида от всяких упреков. Саккери отметил это даже в самом наззании своего сочинения — „Euklides ab omni naevo vindicatus“ (Евклид, освобожденный от всякого пятна). И все же эти широковещательные обещания и наименования совершенно не соответствовали действительному содержанию сочинений. Комментаторы заменяли одни аксиомы другими, видоизменяли определения, углубляли то или иное доказательство, но по существу неизменно впадали в те же ошибки, которые делал Евклид; они опирались на интуицию, на образные представления, доверяя глазу там, где нужен был строго формальный логический вывод. Каждый комментатор обстоятельно критиковал не только Евклида, но и своих предшественников; это было не так трудно. Но действительно продвинуть выполнение задачи о строго логическом обосновании геометрии вперед, хотя бы в некоторой степени, очень мало кому удавалось. Теоретические основания геометрии даже после Лежандра оставались еще столь же недостаточно выясненными, как и в эпоху Евклида.

Впрочем, одна заслуга остается за комментаторами Евклида совершенно несомненная: они отчетливо выяснили слабые стороны „Начал”, осветили все их дефекты. По существу, дефекты эти сводятся к следующему. 1) Самое слабое место в системе Евклида составляют определения: они в большинстве случаев содержат весьма мало тех признаков, на которых могла бы быть основана формальная дедукция. Основные определения Евклида представляют собою краткие описания тех образов, которые мы связываем с основными понятиями. Эти определения можно было бы в этом смысле назвать интуитивными, а не формальными. Насколько мало эти определения полезны для чисто дедуктивной системы, можно судить по тому, что Евклид нередко на протяжении всей книги не пользуется тем или другим определением, приведенным в начале ее. 2) Основные поло жения Евклида недостаточны для формального обоснования геометрии. Почти в каждом доказательстве он неявно принимает еще и другие постулаты и аксиомы, им не формулированные и явно не высказанные. 3) Почти в каждом рассуждении Евклида дедукция переплетается с интуицией, и правильность заключения подтверждается не только логикой, но и глазом. В особенности в тех случаях, когда Евклиду приходитсяговорить о внутренних или внешних точках той или иной фигуры, он руководствуется исключительно интуицией.

Комментаторы Евклида заменяли его определения другими, часто более неудачными; они увеличивали число постулатов и аксиом; они заменяли одни постулаты другими; и все-таки существенного улучшения не получалось; дедукция все же оставалась несовершенной, логика все же оставляла широкий простор интуиции. И иначе оно быть не могло, пока геометр оставался на той позиции, которую занимали все составители начал“: от предшественников Евклида до последователей Лежандра—они все исходили из определенных пространственных образов, их геометрия была наукой об этих образах. И потому их геометрия, неразрывно связанная с представлениями об этих образах, не могла освободиться от интуиции, не могла претвориться в чисто формальную логическую систему. Чтобы этого достигнуть, геометр должен был совершенно порвать с какими бы то ни было наглядными представлениями. Прошло много времени, пока геометры решились стать на эту точку зрения; путь к ней лежал через неевклидову геометрию.

4. Пятый постулат Евклида. Неевклидова геометрия, это замечательное творение абстрактной мысли, явилась плодом исследований, связанных с пятым постулатом Евклида. Содержание этого постулата выяснено выше. Всякий, кто сравнит его с остальными постулатами, обратит внимание на то, что содержанте его нс столь просто, не столь элементарно, как содержание остальных постулатов Евклида. На это не приходится даже обращать внимание изучающего предмет, это само бросается в глаза. В самой системе Евклида постулат занимает своеобразное место. Первые 28 предложений „Начал“ не зависят от пятого постулата в том смысле, что при их доказательстве к этому постулату прибегать не приходится. Эти 28 предложений содержат свойства смежных и вертикальных углов, свойства прямого угла, условия равенства треугольников, теорему о внешнем угле треугольника (он больше каждого из внутренних, с ним не смежных), соотношения между углами и сторонами в одном и том же треугольнике, соотношения между длиной перпендикуляра и наклонных, идущих из одной и той же точки к прямой. Предложение XXVIII устанавливает (рисунок 3), что сумма внутренних о шо-сторонних углов а ив, которые пересекающиеся прямые АВ и CD образуют с секущей MN с той ее стороны, с которой происходит пересечение, меньше 2d. По существу содержание этого предложениясводится к тому, что сумма двух углов треугольника MNP меньше 2d (а + b < 2 d). Это предложение далее нужно обратить. Обращение гласило бы: если две прямые (конечно, на плоскости) при пересечении их третьей образуют с ней внутренние односторонние углы, сумма которых не равна 2d (т -е. с одной стороны секущей меньше 2d, а с другой ее стороны больше 2d), то эти прямые с той стороны, с ко

Торой сумма меньше 2d, при достаточном продолжении неизбежно пересекутся. Справедливость этого предложения ясна всякому, кто естественно связывает с основными геометрическими понятиями обычные пространственные представления. Отсюда возникло естественное стрем ение доказать это (обращенное) предложение. Повиди-мому, не один геометр до Евклида напряженно старался найти доказательство этого предложения. Но эти старания ни к чему не привели; доказать его не удалось, и Евклиду ничего не оставалось сделать, как включить это предложение в число основных положений, принимаемых без доказательства, то есть в число постулатов. Это положение и составляет содержание пятого постулата. Когда оно принято, то геометрия разматывается далее уже без особых затруднений, — конечно, в пределах тех требований, которые мы к системе Евклида можем предъявить Впрочем, в дальнейшем встречается еще много предложений, как в планиметрии, так в особенности в стереометрии, которые от пятого постулата не зависят, то есть могут быть доказаны без его помощи. Но большинство дальнейших предложений геометрии существенно зависит от пятого постулата в том смысле, что их доказательство либо не посредственно опирается на этот постулат, либо опирается на предложение, доказанное при помощи этого постулата. Постулат, таким образом, как бы раскалывает геометрию на две части, из которых одна от постулата не зависит, тогда как в другой каждое предложение прямо или косвенно опирается на пятый постулат. Первую часть геометрии не совсем удачно называютабсолютной (иногда общей, „allgemeine Geometrie“), а вторую — евклидовой.

Эта своеобразная роль постулата, его внезапное появление уже глубоко в планиметрии, его сравнительная сложность, его значение, расчленяющее геометрию на две части,—все это казалось неправильным, ненормальным, и уже в глубокой древности появилось стремление это исправить: для этою нужно было устранить постулат, как основное положение; нужно было доказать выражаемое им предложение при помощи остальных постулатов Евклида. Если бы это было выполнено, в теории параллельных линий не было бы неприятного пробела, геометрия не расщеплялась бы на две части, в ней царили бы полная гармония и единство. Это обстоятельство вызвало много усилий доказать постулат. Вследствие кажущейся элементарности этой задачи, не требующей больших знаний (ибо доказать предложение нужно, располагая только первыми 28 предложениями „Начал“), к ней обращались многие, владевшие лишь незначительной математической подготовкой. Но рядом с такого рода полуграмотными математиками задачей о восполнении пробела в теории параллельных линий занимались и весьма выдающиеся геометры. Более того, на протяжении двух тысячелетий, от Евклида до Лежандра, Гаусса и Гильберта, трудно указать выдающегося геометра, который не уделил бы внимания, а иногда и упорного труда этой как будто скромной элементарной проблеме. Неоднократно математическому миру возвещалось, что эта трудность уже преодолена, и позорное пятно в теории параллельных линий, порочащее всю геометрию, наконец, смыто. Но спокойное и тщательное обсуждение каждого предложенного доказательства неизменно обнаруживало в нем ошибку. Одни авторы возводили для доказательства постулата сложное построение, в котором в конце концов запутывались. Другие прибегали для доказательства этого элементарного предложения к учению о бесконечномалых, методы которого в пору формировавшегося еще анализа не были достаточно разработаны и часто приводили к грубым ошибкам. Но чаще всего слабая сторона доказательства заключалась в том, что автор незаметно для себя допускал вместо доказываемого предложения другое, по существу ему эквивалентное. Это новое допушение часто бывало значительно проще постулата в евклидовой его форме,—иногда даже несравненно проще: но дело от этого не менялось: задача заключалась не в том, чтобы заменить евклидов постулат более простым допущением, а в том, чтобы его доказаю, не вводя нового допущения. Ламберт указывает, что доказательство евклидова постулата можно довести до такого положения, что остается, повидимому, только совершенно незначительная мелочь. Но по тщательном размышлении оказывается, что в этой мелочи именно и заключается вся суть дела.

Постулат Евклида прежде всего служит краеугольным камнем теории параллельных линий. Точнее, дело обстоит следующим образом. Учение о параллельных линиях начинается рядом предложений,устанавливающих достаточные условия параллельное ги двух прямых. Если две прямые на плоскости при пересечении их третьей образуют с ней равные соответственные углы, или равные внешние накрест-лежащие либо внутренние накрест-лежащие углы, или если сумма внутренних односторонних либо внешних односторонних углов равна 2d, то прямые параллельны. Эти предложения очень просто доказываются без нового постулата. Но обращение их неизбежно требует постулата в той или иной его форме. Достаточно непосредственно принять любое из обратных предложений, и оно заменит евклидов постулат. Достаточно принять, что в плоскости через точку, лежащую вне прямой, проходит только одна прямая, не встречающая первой,—и это допущение заменит евклидов постулат. Можно придать постулату и различные другие формулировки. Существо дела заключается, конечно, не в том,как постулат выражен. Важно то, что все попытки обойтись вовсе без нового постулата в теории параллельных линий не увенчались успехом. Особенно замечательна связь между постулатом Евклида и вопросом о сумме углов треугольника. В евклидовой геометрии, как известно, сумма внутренних углов в треугольнике равна 2d. Точнее, это значит, что, если мы примем постулат Евклида, то легко докажем, что сумма внутренних углов каждого треугольника равна 2d. Что можно установить относительно суммы внутренних углов треугольника, не пользуясь постулатом Евклидае Относящиеся сюда простые, но черезвычайно изящные исследования связывают обыкновенно с именем Лежандра; в действительности эти результаты были гораздо раньше получены Саккери (XVII ст.) и Ламбертом (XVIII ст.). Сущность дела сводится к следующему. А priori относительно суммы углов в треугольнике можно сделать три предположения: она может быть больше 2d, она может быть равна 2d, она может быть меньше 2d. Но первое предположение отпадает: не пользуясь пятым постулатом, можно при помощи очень элементарных соображений доказать, что сумма внутренних углов треугольника не превышает 2d. Выбор остается

Только между двумя другими допущениями а его без пятого постулата сделать невози можно. Правда, можно показать, что, есле сумма углов хотя бы в одном треугольнике равна 2d, то она и во всяком другом треугольнике равна 2d; если же хотя бы в одном треугольнике сумма углов меньше 2d, то она и во всяком другом треугольнике меньше 2d. Но решить, которое из двух соотношений имеет место, нельзя, не опираясь на евклидов постулат. Если принять пятый постулат, то сумма углов равна 2d если решиться допустить, что постулат несправедлив, нужно принять, что сумма углов треугольника меньше 2d. В этом последнем случае, как оказывается, сумма углов может меняться от треугольника к треугольнику, причем угловой дефект, то есть недостаток суммы углов до 2d, должен быть пропорционален площади треугольника.