> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Таким образом

Таким образом

Таким образом, в нашей плоскости имеют место основные постулаты Евклида, явно и неязно у него выраженные: через каждые две „точки“ проходит одна и только одна „прямая“; каждый „прямолинейный отрезок“ можно прозолжнть в обе стороны на „неограниченное расстояние“; от каждой „точки“ по каждой „прямой“ можно отложить в обе стороны любое „расстояние“, а потому вокруг каждой „точки“ можно описать „окружность любым радиусом.

Чтобы отдать себе отчет в том, какова будет геометрия этой „плоскости“, остается выяснить вопрос о пятом постулате Евклида.

Рисунок 24.

Пусть АВ будет какая-либо „прямая“ в нашей „плоскости“ (рисунок 24), М—„точка“, вне ее лежащая. Через нее проведем прямые МС и MD. Легко видеть, что все „прямые“ вида MN, проходящие через точку М внутри углов CMD и CMD, встречают „прямую“ АВ „прямые“ жевида МР, проходящие внутри углов DM С и СМГУ, „прямой“ АВ не встречают (точка встречи этих прямых в обыкновенном значении этого слова лежит за пределами абсолюта, за пределами нашей .плоскости“: „прямой“ АВ в этой „плоскости“ является только обыкновенный отрезок CD, а потому „прямая“ МР „прямой“ АВ не встречает). Из сказанного следует, что мы находимся в отношении параллельных линий в условиях геометрии Лобачевского. „Прямые“ MD и МС отделяют встречающие прямые от не встречающих; это — две „прямые“, выходящие из „точки“ М и параллельные „прямой“ АВ; они встречают „прямую“ АВ в бесконечности, как и должно быть в гиперболической геометрии. Отсюда следует, что интерпретация Клейна осуществляет геометрию Лобачевского на плоскости в полной мере. И действительно, можно шаг за шагом развивать геометрию этой „плоскости“, и мы убедимся, что она вполне совпадает с планиметрией Лобачевского. В краткой статье Кели показал, что здесь имеет место тригонометрия гиперболической плоскости. Клейн построил всю гиперболическую геометрию на основе этих идей. При этом он не ограничился плоскостью. Все идеи Кели-Клейна черезвычайно легко получают распространение на трехмерное пространство. В трехмерном пространстве существует группа коллинеаций, которая имеет инвариантом ангармоническое отношение четырех коллинеарных точек. Выбрав произвольно поверхность второго порядка, лучше всего сферу, можно выделить те проективные преобразования, которые оставляют ее без изменения. Эти преобразования образуют группу, в которой инвариант имеют две точки; этому инварианту можно придать тем же путем дизъюнктивную и аддитивную форму. Остальное выполняется в том же порядке. Таким образом, получается полная интерпретация не только гиперболической планиметрии, но и стереометрии.

Кели и Клейн показали, что существует ряд образов (объектов), по отношению к которым гиперболическая геометрия справедлива вся, без каких бы то ни было исключений, и сомнений в ее логической правильности больше существовать не могло; во всяком случае, такие сомнения могли бы возникнуть относительно геометрии Лобачевского не в большей мере, нежели относительно геометрии Евклида.

14. Идеи Римана. В то время, как Бель-трами, Гельмгольц, Ли, Кели, Клейн дали неевклидовой геометрии направление, которое можно назвать чисто геометрическим, посмертный мемуар Римана (смотрите) дал им другое направление, которое будет уместно назвать аналитическим.

Мемуар, о котором идет речь, представляет собою пробную лекцию (Habilitations-colloquium), которую Риман прочел в 1854 г. для приобретения звания приват-доцента геттингенского университета. Тема для лекции: „О гипотезах, лежащих в основании геометрии“ была избрана Гауссом из числа трех, намеченных Риманом. Это была лекция, прочитанная Риманом для Гаусса. Этим объясняется черезвычайная сжатость изложения. На протяжении нескольких страниц намечен ряд черезвычайно глубоких и совершенно новых идей. Ни вычислений, ни доказательств высказываемых Риманом утверждений мемуар но содержит. Понадобилось много труда, чтобы осуществить эти вычисления и дать-необходимые доказательства. В 1868 г. Дедекинд извлек этот мемуар из наследия Римана и опубликовал его. Идеи Римана трудны не только вследствие сжатого изложения, но и по существу своему. Между тем, именно они приобрели в последнее время исключительное значение не только в геометрии, но и в теоретической физике. Вряд ли было бы поэтому возможным обойти эти идеи в настоящем очерке; но изложить их в доступном виде не легкое читатель, не владеющий необходимыми для их понимания сведениями из дифференциальной геометрии, может эту главу опустить.

Для того, чтобы определить пространство, необходимо располагать понятием более общим, из которого понятие пространства можно было бы выделить, указав его особенности, его видовые отличия. Таким более общим понятием, по взгляду Римана, должно служить многообразие, или множество. Этим понятием мы уже пользовались; оно заимствовано Кантором у Римана. Историческая перспектива в настоящем очерке местами принесена в жертву ясности идеи. Риман отличает многообразия дискретные и непрерывные. В дискретных многообразиях каждый элемент существенно отделен от других; к числу их относится каждое множество, состоящее из конечного числа элементов. В непрерывном многообразии элементы следуют один за другим без промежутков; сюда относятся: линии, поверхности, пространство, как совокупность точек, совокупность цветов; вообще Риман указывает, что число непрерывных многообразий невелико; если речь идет о конкретных множествах, то это, конечно, справедливо.

Положение точки на прямой может быть определено одной координатой, на поверхности—двумя, в пространстве—тремя координатами. Риман выделяет те непрерывные многообразия, в которых элемент может быть задан определенным числом координат, численные значения которых определяются измерением. Многообразие имеет (по определению) и измерений, если его элемент определяется и координатами. Обыкновенное пространство, таким образом, представляет собой многообразие 3 измерений. Если же за элемент многообразия примем определенный момент времени в определенной точке пространства, то для задания этого элемента потребуется четыре координаты: три декартовы координаты, определяющие положение точки в пространстве, и показание часов в рассматриваемый момент. Следуя идее Римана, Минковский (смотрите) назвал этот элемент мировым моментом. Итак, мировой момент есть определенный момент времени в определенной точке пространства. Совокупность всех мировых моментов составляет многообразие 4-х измерений, которое теперь часто называют миром Минковского.

С точки зрения механистического материализма, все мироздание состоит из вещества, постоянно несущегося во все стороны. В каждый момент в каждой точке находится определенная частица вещества, имеющая определенную скорость. Поэтому, чтобы определить физическое состояние в данный мировой момент (то есть в данный момент в данной точке), нужно еще определить плотность вещества в этой точке и его скорость; плотность определяется одним числом, а скорость тремя слагающими вектора. Элементом мироздания, рассматриваемого с точки зрения кинематического его состояния, является частица материи, находящаяся в определенный момент в определенной точке и имеющая определенную скорость. Для определения этого элемента необходимо 8 координат (3 координаты точки в пространстве, показание часов, плотность вещества, 3 слагающие скорости). Мироздание в этом понимании представляет собой многообразие 8 измерений.

В обыкновенном пространстве линия определяется тем, что три координаты точки выражаются через один параметр (этим параметром может служить одна из координат, и тогда две координаты выражаются через третью). Поверхность определяется тем, что координаты каждой ее точки выражаются функциями двух параметров. Соответственно этому Риман разумеет под линией в многообразии и измерений совокупность его элементов, которые определяются значениями одного параметра. Если хь х2, Лз,, х„ суть координаты элемента, то линия в этом многообразии выражается уравнениями:

xi—fi (“),х2=/2 (и)х„ —/„ (и) (1).

Каждым значением параметра и при помощи этих уравнений определяется элементмногообразия; совокупность всех этих элементов и образует линию. Линия представляет собою, таким образом, многообразие одного измерения, входящее в состав многообразия и измерений. Таким же образом двухмерной поверхностью в многообразии и измерений называют совокупность элементов, координаты которых выражаются через два параметра:

X,=ft («!, и2), х2 =f2 (иь и2),,хп —

—fn (ui> из) (2).

Совершенно так же определяют поверхности

3-х, 4-х и более высокого числа измерений, входящие в состав многообразия и измерений.

Основным моментом в развитии идей Римана является установление элемента длины. В евклидовом пространстве в ортогональных декартовых координатах элемент длины линии, определяемый точками (xt, х2, х3) и (-4 + dx!, х2 + dx2, х3 + dx3), выражается формулой:

ds2=dxlz-1- dx22 + dx32 (За).

В косоугольных декартовых координатах элемент длины выражается более сложным выражением:

ds2=dxt2 + dx22 + dx32 -+- 2dx{ dx2 cos 93

-j-2 dx2 dx3 cos —)~ 2 dx3 dxy cos Э2 (3b),

где 0t, 92, 93 суть углы, попарно образуемые осями координат. В криволинейных координатах—например, в сферических, кругово-цилиндрических, эллиптических и других—элемент длины имеет более сложное выражение, которое, однако, всегда имеет вид:

ds-=g dX 2 -f- g22dxr + йззз2

Svidxldx2 + g2ldx2dxl gl3dxtdx3 ++ gndx-idXi + g23dx2dx3 + g32dx3dx2 (3),

где коэффициенты gy суть функции от координат Xj, х2, х3 точки, из которой линейный элемент исходит. (Член, содержащий произведение dxy dx2, здесь для симметрии и удобства многих вычислений разбит на два члена 12 dxj dx2 -f g2l dx2 dxg, при этом принимается gi2=g2i; общее значение этих двух коэффициентов, таким образом, представляет собою половину всего коэффициента при произведении дифференциалов dxxdx2). Так, если в полярных координатах х{ означает радиус - вектор точки, х2—ее долготу, а х3—ее зенитное расстояние, то

ds2=dx 2 +,xi2 sin2 x3 dx.,2 -f- .Vj2 dx32; здесь gu= 1, g22=x12sin2x3, =xfc

§4 — §21 — to 13=Й1 — g23 — §32 — 0-

В других координатах эти коэффициенты бывают еще сложнее. Можно сказать, что в трехмерном евклидовом пространстве квадрат элемента длины всегда выражается формулой Л!=,г()Л( №

i.J

где gij суть функции от хг, х2, х3, а сум-мование распространяется на все значения каждого индекса от 1 до 3.

Сообразуясь с этим, Риман определяет элемент длины в любом многообразии выражением (4), где коэффициенты gy суть функции от координат xlt х2, х3,.., д и, а сум-мование распространяется на все значения индексов i и / от 1 до п. Какими же функциями должны выражаться коэффициенты gip Какими угодно; выбрав эти функции, мы устанавливаем геометрию многообразия. Сообразно этому Риман называл всякое многообразие и измерений, в котором установлено выражение элемента длины в форме (4), пространством и измерений. Элементы этого многообразия называются точками пространства. Правая часть равенства (3) представляет собою однородное выражение 2-го порядка относительно дифференциалов dxlt dx2,, dxn или, как принято говорить, квадратичную форму от дифференциалов. Отличают формы двоякого рода: определенные, которые при всех значениях переменных сохраняют один и тот же знак, и неопределенные, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Так как форма (4) выражает квадрат элемента длины, то Риман, естественно, требует, чтобы это была определенная положительная форма.

В какой же мере геометрия пространства действительно определяется элементом длиные Нижеследующие соображения дадут об этом представление.

Положим, что в пространстве и измерений, определяемом элементом длины (4), задана кривая, выражаемая уравнениями (1). Тогда для элемента этой кривой, выходящего из точки и,

dxx — f{(u)du, dx2=/2 (и) da,.. dxn= (и) du.

Вместе с тем

ds=Y vgijfi (и) f/(u) du=<p(u) du,

i.j

где <p(u)—известная нам функция от и, коль скоро заданы уравнения (1), определяющие кривую. Сообразно этому длина дуги этой кривой, которая содержится между точками, определяемыми значениями параметра и0 и их, выражается интегралом

«1

J <р (и) du

и0

(5).

Мы имеем, таким образом, возможность измерять длины любой дуги.

Положим, что через точку М в некотором пространстве проходят две линии. Пусть дифференциалы dxb dx2,.„, dxn определяют выходящий из точки М элемент одной из этих линий, а dxlt dx2,, ох„—элемент другой; пусть ds будет длина первого элемента, ds—длина второго элемента. Если дело происходит в трехмерном евклидовом пространстве при ортогональных декартовых координатах, то угол между этими элементами, как известно, определяется формулой

cos ш =

dXy

dxi dx2 dx2. dx3

6s ds ds ds

(6).

При косоугольных декартовых координатах, каждый элемент дуги выражается формулой (ЗЬ), тот же угол выражается соотношением:

dx, dx,

cos со=—— -j-1 4-ds ds

+ cos Bt

+ cos B2

+ COS 03

dx 2 ds dx 3 ds dx_1 ds

dx2 6x2, dx3 ojc3 ds 6s ‘ ds bs ‘ a8 I dx3 Cеx2 ds ‘ ds ds J dxi, dxt J.v3 ds ds ds J

dxJ j_ dxJ. 1-1Л. ds ds ds)

Сличая эти выражения с выражением квадрата линейного элемента, мы видим, что и в том и в другом случае

vp dx, dx,

c°sco=2WT

(7)-

Нетрудно показать, что при любом выражении элемента длины правая часть выражения (7) представляет собою правильную дробь. Таким образом, в каком угодно пространстве соотношение (7) определяет один, и только один, угол со (между 0 и к), ему удовлетворяющий; этот угол и принимается за угол между соответствующими линейными элементами, из этой точки выходящими. Положения Римана, таким образом, устанавливают средства измерения не только длин, но и углов.

Как бы ни был выражен линейный элемент (при некоторых оговорках, относящихся к аналитическому характеру функций gtj), между двумя точками проходит линия, вдоль которой интеграл (5) достигает минимума, то есть которая имеет между этими точками минимальную длину. Эго геодезические линии пространства, которые разыскиваются методами вариационного исчисления (смотрите XXII, 331/32, прнл.).

Из каждой точки проходит геодезическая линия в любом направлении.

Плоскость в обыкновенном евклидовом пространстве характеризуется тем, что всякая прямая, имеющая с ней две общие точки, расположена в ней целиком. Аналогичных поверхностей в любом пространстве, то есть определяемом любым выражением элемента длины, вообще говоря, не существует. Но через любую точку М такого пространства всегда можно провести двухмерную поверхность, которая обладает этим cboIctbom по отношению к точке М в ее окрестности. Это нужно понимать следующим образом.

Если мы точку М обведем на этой поверхности замкнутым контуром достаточно малых размеров и возьмем произвольную точку Mt внутри этого контура, то геодезическая линия, идущая от точки М к точке М, расположена в этой поверхности целиком. Такого рода двухмерная поверхность называется геодезической в точке М. Замечательно, что геодезическая поверхность в данной точке вполне определяется двумя геодезическими линиями, из этой точки выходящими.

Положим теперь, что мы имеем произвольное пространство; выберем в нем произвольно же точку М. Из этой точки проведем два любых линейных элемента. В направлениях этих элементов проходят две геодезические линии, а двумя геодезическими линиями определяется геодезическая поверхность в этой точке. Следовательно, в каждой точке геодезическая поверхность определяется двумя линейными элементами, из нее выходящими. Если обведем на этой поверхности точку М замкнутым контуром, то получим геодезическую площадку, окружающую точку М и определяемую теми же двумя линейными элементами. Такие площадки можно, следовательно, провести через любые два линейных элемента, подобно тому, как в обыкновенном пространстве через любые два линейных элемента, выходящих из общей точки, можно провести плоский кружок любым малым радиусом. Итак, в произвольном пространстве, из любой его точки, проведем два линейных элемента, а через них проведем геодезическую площадку. Эта геодезическая площадка есть двухмерная поверхность, а потому имеет в точке М определенную кривизну. Эту кривизну Риман называет кривизной пространства в точке М в этой площадке, ее окружающей.