> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Таким образом

Таким образом

Таким образом, Риманом обобщено учение Гаусса о кривизне поверхности. Поверхность, как ее понимал Гаусс, есть двухмерное пространство: оно имеет в каждой точке определенную кривизну. В пространстве большего числа измерений нельзя говорить о кривизне его в данной точке; можно говорить только о его кривизне в определенной геодезической площадке, окружающей данную точку; в той же самой точке в площадках, раз дично ориентированные, кривизна бывает, вообще говоря, различная. Кривизна получает определенное значение, когда задана точка М и два линейных элемента (два направления), из нее выходящие и определяющие геодезическую площадку, к которой эта кривизна относится.

Движения в пространстве, как его понимает Риман, суть геометрические его преобразования, образующие группу и сохраняющие без изменлтия численное значение каждого элемента длины. Если в некоторой площадке существует движение, совмещающее точку М и окружающую ее геодезическую площадку в которой кривизна равча К, с точкой М и площадкой >!>, в которой кривизна есть Кто К—К’’, это есть опять-таки развитие теоремы Гаусса (смотрите глава 8, ст. 359/6(У).

Положим, что в некотором пространстве возможны свободные движения, приводящие любую точку М в любую другую точку М и в одной и той же точке приводящие путем вращения любую геодезическую площадку в совмещение с любой другой площадкой. Если путем вращения вокруг точки М можно всякую площадку $Р совместить с любой другой площадкой, то кривизна пространа ва в каждой точке не зависит от направления площадки; пространство имеет в каждой точке определенную кривизну К Выражаясь фигурально, можно сказать, что пространство в каждой точке однородно. Если, сверх того, каждую точку М можно привести в совмещение с любой другой точкой М, то кривизна не меняется также от точки к точке. Выражаясь образно, можно сказать, что пространство сплошь однородно во всех своих частях; выражаясь же точно геометрически, нужно сказать, что пространство имеет постоянную кривизну (то есть кривизну, не зависящую ни от направления площадки в данной точке, ни от положения самой точки).

В евклидовом пространстве трех измерений элемент длины может быть выражен формулой (За), так как здесь

£ц—<е22=£е33=1> Si2~S23 =1Г31 — 0»

с другой стороны, в выражении римановой кривизны каждый член содержит в качестве множителя производную 1-го и 2-го порядка (по независимым переменным xlt х2, х2) от того или иного коэффициента. Так как здесь эти коэффициенты имеют постоянные значения, то все производные равны нулю, и кривизна евклидова пространства равна нулю во всякой точке и во всякой геодезической площадке, эту точку окружающей. Евклидово пространство трех измерений есть пространство постоянной (нулевой) кривизны.

Имея выражение элемента длины в трехмерном пространстве Лобачевского, или, как говорят теперь, в трехмерном гиперболическом пространстве, Риман вычислил здесь кривизну и обнаружил, что оно имеет постоянную отрицательную кривизну.

У Римана, естественно, возник вопрос о том, нельзя ли построить пространство с постоянной положительной кривизной. Риман обнаружил, что это возможно, и это привело к новой геометрии — римановой в узком смысле слова. Рмманова геометрия есть геометрия пространства постоянной положительной кривизны. Эта геометрия черезвычайно своеобразна. Здесь все геодезические линии — замкнутые конечные кривые; риманово пространство имеет, таким образом, конечные размеры. Параллельных линий здесь не существует: всякие две геодезические линии пересекаются и притом в двух точках. Образцом рима-нова пространства двух измерений служит сфера. Клейн построил в евклидовом пространстве интерпретацию трехмерного ри-манова пространства, руководясь теми же идеями Кели, которые его привели к интерпретации гиперболического пространства.

Следуя идеям Римана, Бельтрами показал, как можно построить пространство постоянной кривизны любого числа изме рений. Ограничимся только замечанием, что во всяком пространстве постоянной кривизны и измерений элемент длины может быть приведен к виду

ds2= dxi2 ~1~ dxn2t

1+ (! +++«) ’

где К есть кривизна пространства. При К — 0 мы получаем обычное выражение элемента длины в евклидовом пространстве; при К > 0 это есть выражение квадрата элемента длины в эллиптическом пространстве, при К < 0 — в гиперболическом.

Пространство четырех измерений в настоящее время приобрело большое значение в теоретической физике. С точки зрения Эйнштейна, для описания соотношений между реальными предметами на всем протяжении мироздания наиболее целесообразным является пользоваться римановой геометрией (смотрите теория относительности, 423/24 сл.).

15. Обоснование геометрии. Возвратимся теперь к тому вопросу, который послужил источником всего этого ряда новых и своеобразных идей, то есть к вопросу о пятом постулате Евклида. Какой вывод можно сделать относительно этого постулата из того обстоятельства, что геометрия Лобачевского оказалось логически правильнойе Если бы пятый постулат представлял собой следствие из остальных постулатов Евклида, то противоположное допущение, как мы уже не раз указывали, неизбежно приводило бы к абсурду. Раз такого абсурда мы не получаем, то это означает, что с остальными постулатами Евклида одинаково совместимы как пятый постулат, так и противоположное положение. Пятый постулат не представляет собою логического следствия из остальных основных положений Евклида и доказан быть не может. Это выражают в настоящее время так: пятый постулат Евклида представляет собою положение, не зависящее от остальных его основных положений. Он неизбежно должен быть внесен в число основных положений или должен быть заменен равносильным ему постулатом, коль скоро мы желаем синтетически построить евклидову геометрию.

Вопрос о пробеле в теории параллельных линий, таким образом, совершенно исчерпан. Но, конечно, в оценке значения идей, к которым привела неевклидова геометрия, это только первый шаг. Идеи эти устанавливают, как вообще должно быть выполнено логическое обоснование геометрии. Самым существенным результатом всех изложенных выше рассуждшшй является сознание, что геометрические понятия (термины) не связаны неразрывно с теми наглядными представлениями, которые мы привычно и традиционно с ними соединяем. Напротив, геометрические истины суть формальные суждения, которые могут получать осуществление на весьма разнообразных объектах. Поэтому, формально-логическое построение системы геометрии может действительно удовлетворять требованиям дедуктивной логики только в том случае, если основные понятия будут так определены, чтобы они совершенно не были связаны с какими бы то ни было реальными представлениями. Это должны быть термины, под которые могут быть подведены разнообразные объекты. Вне этого условия нет и не может быть речи о действительно логическом, о формально-дедуктивном построении геометрии. Однако, всякая дедуктивная дисциплина необходимо имеет точки отправления, так называемые основные понятия, определению уже не подлежащие. Каковы должны быть основные понятия при формальном построениигеометриие Ответ на это только один: при строго дедуктивном обосновании геометрии точкой отправления должны служить такие понятия, которые лежат за пределами геометрии, как, например: предметы, или объекты, совокупности, сопряжения и т. и. Этими понятиями мы пользуемся не только в геометрии, но и во всякой другой дисциплине. Всякие действительно геометрические понятия должны быть определены.

Итак, при помощи понятий, так сказать, загеометрических (то есть вне пределов геометрии лежащих) должны быть определены основные понятия геометрии: точки, углы, линии, поверхности, движения. Эти понятия должны быть связаны основными положениями— постулатами или аксиомами. Постулаты должны быть логически совместны, но независимы между собой. Это значит, что ни один из постулатов не должен противоречить другим и не должен представлять собой следствие остальных. То и другое, то есть логическая совместность и логическая независимость, должны быть доказаны. Чтобы доказать логическую совместность основных положений, необходимо показать, что существует такая интерпретация, или такое осуществление системы постулатов, при которой все они оказываются справедливыми. В самом деле, если существует такая система объектов, на которой оправдываются все основные положения, то противоречия между ними нет. Далее, чтобы доказать логическую независимость одного постулата от остальных, нужно дать такую интерпретацию всей системы, при которой все остальные положения (то есть все постулаты, кроме того, независимость которого мы доказываем) осуществлены, этот же постулат несправедлив. Таким образом, если система содержит, скажем, 7 постулатов, то нужно дать 8 интерпретаций, из которых одна должна удовлетворять всем „требованиям“ (постулатам), каждая же из остальных должна удовлетворять 6 требованиям, а 7-му не удовлетворять.

Первая строго формальная система геометрии была предложена германским математиком Д. Гильбертом (Hilbert, родился 1862) в 1899 г. в юбилейном сборнике, выпущенном по поводу открытия памятника Гауссу и Веберу в Геттингене. Она обладает черезвычайно высокими достоинствами, хотя в отдельных своих пунктах и встретила серьезные возражения, потребовавшие исправления некоторых постулатов. Система Гильберта довольно сложна, и изложение ее здесь потребовало бы много новых разъяснений. Чтобы дать понятие о построении формальной геометрической системы в порядке выраженных выше идей, мы изложим здесь систему, предложеннуюавтором настоящей статьи в 1905 г. в сочинении .Основания геометрии“.

16. Система евклидовой геометрии. Положим, что мы имеем какое-либо множество, или многообразие, элементами которого могут быть какие угодно объекты. В этом многообразии установим различные сопряжения его с самим собою; как мы видели выше, это всегда возможно сделать в любом многообразии. Сопряжения эти могут быть какие угодно; мы даже не предполагаем, что это должны быть непременно совершенные сопряжения. Далее, каждой паре различных элементов этого многообразия отнесем произвольно выбранное арифметическое число, отличное от нуля; это также, конечно, можно выполнить разнообразнейшими способами.