> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Таким образом

Таким образом

Таким образом, иррациональные числа, как все основные идеи математики, завоевали себе место сначала без достаточного обоснования. Только в эпоху ревизионизма, в середине XIX ст., вопрос острогом обосновании учения об иррациональном числе был поставлен на очередь и получил исчерпывающее разрешение в работах Вей-ерштрасса (смотрите), Кантора и Дедекинда (смотрите). Система Дедекинда получила, благодаря значительно большей простоте и отчетливости, исключительное распространение. Мы постараемся, поэтому, выяснить здесь его идею. Свою систему Дедекинд изложил в мемуаре „Непрерывность и иррациональные числа“ ). Введение к отдельному изданию этого небольшого, но замечательного, сочинения настолько освещает сущность и значение вопроса, что мы считаем нужным поместить здесь первые два абзаца целиком.

„Рассуждения, составляющие предмет этого маленького сочинения, относятся к осени 1858 г. Тогда я, в качестве профессора Союзного политехникума в Цюрихе, в первый раз обязан был по своему положению излагать элементы дифференциального исчисления и при этом чувствовал живее чем когда-либо недостаток в действительно научном обосновании арифметики-При изложении понятия о приближении переменной величины к постоянному пределу, и именно при доказательстве того положения, что величина, которая возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, должна приближаться к некоторому пределу, я прибегал к геометрической наглядности. Да и теперь я из дидактических оснований считаю такое привлечение геометрической наглядности при первом обучении дифференциальному исчислению необычайно полезным, даже неизбежным, если не хотят потратить слишком много времени. Но никто не станет отрицать того, что этот способ введения в изучение дифференциального исчисления не может иметь никакого притязания на научность.“

„Во мне тогда это чувство неудовлетворенности преобладало в такой степени,что я принял твердое решение думать до тех пор, пока не найду чисто арифметического и вполне строгого основания для начал анализа бесконечных. Говорят часто, что

) „Stetigkeit und Irrationale Zalilen“, 1872. В 1923 г. выпущено четвертое русское изд.: Дедекинд, „Непрерывность и иррациональные числа“, Одесса, Магезис.

дифференциальное исчисление занимается непрерывными величинами; однако же нигде не дают определения этой непрерывности и даже при самом строгом изложении дифференциального исчисления доказательства не основывают на непрерывности, а апеллируют более или менее сознательно либо к геометрическим представлениям, либо к представлениям, которые берут свое начало в геометрии, либо, наконец, основывают доказательства на положениях, которые сами никогда не были доказаны чисто арифметическим путем.-

Итак, Дедекинд прежде всего связывает введение понятия об иррациональном числе с обоснованием идеи о непрерывности. В чем же заключается связь между этими понятиямие

Если мы возьмем луч, то есть часть прямой линии, расположенную по одну сторону от некоторой .начальной точки О, то между его элементами,—точками, и рядом рациональных чисел существует аналогия: точки луча по мере удаления от его начальной точки следуют друг за другом в определенном порядке подобно тому, как следуют друг за другом возрастающие рациональные числа. Относительно каждых двух точек луча М и М можно сказать, которая из двух следует за другой; и если точка М следует за М, а точка М“ следует за М, то и точка М“ следует за М (транзитивность понятия „следует-). В соответствии с этим находится и наше представление о прямой, как о ряде следующих друг за другом точек. Точно так же рациональные числа образуют аналогичный ряд: из двух различных чисел т и т одно больше другого, и если т > т, а т“ > т!, то т“ > т (транзитивность понятия „больше). Эта аналогия служила основанием для тех геометрических соображений, на которые, как указывает Дедекинд, приходится опираться при изучении числового ряда.

Но между рядом точек на луче и рядом рациональных чисел есть и существенная разница. Когда точка М продвигается вдоль по лучу от его начальной точки, то отрезок ОМ постоянно возрастает, как возрастают элементы числового ряда — рациональные числа. Если принять определенный отрезок за единицу, то можно будет измерять отрезки или выражать их числами; при этом каждому рациональному числу т будет отвечать такая точка М, что отрезок ОМ будет выражаться числом т. Но обратное не имеет места: не всякий отрезок ОМ выражается рациональным числом. В ряду рациональных чисел не хватает чисел для выражения длины всякого отрезка. Если, например, от вершины О отложить на луче отрезок, равный гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника с рациональнымкатетом, то конечной точке этого отрезка никакое рациональное число отвечать не будет. Ряд точек прямой об льнее, нежели ряд рациональных чисел; несмотря на густоту последнего (между любыми, сколь угодно близкими, двумя рациональными числами содержится бесчисленное множество других рациональных чисел), в нем есть пробелы — он не непрерывен. Задача, которую себе поставил Дедекинд, заключалась прежде всего в том, чтобы эти пробелы, это отсутствие непрерывности констатировать, не прибегая к геометрической аналогии. Вот как он достигает этой цели.

Ряд рациональных чисел может быть многообразно рассечен на две группы таким образам, чтобы каждое число одной группы было больше каждого числа другой группы. Например, мы можем отнести к первой группе все рациональные числа, не превосходящие 4, а ко второй все числа, большие 4; ясно, что при этих условиях каждое число второй группы превышает любое число первой группы. Такое расщепление ряда рациональных чисел Дедекинд называет сечением.

Существо дела заключается в том, что возможны два рода сечений. Приведенный пример представляет собою сечение первого рода; оно характеризуется тем, что первая группа имеет последний (наибольший) элемент 4. Естественно, что вторая группа крайнего элемента уже не имеет: в нее входят числа, бблыпие 4; наименьшего среди них уже нет. Можно число 4 перенести во вторую груп iy; тогда первая группа не будет иметь последнего (наибольшего) элемента, но вторая будет иметь первый (наименьший) элемент. Характерным для этого сечения является, следовательно, то обстоятельство, что существует элемент (число 4), который может завершить первую группу или начать вторую. Можно выделить это число из обеих групп и сказать, что оно это сечение производит в том смысле, что оно как бы разделяет ряд натуральных чисел на две группы: к одной относятся числа, ббльшие его, к другой — меньшие; самое же это число мы можем отнести либо к одной, либо к другой группе. Такого рода сечения мы будем называть замкнутыми, а пограничное для обеих групп число будем называть замыкающим. Есть, однако, сечения иного рода, в которых замыкающего числа нет. Если, например, разделить все рациональные числа на две группы, относя к первой все числа, квадраты которых меньше 2, а ко второй все числа, квадраты которых больше 2,—то ни первая, ни вторая группа замыкающего числа не имеют: нет наибольшего числа в первой группе, нет наименьшего числа во второй группе; в самом деле, произведя приближенное извлечение квадратного корня, мы можем по лучить неограниченный ряд приближенноменьших значений (квадраты их будут меньше 2-х) и неограниченный ряд лриближен-но-больших значений (квадраты их будут больше 2-х). Такого рода сечения мы будем называть разомкнутыми, или открытыми.

Ряд рациональных чисел имеет, как мы сказали, пробелы; эти пробелы в том и заключаются, что не существует чисел, которые замыкали бы открытые сечения; и чтобы эти пробелы восполнить, чтобы сделать ряд непрерывным, нужно ввести новые числа, которые все открытые сечения замыкают. В этом заключается идея Дедекинда. Он осуществляет ее следующим образом.

В области рациональных чисел, как мы видели, возможно бесчисленное множество сечений. С каждым сечением будем соединять новое понятие, графически — новый символ, который будем называть арифметическим числом. Какое дать этим симво лам начертание, дело второстепенное; мы будем этот символ выбирать в каждом случае спорадически, в зависимости от сечения, с которым он соединяется.

Пусть теперь х и у будут два арифметических числа; первое образуется сечением (X, А), второе—сечением (У, У); при этом мы разумеем, что в группу×включены меньшие, в группу×— большие числа; то же относится к группам У и У. Может случиться, что сечение (X, X) совпадает с сечею.ем (К, У); в таком случае мы будем говорить, что арифметическое число х равно арифметическому числу у (х=у). Если это не и еет места, то либо группа×содержит числа, которых нет в У, либо, наоборот, группа У содержит числа, которых нет в Х в первом случае мы будем говорить, что х > у, во втором что х<у. Очень легко показать, что постулаты сравнения при этих соглашениях удовлетворены и что совокупность арифметических чисел этим путем превращена в величину.— Каждое арифметическое число связано с некоторым сечением. Если сечение (Л“, X), производящее арифм. число х, замыкается некот „

Торым рациональным числом —, то мы будем отождествлять х с рациональным числом - (то есть будем считать х= —); иными я псловами, под символом х мы будем в этомслучае разуметь рациональное число —.

п

Вследствие этого соглашения комплекс арифметических чисел содержит в себе все рациональные числа. Арифметические числа, связанные с открытыми сечениями (то есть не замыкаемыми рациональными числами), мы будем называть иррациональными. Комплекс арифметических чисел является, таким образом, более мощным, чем комплекс рациональных чисел; переход от рациональных чисел к комплексу арифме тических чисел представляет новый этап в деле эволюции понятия о числе.

Пусть (А, А) будет некоторое разомкнутое сечение ряда рациональных чисел, которое воспроизводит иррациональное число а. Пусть а—рациональное число, принадлежащее группе А. Сравним числа а и а, то есть постараемся определить, которое из них больше. Чтобы воспользоваться установленным выше критерием, мы должны обратиться к тому сечен ию (А, А), которое производит число а. Так как а есть число рациональное, то это последнее сечение есть замкнутое: оно замыкается самим числом а. которое мы можем считать наибольшим числом группы А. Так как число а принадлежит группе А, которая не замкнута, то в последней имеются числа, превосходящие а. Иными словами, группа А составляет часть группы А, а потому а < а. Таким же образом докажем, что а > а, если а есть любое число группы А. Итак, иррациональное число а, определяемое сечением (А, А’), больше всякого (рационального) числа группы А и меньше всякого числа группы А оно в этом смысле замыкает сечение (4, А). Иррациональные числа таким образом заполняют все пробелы в ряду рациональных чисел и делают его непрерывным. Мы говорили до этих пор о сечениях в ряду рациональных чисел, но, если теперь таким же образом рассечь ряд всех арифметических чисел то такое сечение всегда замыкается арифметическим числом. В этом заключается непрерывность ряда всех арифметических чисел. Цель, которую себе поставил Дедекннд, достигнута.