dx
(ft
dy _
V
z=f M 1 »
(It
/l-
_. dx
v2 ~ xdt c2
<S>
d_V,. dz » dt ‘ T%dt
Первые три соответствуют ньютоновским
“ d dx. mg=dimTt=f и т-дчетвертое замепяет соотношение d 1
dt 2
mv
dx dy ~Ix dt dt
t -
“dt
В этой системе m0 получается как результатумножения V па р =
в___f
V1-
; р полус2
чило название „движущейся“ плотности.
2) Динамика. Основное соотношение Нью--¥ -
Тона т. у — f должно было получить свое обобщение в специальной Т. о., что и было сделано Пуанкаре и Минковским. Четвертая компонента вектора ускорения имеет ту особенность, что она может быть выражена через ее первые три компоненты и вектор скорости; если специальная Т. о. должна на место трех соотношений Ньютона поставить четыре новых, то зависимость четвертой компоненты вектора силы (а сила должна иметь теперь четыре компоненты, а не три) должна быть в такой же зависимости от своих первых трех компонент и вектора скорости, как и четвертая компонента ускорения. Только в этом случае можно установить, по аналогии с трехмерным законом Ньютона, пропорциональность между силой и усковыражающее закон сохранения эпергии. Мм видим, что различие для первых трех уравнений состоит в том, что в левой части этих уравнений вместо массы т0 стоит Tern
перь выражение —— . Если уело-
V-
виться называть это выражение количеством движения, то новые уравнения могут быть формулированы по старому: производная от количеств движения mv но времени равняется действующей силе. Можно называть также массой коэффициент, стоящий при ускорепии; в таком случае масса также оказывается зависящей от скорости; исходя из уравнений (8) можно показать, что для продольного ускорения масса бут.
дет равва -° .,, а для поперечного
Зависимость инертяой массы
h$Yh
от скорости совершенно чужда классической механике. Опыты, главным образом Гши и,
Лаванши, во также и других учепых, определявших отношсипо заряда в массе электрона при различных скоростях электрона, оказались в согласия с приведенными формулами и в противоречии с формулами классической механики и электро-динамики, в которых кажущееся изменение массы электрона при изменении его скорости объясняется воздействием электромагнитного поля на поле движущегося заряда е.
Четвертое из основных соотношений показывает, что в специальной Т. о., вместо классического выражения для кинетической „ 1 „
энергии материальной точки — то-, мы имеемвыражение
Торое совпадает с классическим только в первом приближении, если отбросить вели-v%
чины порядка и меньше по сравнению е единицей.
Уравнения движения материальной точки в специальной Т. о. так же, как и в классической механике, могут быть получены из вариационных принципов.
3) Электро-динамика. Формальное введение времени, как четвертого измерения, дало возможность написать основные уравнения электро-динампки в черезвычайно простои и симметричной форме. Инвариантность их для всех находящихся в поступательном и равномерном друг относительно друга движении координатных систем позволила решить в простой и элегантной форме и по одному общему методу целый ряд важнейших оптических и электрических задач для тел, находящихся в двиялепии. Не имея возможности останавливаться на всех этих черезвычайно интересных вопросах, мы коснемся здесь только нескольких новых фундаментальных понятий, введенных в физику специальной Т. о.
Чрезвычайно важным для дальнейшего развития теории оказалось новое понятие тензора энергии и материи. Ужо в классической электродинамике Максвеллом, а потом и другими учеными, было показано, что механическое действие электромагнитного поля па материю можно представить как результат действия особых напряжений в эфире; с точки зреппя теории Максвелла эти напряжения должны быть, конечно, происхождения электромагни того. Более поздняя теория электронов Лоренца прибавила к этой силе еще одну новую, равную отрицательной производной по времени от потока электромагнитной энергии (так называемым вектора Пойнтннга), разделенного на скорость света. Ота сила, равная изменению во временинекоторой величины, аналогична по форме силе инерции классической механики, которая в уравнения классической механики входит как производная но времени от количества движения. Абрагам назвал эту величину электромагнитным количеством движения (или импульсом).
Силу механического действия па единицу объёма электрического заряда и работу ее в единицу времени можно рассматривать в специальной Т. о. как четырехмерный вектор. Ряд простых преобразований приводит выражение этой силы к точно такой же зависимости от напряжений Максвелла в пустоте и от электромагнитного количества движений, как и ранее для механической силы в теории Лоренца. Если ми возьмем замкнутую и изолированную систему, то применяя к пей первые три компоненты этого четырехмерного вектора и написав законы движепия, мы получим по отношению ко всей системе закон сохранения ее общего количества движений, то есть мехапп веского и электромагнитного вместе взятых; воспользовавшись же четвертой компонентой четырехмерного вектора, мы получим закон сохранения энергии. Знаменитый когда-то спор между Декартом и Лейбницом о том, сохраняется ли количество движений или живая сила, разрешается здесь одним общим и единственным законом.
Девять компонент тензора напряжений Максвелла вместе с шестью компонентами электромагнитного количества движений (из которых каз;дые две попарно равны по абсолютной величине и противоположны по знаку), к которым надо присоединить еще плотность электромагнитной энергии, составляют в общей своей совокупности шестнадцать величин; этп шестнадцать величии, как можпо показать, являются в четырехмерном пространстве компонентами тензора второго ранга (смотрите тензориальное исчисление). Мы видим здесь, что r специальной Т. о. плотность энергия вовсе не представляет собою скалар, как это можно было бы думать рапьше. Если в одной координатной системе К0 плотность энергии не равна нулю, а равна, скажем, гс0, но поток энергии отсутствует (иапр., электростатически заря:кеи-нын шар), то в другой системе К, движущейся со скоростью V относительно К0, поток энергии, или „количество движения11, уже не будет равен нулю, по окажется равным плотности энергия в К0, разделенной на квадрат скорости света и умноженной па относительную скорость v обеих систем. Отсюда становится попятным один из замечательнейших выводов специальной Т. о., а именно, что энергия, деленная на квадрат скорости света, оказывается эквивалентной в смысле своего механического действия некоторой массе т0 устанавливается соотношение да0=
1441-га-
М.
- -- - Эквивалентность энергии материннашла в повой физике весьма много замечательных приложении. Указанный тензор второго ранга, в который энергия входит как составная часть, получил название тензора энергии и материи. Если считать, что природа вещей должна быть объяснена электромагнитным полем, то понятие этого тензора можно признать для физики фундаментальным, хотя его истинное выражение и нельзя еще считать известным.
4) Эфир. Специальная Т. о. отрицает возможность обнаружить абсолютное движение. Относительное поступательное движение двух систем может быть обнаружено в том случае, если у нас имеется возможность связать эта системы с двигающейся материей. Такие системы могут быть, например, связаны землею, солппем и тому подобное. По представлению специальной Т. о. пространство между звездами, планетами и так далее вовсе не пусто, ибо в нем, во всяком случае, находится излучаемая материей энергия, а энергия и масса эквивалентны. Специальная Т.о. утверждает только, что с этой, скажем, междузвезднон массой или энергией мы на основании наших наблюдений не можем экспериментально связать никакой определенной системы координат, как можем это сделать по отношению к земле или к сыпцу. Именно в этом смысле специальная Т. о. и утверждает, что эфир не существует, в противоположность эфирам Герца и Лоренца; в их теориях эфир всегда можпо было связать с некоторой системой координат, которая в силу этого обстоятельства становилась абсолютной. Если считать эфиром не материю какого-ппбудь исключительного свойства, „не материальную“ в обычном смысле этого слова, как эфир оптики до появления электромагнитной теории света, а пазвать эфиром энергию иди эвивалентную ей массу, то такое понятие эфира вовсе не противоречит специальной Т. о.
IV. Общая Т. о. Как уже было сказано, осповиая идея Т. о. состояла в пересмотре способа введения в физику понятий пространства и времени. В схематизированной и в возможно более упрощенной форме этот способ состоит в следующем.
1) Многообразию действительно существую-щпхвещей (с которымпмеетдело физика) сопоставляется математическое многообразие точек четырех измерений. Это означает, что каждой физической вещи сопоставляются четыре числа: три числа отличают данную вещь от всякой другой по положению, четвертое—по времени. В четырехмерном математическом многообразии первые три числа, взятые отдельно, будут тремя пространственными координатами; вместе с четвертой (временем) опи будут координатами точкичетырехмерного пространства; мы их обозначим ®|, .т2, .г3, хк. Сопоставление должно быть сделано так, чтобы опо было взаимно и однозначно; его можно назвать арифмети-зацией физического пространства и времени, и практически оно сводится к введению какой-нибудь координатной системы для нахождения положения вещей и к указанию способа измерения времени в каждой точке координатной системы.
2) Такого рода арпфметпзпрованное физическое многообразие, если представить его себе в виде геометрического пространства, не имеет еще никакой геометрии. Следующий шаг физика состоит в том, чтобы определенным физическим явлениям, наблюдаемым в физическом многообразии,сопоставить в математическом многообразии определенные геометрические или временные понятия. Так, лучу света между двумя вещами, которым мы сопоставляем математическое попятив точек, можно сопоставить геометрическое понятие прямой; другим явлениям можпо сопоставить геометрические понятия угла, площади, объёма и так далее Сопоставления эти произвольны так же, как и арифмети-зацпя пространства и времени; если можно пользоваться паравпе с координатами прямолинейными координатами сферическими, цилиндрическими или еще какими-нибудь другими, то можпо, например, считать за прямую не луч света, а натянутый шнур, край липейки и так далее
3) Изучение математических многообразий точек и различных возможных в них геометрий привело к систематизации геометрий в зависимости от их свойств. Употребляя вместо слова многообразие слово пространство, говорят о пространствах постоянной, переменной, положительной или отрицательной кривизны; различают также пространства по их „связности“, понимая под этим некоторое определеппое измепеппе их свойств при переходе от точки к точке (смотрите топология), наконец, пространства различают по значению некоторых функций, входящих в так называемое выражеtiue элемента длины или расстояния двух бесконечно близких точек:
ds2=2 Oik dx> djck<
i, =1,2,3,4
функции gik составляют тензор, обычно называемый фундаментальным, так как с его помощью характеризуются свойства пространства. Например, если gik имеют значение gik=0 при г ф К и g(k=1 при г=к, то пространство будет обыкновенным эвклидовым (смотрите теоретические основания математики).
4) В арифметизированпом физическом многообразии мы должны теперь выбрать такие явления, с помощью которых мы смогли бывнести попятие об инвариантной длине ds. В математическом многообразии для достаточно малых разностей координат можно считать gik постоянными. Можно найти два таких физических явления, чтобы с их помощью физически интерпретировать элемент ds2 в тех двух случаях, когда или приращение четвертой координаты равно нулю, или приращение первых трех координат равно нулю. Первое явление будет масштабом длины, второе—масштабом времени. Масштабом длины может быть длина волны света, длина метра эталона и так далее; масштабом времени могут быть приняты любые часы, в частности так называемые световые часы, то есть луч света, бегающий взад и вперед между двумя параллельными зеркалами и своим постоянным возвращением к одному из зеркал измеряющий время.
5) Если в выражении для ds разности координат d.T; двух любых точек, с одной стороны, и расстояние, или интервал времени, между ними, с другой—известны, то, взяв достаточное число точек по соседству с данной точкой, можно получить число уравнений, необходимое для вычисления в данной точке всех величин gik. Переходя от точки к точке, молено таким образом установить экспс-риментальные значения их для всего пространства. Опыт нам дает, что в пределах лаборатории и с точностью, определяемой ошибками наблюдения, значение gik соответствует эвклидовой геометрии, когда дело идет о трехмерном пространстве; специальная Т. о. показывает, что в пределах лаборатории для элемента длины в четырехмерном пространстве следует написать:
физическому, может быть заменено другим с помощью другой арпфметизации физического пространства. Переход от одного к другому аналитически может быть сделан с помощью соответствующего преобразования координат. Математика дает физику средства найти такие функции тензоров разных рангов, имеющих разное физическое значение, которые не зависели бы от случайно избранного способа арифметизацпн пространства и которые выражали бы свойства физических вещей, неизменные при каких угодно преобразованиях координат, в число которых входит и какое угодно движение. Специальная Т. о. привела к выводу, что материи может быть сопоставлен тензор энергии и материи. Этот тензор, как было указано, может и не иметь непременно того вида, который ему дала специальная Т. о. Не предрешая его вида и обозначив его через Tik, основные соотношения Эйнштейна должно написать в виде соотношения между тензорами gik и Tik. Это соотношение должно быть написано в тензориальной форме, ибо только в такой форме оно удовлетворяет требованию независимости от случайного выбора координатной системы, то есть oowfiii относительности.
8) Исходным пунктом для Эйнштейна было известное из механики уравнение Пуассона
rf-’ф, d2if, ,
<hk~d~2= ’где потенциал
(Щ
dx21 dy2
материи, плотность которой р. Обобщая его, Эйнштейн написал своп основные уравнения в таком виде:
- I Oik Л= 2V, г, k= 1, 2, 3, 4, .. .(9),
ds2=da 2 + dx22 + dx32 — с2 dxk2.
6) Опыт ничего не говорит нам, какие бы значения для gik мы получили, если бы мы могли измерять как достаточно малые, гак и достататочно большие расстояния; равным образом, опыт ничего не может сказать о том, что лежит и пределах точности наблюдения. Теория Эйнштейна пробует закономерно связать значение функций д(к с тем, что определяет собою все, происходящее в мире, то есть с матерней, и из этой связи иайти их истинное значение и там, где грубый непосредственный опыт этого сделать не может. Косвенным подтверждением правильности найденных значений gik будет опытпая проверка выводов теории.
7) Основные свойства физических тел — вещей физического многообразия — не могут, очевидно, зависеть от арифметизацпн физического пространства в таком же смысле, в каком события жизни не зависят от того, пользуемся ли мы в географии полярными или прямоугольными координатами. Математическое многообразие точек, сопоставленноегде Rik и R функции от gik и их первых и вторых производных но четырем координатам и к постоянная, зависящая от выбора единиц. Функция R — так называемым риманова кривизна пространства. Функции Rik составляют шестнадцать компонент так паз. ри-манова тензора кривизны
Эти основные уравнения, подобно основным уравнениям классической механики, могут быть выведены пз вариационного принципа. Эти уравнения в первом приближении должны дать в пределах лаборатории геометрию Эвклида.
9) Если при Т,к, наперед заданных как функции координат и времени, основные уравнения служат для определения gik, то, наоборот, известпые gik позволяют определить Tik, то есть компоненты тензора энергии и материи; так как в число переменных входит и время, то тем самым определяется и движение материи. Таким образом, правильность зависимости gik от компонент тензора энергии и материи, то есть от материи и ее движения, может быть подтверждена наблюдением над движением материи; например,
к специальном случае солнца и земли соотношения, определяющие для них значение 5,7-, должны дать и движение земли вокруг солнца. Таким образом, мы видим, что из основных соотношении (9) должны вытекать не только геометрические свойства физических пространства и времени, но и то, что в классической мехапико является следствием ее основных уравнении, то есть закона тяготения. Эйнштейн показал, что, действительно, все то, что объясняется в классической механике силами тяготения, совпадает с тем, что в нервом приближении вытекает из его основных уравнений, связывающих пространство и время с материей.
10) Классическая механика отличается от эйнштейновской еще и в следующем пункте. В уравнения движения материальной точки вод действием силы тяготения ее масса входит два раза; один раз как коэффициент инерции при ускорении, другой раз как иричина, вызывающая силу тяготения. Это двойственное значение массы весьма замечательно. Еще Ньютон показал, что масса как коэффициент инерции, или так называемая инерционная масса, и масса, вызывающая тяготение, или тяготеющая масса, оказываются по данным наблюдениям равными. Более поздние и значительно более точные наблюдения показали с точностью до
30 000 000’ ЧТ° ЭТИ массы Ра1!ИЫ между собой. Классическая механика совершенно не касается вопроса причины равенства обеих масс. Заметим, что в уравнениях Эйиштейна масса выступает только одип раз и именно в тензоре энергии и материи; таким образом, двойственность понятия массы в общей Т. о. отсутствует. Постулативпое требование тождества обеих масс Эйнштейн поставил во главу своей теории. Оно получило название принципа эквивалентности.
Одно из следствий принципа эквивалентности это то, что центробежная сила по природе своей пичем не отличается от силы гравитационной; понятия „кажущаяся“ и „истинная“ силы теряют здесь свой смысл.
11) Весьма важным выводом Т. о. является форма уравнения движения материальной тонки, так как основные уравнения классической механики написаны для точки. Можно показать, что в общей Т. о. движение материальной точки определяется уравнениями геодезических линий (т.-о. линии кратчайшего расстояния) в четырехмерном пространстве, геометрия которого известна, киль скоро известны функции gik. Наир., движение планеты вокруг солнца, причем планета, рассматриваемая как точка, находится таким образом: сначала вычисляются функции gik в предположении, что существует одна только очень большая масса солнца; затем находятся геодезические линии в четырехмерном пространстве, то есть решается хорошо известная в вариационном исчислении задача; найденные таким образом геодезические линии с точки зрения трехмерного пространства представляют собою конические сечения с точкой, которая движется по ним по законам Кеплера. Когда длина четырех-мерпой геодезической линии становится равной нулю, то такие геодезические линии, называемые нолевыми, определяют собою распространение силы тяжести или света. Если учение о тяжести в общей Т. о. в нервом приближении приводит к тем же результатам, как и старая теория, то во втором приближении можно предвидеть новые явления и пояснить некоторые уже известные, по еще удовлетворительно не объясненные явления. Сюда относится: во-первых, движепие перигелия Меркурия, во-вторых, смещение спектральных линий в поле тяготения к красной части спектра и, в-третьих, отклонение светового луча в достаточно сильном иоле тяготения, например около солнца. Предсказанные общей Т. о. новые явления были затем обнаружены опытом и находятся с ним в полном согласии.
12) Общая Т. о. позволяет включить в круг вещей, подлежащих ее рассмотрению, также и основные уравнения электро-динамики, то есть уравнения Максвелла-Герца. Оказалось возможным написать эти уравнения в форме инвариантной для каких угодно координатных иребразованпй в четырехмерном мире. Одним нз черезвычайно важных следствий этого является тождество скорости распространения тяготения и электромагнитного поля в пустоте. Для бесконечно-малого участка пространства обобщенные формулы электро-динамики всегда могут быть приведены к тому виду, какой они имеют в специальной Т. о.; таким образом, специальная Т. о. продолжает сохранять свое прежнее значение.
13) В свое время, до появления общей Т. о., было сделаио несколько попыток создать теорию материн в рамках специальной Т. о.; под теорией материи здесь следует понимать попытки объяснить существование отдельных электронов, атомных ядер и так далее Эти теории потерпели неудачу. Применение общей Т. о. вместо специальной пе оправдало возложенных было на нее в этом отношении надежд, но привело к ряду попыток включить всю электро-динамику в теорию физических пространства и времени. Сюда относятся работы Вейля, Эддингтона и самого Эйнштейна (1918—1927). Эти попытки также ни к какому окончательному результату пе привели. Совершенно новый оборот в развитии теории квант, наступивший в 1920 году после работ Борна и Иордана, Шредингера и др., заставил физиков еще раз признать необходимость пересмотра вопросао введении в физику основных представлений о пространстве и времени, но вопрос этот до настоящего времени остается одной лишь программой.
Популярны“ очерки но Т. о.: О. Д. Хвольсон, „Т. о. Л. Зйиштейна. в новое миропонимание“. Лпгр., 1922; М. Пори, „Т. о. Эйнштейна и ее физические основы-, Литр., 1922; «9. Фрейндлих, „Основы теории тяготения Эйнштейна“, 1924; Курсы на русск. яз.: Я. И. Френкель, г. Г. о.“, Лнгр.. 1923. Kvpeu на ипостраппых языках: Н. Weill, „Rauro, Z-it. Materie“. Berlin, 1924: A. S. Ed-pni/ton, „Space, Time and Gravitation“, 1920; eiu же, „The Mathematical Theory of Relativity“, 1923.
В Фредерикс.
> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Таким образом
