> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Таково понятие о числе

Таково понятие о числе

Таково понятие о числе, созданное Кантором. Оно является выразителем мощности множества, носит количественный характер, но уходит далеко за пределы целого числа обыкновенной арифметики. Существенным и глубоким обобщением этой идеи является то обстоятельство, что числами выражается количество элементов не только в конечном, но и в бесконечном множестве.

29. Арифметика Кантора. Установив количественную точку зрения на число и расширив его далеко за пределы натурального ряда, Кантор строит арифметику этих чисел, основанную на их определении. Эта арифметика относится только к количественным числам (Kardinalzahlen), как их понимает Кантор,— к канторовым числам. Так как числа являются выражением мощности множества, то операциям над числами предпосылаются операции над самими множествами.

Пусть 9Г и 53 будут два множества; составим новое множество Q таким образом, чтобы оно содержало все элементы, входящие либо в множество 91 либо в множество 93. Это множество мы будем называть суммой множеств 91 и 53 и будем писать G=9t -f 53. Если множества 91 и 53 совершенно различны, то есть не имеют вовсе общих элементов, то их сумма (5 содержит как все элементы одного множества, так и все элементы второго множества; если же множества 91 и 53 содержат и общие элементы, то множество (5 состоит из всех элементов множества 91 и тех элементов множества 53, которых нет в 91.

Пусть теперь а и Ь будут два каких-либо числа, 9( и 53 — два совершенно различныхмножества, мощности которых выражаются числами а и й; в таком случае число с выражающее мощность множества (£=Л-|-9), мы будем называть суммой чисел о и Ь: с — а- -Ь. Этим устанавливается понятие о сумме любых двух количественных чисел. Легко понять, что сумма двух конечных чисел типа этом определении совпадает с суммой этих чисел, как ее определил Грассман; это может быть доказано методом совершенной индукции по отношению к любому из двух слагаемых. Но каковы бы ни были количественные числа, натуральные или трансфинитные, сумма их всегда обладает основными свойствами суммы натуральных чисел: законы переместительности и сочетательности остаются в силе. Это обусловливается тем, что законы эти остаются в силе для сумм самих множеств, то есть

2( -f- 93=33 + 31 и

+ (® + <5)=( + ®) + «Обобщение того же определения Кантора на сумму нескольких слагаемых не представит затруднений.