> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Тензориальное исчисление Векториальное исчисление

Тензориальное исчисление Векториальное исчисление

Тензориальное исчисление. Векториальное исчисление (смотрите векториальный анализ) является черезвычайно удобным орудием для исследования многих проблем геометрии, механики и физики, когда для описания явлений мы пользуемся, с одной стороны, трехмерным пространством, ас другой—выбираем прямоугольную и прямолинейную систему координат. Переход к криволинейным координатам и пространствам высших измерений заставляет соответственно изменить и обобщить векториальное исчисление, заменяя частный обычный вид векторов другим, более общим. Цель и назначение Т. и. в этом обобщении и состоит.

Одно нз основных свойств обыкновенного вектора заключается в том, что он не меняется, когда одну прямоугольную и прямолинейную систему координат меняют на другую, также прямоугольную и прямолинейную. Так, например, сила, действующая на точку и изображаемая вектором, не изменится, коль скоро мы перейдем от одной системы к другой. Таким образом, пдея вектора связана с известной независимостью от избранной системы прямоугольных и прямолинейных координат. В соответствии с этим составляющие вектора в одной координатной системе должны определенным образом зависеть от составляющих вектора в другой координатной системе. Для обыкновенных векторов формулы преобразования их составляющих при переходе от одной такой системы К к другой К будут

(1),

кпри чем ink пробегают ряд значений 1, 2, 3; а( и ак означают соответственно составляющие вектора в гпстемах К и К; ajk означает косинус угла осп г в системе К с осью к в системе К-, знак 2Г означает сумкмнрованне членов, у которых к пробегает ряд значений 1, 2, 3; как известно, aik удовлетворяют условиям

AV.T=1; Ха(г aim=0, при 1фт;

» <

формулы преобразования координат при этом будут:

Ч -Ч(2);

здесь ajj, х2 и х3—координаты в системе К и хк, х2, х3—в снстсмо К.

Определение тензора. Т. п. обобщает попятно вектора следующим образом.

Вместо специальных преобразований (2) возьмем любые точечные преобразования:

Ч=<pi (Ху, .г2, щ3) (3),

где функции <р( одпозпачные и непрерывные функции переменных хк, х2, х3, которые мысчитаем какими угодпо криволинейными координатами в трехмерном пространстве и обратно. Переход к пространству четырсх-мсрпому и высших порядков формально и очень просто достигается тем, что значок г, по которому суммируют или различают различные компоненты, пробегает только большее число значений, равное числу измерений; по существу, ни одно из приведенных ппже положений от этого пе изменится; поэтому для упрощения обозначений и изложения мы ограничиваемся трехмерным пространством.

Если мы имеем тройку чисел которые при преобразованиях координат (3) преобразуются в новую тройку чисел Л1 по правилу:

Ji=sdxi А,. {>s=h 2, 3,. .(4),

«“,

То тройка А1 в своей совокупности называется коградиентным тензором первого ранга; составляющие такой тройки называются компонентами его и обозначаются обычно через какую-нибудь большую букву с индексом справа и наверху, например Л1.

Если тройка чисел преобразуется по правилу:

— дх.

Ai=~-=-A, (5), дх(

при переходе от координат ау, х2, х3 к ау, х2, х3 по формуле (5), то есть точно так л;е, как А{.

Скаларом в обычной теории векторов называют функцию компонент векторов, которая остается неизменной при преобразованиях (3). Такой функцией будет, например, внутреннее (скалярное) произведение двух векторов. По аналогии, обобщая, назовем скаларом или инвариантом функцию компонент тензоров, которая остается неизменной при любом преобразовании (3). Легко видеть, что

SAtA - Ф

будет скаларом, то есть легко доказать соотношение

Ф=1А;А{=SAiA.

I i

Если мы имеем девятки чисел A11, Ajk, или А“, которые при преобразованиях (3) преобразуются соответственно но трем правилам:

А - 2. day dxjc Ast s,t dxa dxt

— dx, dxt

Aik=е Ast,

s,t oxt oxk

То тройка называется контрагредиентным тензором первого рагпа, и его компоненты обозначаются через какую-нибудь большую букву со значками справа и внизу, например, А(.