> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Теория действий над элементами двустороннего натурального ряда

Теория действий над элементами двустороннего натурального ряда

Теория действий над элементами двустороннего натурального ряда (положительными и отрицательными целыми числами) развивается совершенно так же, как и учение об арифметическом натуральном ряде, изложенное в главе 20. Разница заключается лишь в том, что как индуктивные определения, так и индуктивные доказательства должно вести в двух направлениях, распространяя содержащуюся в них идей в обе стороны натурального ряда. Так, сложение определяется индуктивно соотношениями:

я + 0=я, a -f- 1=я, a-}-(ra-f-l) =

= (я + л) + 1»

где я есть член натурального ряда, следующий за я. В новых обозначениях эти соглашения, относящиеся только к положительным числам, должны быть написаны следующим образом:

я + 0=я, a+{+l)—af, а+[л + ( + 1)] =

= (я-М) + ( + 1) (!)

К этим соотношениям должны быть теперь присоединены, в качестве определения, равенства:

α= а + (-1) (2а),

« + 1я + (-1)]=(« + я) + (-1) (2Ь).

Первое из них устанавливает, что придать к числу я отрицательную 1 значит взять предшествующий член ряда. Во втором равенстве, после этого соглашения, и -£- ( — 1) есть член натурального ряда, непосредственно предшествующий числу и, а (я-}-л)-}-(—1) есть член ряда, непосредственно предшествующий числу (я -}- п). Поэтому при и > 0 равенство (2Ь) выражает теорему, которая может и должна быть доказана. При и — 0 равенство (2Ь)

совпадает с (2а); при и < 0 оно представляет собою индуктивное определение того, что значит прибавить отрицательное число. Для того, чтобы для двойного ряда ври помоши совершенной индукции доказать некоторое предложение, нужно обнаружить, что всякий раз, как предложение это оказывается справедливым для некоторого числа я, оно справедливо также для» следующего числа а 1) и для предыдущего а- -(—1). Эти две части доказательства обычно очень мало отличаются одна от другой. Рассуждения, таким образом, несколько усложняются; но зато получается база, на которой учение о положительных и отрицательных числах можно строить одновременно.

Позднейшие авторы, главным образом Штольц, идут другим путем. К учению о положительных и отрицательных числах они приступают после того, как учение о всех арифметических числах уже построено. Это имеет ту хорошую сторону, что соответствует историческому ходу эволюции понятия о числе. Самсе построение выполняется следующим образом.

В связи с каждым арифметическим числом а введем два новых символа (термина, понятия) -)- а и — я; первое будем называть положительным числом, второе отрицательным; арифметическое число я будем называть абсолютным значением обоих чисел. Таким образом, над комплексом арифметических чисел надстраивается двойной комплекс чисел—положительных и отрицательных. Прежде всего этот комплекс нужно претворить в величину, то есть нужно-установить критерии сравнения. Это достигается следующими соглашениями.

1) Два положительных числа или, соответственно, два отрицательных числа мы будем считать равными, если равны их абсолютные значения.

2) Из двух неравных положительных чисел мы будем считать ббльшим то, абсолютное значение которого больше.

3 Из двух неравных отрицательных чисел мы будем считать ббльшим то, которое имеет меньшее абсолютное значение.

4) Всякое отрицательное число меньше всякого положительного.

5) Числа -)- 0 и — 0 равны и имеют то же значение, что их абсолютное значение нуль.

6) Нуль меньше всякого положительного числа и больше всякого отрицательного числа.

Что эти критерии сравнения удовлетворяют постулатам сравнения, обнаружить черезвычайно легко.

Полученная таким образом величина образует новый комплекс, элементы которого-прежде, в отличие от арифметических чисел.

стали называть алгебраическими числами. Термин этот, однако, оказался неудачным, так как в алгебру пришлось ввести алгебраические числа в ином значении этого слова. В настоящее время можно считать утвердившимся термин „относительные числа“, введенный Штольцем и получивший, можно ск1зать, всеобщее признание. Числа со знаками являются относительными по сравнению с арифметическими числами, представляющими собою их абсолютные значения.