> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Теперь заметим

Теперь заметим

Теперь заметим, что точки С и D определяются точками А и В, и, следовательно, ангармоническое отношение (ABCD) определяется двумя „точками” А и В: иными словами, если нам известны „точки” Aw В, то мы можем найти точки С и D и вычислить ангармоническое отношение (ABCD)) оно представляет собою число, которое известно, если даны „точки” А и В, которое определяется „точками“ А и В. Мы можем, поэтому, обозначить ангармоническое отношение (ABCD) короче — через (АВ), то есть можем положить (ABCD)=(АВ).

С другой стороны, если некоторое „движение” s совмещает „точки” А и В с „точками” А и В, то эта коллинеация преобразует „прямую” АВ в „прямую“ АВ. Так как точки абсолюта преобразуются также в точки, принадлежащие абсолюту, то точки С и D преобразуются в точки С и D. Вместе с тем, вследствие инвариантности ангармонического отношения

(ABCD)=(АВ!СП), или (АВ)=(АВ).

Движения в нашей „плоскости” имеют инвариант (АВ), зависящий от двух точек. Посмотрим, обладает ли этот инвариант свойством дизъюнктивное™ по отношению к двум точкам и аддитивностью по отношению к прямой линии. Если точка А остается неподвижной, а точка В к ней неограниченно приближается, то оба отношения АС: ВС и AD-BD стремятся к 1, а вместе с тем, в силу основного определения (1), к 1 стремится и значение ангармонического отношения (ABCD). Эю можно выразить так: (АА)=(AACD) == 1.

Итак, когда точка В совпадает с А, то значение инварианта группы (АВ) обращается не в 0, а в 1; требование, которым определяется дизъюнктивность инварианта, не соблюдено. Не лучше обстоит дело и с аддитивностью. Пусть точка М лежит на прямой АВ между точками А и В. Тогда в соответствии с определением:

(АВ)=(ABCD)=(AM) — (AMCD)=(МВ) — (MBCD) =

AC₁BD ВС -AD АС- MD MC-AD MC-BD BC-MD

Отсюда легко усмотреть, что (АВ)=(АМ)-(МВ)

это соотношение вообще не совпадает с соотношением (АВ)=(AM) -f (МВ), которым определяется аддитивность инварианта.

Однако, эти дефекты нетрудно исправить одним приемом. Как было выяснено выше, если (АВ) есть инвариант двух точек, то и всякая другая функция от АВ есть инвариант. В соответствии с этим положим

АВ=og(АВ) (2),

взяв логарифм при каком угодно основании, превышающем 1.