> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Теперь легко доказать

Теперь легко доказать

Теперь легко доказать, что при а>Ь и Ь, отличном от нуля, всегда существует одна и только одна пара чисел т и г, удовлетворяющих соотношениям:

a — bm- -r и г<Ь (17).

Число т называется частным, а число г— остатком от деления числа а на число b. Из этого определения разматывается все учение о делении целых чисел, включая сюда и учение о делимости, то есть о случаях деления, в которых остаток равен нулю.

В изложенном заключается вся грассма-нова арифметика натурального ряда. Сформулируем теперь, в чем заключается сущность этого учения.

1) Точкой отправления служит натуральный ряд, который считается как бы заданным, известным.

2) Над членами натурального ряда (целыми числами) устанавливаются операции, определения которых выполняются методом совершенной индукции.

3) Путем совершенной индукции из этих определений выводятся основные арифметические законы 1 — V.

4) Из этих основных законов строго формально выводятся все преобразования суммы, разности, произведения и частного (целого).

5) Целые числа рассматриваются только как символы, входящие в состав натурального ряда.

6) Безукоризненная логика арифметики покоится на двух принципах: на принципе свободного обозначения и принципе совершенной индукции.

Грассман не ограничивается тем материалом, который мы привели выше. Он строит также арифметику целых отрицательных чисел, разматывая ее одновременно с учением о натуральном ряде ). Он, далее, строит арифметику дробных и иррациональных чисел. Но учение о дробях у Грассмана уже значительно слабее, а учение об иррациональных числах ника

) Грассман фактически оперирует с двусторонним натуральным рядом, неограниченно простирающимся как в одну сторону (положительную), так и и другую (отрицательную).

кой ценности не имеет. Заслуга Грассмана заключается в том, что он построил строго научную арифметику натурального ряда и тем заложил фундамент не только научной арифметики, но и всего анализа.

21. Учение о рациональных числах. В предыдущей главе мы уже говорили о том, при каких условиях один член натурального ряда считается больше или меньше другого. Остановимся теперь на этом подробнее. Натуральный ряд, как нечто готовое, заданное, как мы видели, служит основанием всей грассмановой арифметики. Он представляет собою ряд символов, расположенных в определенном порядке. Учением об операциях над целыми числами (членами натурального ряда) для каждого целого числа установлено множество символов, его выражающих; так, например, число 15 можно выразить также символами 13 + 2, 10 + 5, 3.5, 17 — 2, Будем теперь через Ш обозначать натуральный ряд, черев И! — совокупность всех символов, которыми в силу соглашений, установленных арифметикой целых чисел, члены натурального ряда могут быть обозначаемы; это есть, таким образом, комплекс, или многообразие, в том смысле, как это понятие установлено в ст. величина (смотрите IX, 346/50) и в главе 20 настоящей статьи.

Пусть т и гп будут два элемента многообразия Ж, то есть два символа, обозначающие члены натурального ряда 91. Мы будем говорить, что т равно т (т — т), если символы т и т выражают один и тот же член натурального ряда (одно и то же це- лое число). Мы будем говорить, что т больше т! (т > /га), если т означает член натурального ряда, следующий за /л, и что т меньше /га (/га < /и), если т означает член натурального ряда, предшествующий члену /га. Понятия „равно“, „больше“ и „меньше“, этим путем установленные, удовлетворяют постулатам сравнения (смотрите IX, 348/50). Правда, это связано с нашими представлениями о тождестве и последовательности. Так, например, транзитивность понятия „больше“, сводящаяся к тому, что при /га > гаг, гаг > гаг“ имеет место соотношение г/г > /га“, вытекает из того, что член гга последовательности, следующий за членом гаг, который, в свою очередь, следует за членом гаг“, необходимо следует также за членом гаг“). Этого мы не доказываем; мы здесь апеллируем к понятью более общему, лежащему за пределами арифметики.

Этими соотношениями совокупность целых чисел претворена в величину. Строго говоря, называя члены натурального ряда целыми числами, мы до некоторой степени предвосхищаем историческую эволюцию понятия о числе. Понятие это в первой своей формации, как в историческом его разви

Тии, так и в ходе теоретической конструкции, возникает как член натурального ряда, а затем расширяется—эволюционирует.

Первым этапом в ходе этой эволюции является введение дробей. У Грассманаэто выполнено неудачно; Э. Шредер (Schroder) и О. Штольц (Stolz) провели учение о дробях совершенно строго; мы изложим здесь сущность этого учения.

Пусть т и и будут два натуральных числа, из которых второе отлично от нуля. Мы построим из них новый символ, скомбинировав их так или иначе. Совершенно безразлично, как графически этот комбинированный символ изображать: ему можнопридать вид —. или “>/л, или т:п, или даже (т, п). Будем придерживаться наиболее принятых обозначений —, или т/л.

Этого рода символы мы будем называть дробями, число т — числителем,число и — знаменателем дроби: согласно основному условию, знаменатель всегда отличен от нуля.

Совокупность дробей мы претворим в величину. Для этого мы должны установить критерии сравнения, то есть соглашения относительно того, при каких условиях мы будем считать одну дробь равной другой, больше или меньше другой дроби. Пусть т/п и «/я будут две дроби. С ставим произведения тп и тп если тп — тп, то мы будем говорить, что дробь т/п равна дроби я/я (т/«=“//»); если тп > тп, мы будем говорить, что дробь <я/л больше дроби ж/я (т/п>т/п); если тп < тп, то мы будем говорить, что дробь <я/я меньше дроби т/п, (т/п < т/п,). Наше право установить эти соглашения основано на том, что они удовлетворяют всем восьми постулатам сравнения. В самом деле, одно из трех соотношений тп=тп, тп’)>тп и тп < тп всегда имеет место, причем первое исключает два других, как это установлено для целых ч сел. Следовательно, для всяких двух дробей яг/я и т/„, имеет место одно из соотношений: min=m/n,> т/п >т/п’, т1п < “/я, причем первое исключает два других; это значит, что первые три постулата сравнения удовлетворены. Докажем теперь транзитивность равенства дробей. Пусть “/л=m/„i и т/п=т“/п“, это значит: тп=тп и тп“=т“п. Равенство двух целых чисел не нарушается, если оба члена равенства умножить на одно и то же целое число. Умножая обе части первого равенства на п“, а второго на и, получим тпп“=тпп“, тпп” —=т“пп’. Отсюда вследствие транзитивности равенства целых чисел получим: тпп“=— т“пп, а так как и отлично от нуля, то отсюда следует: тп“ — т“п, то есть яг/л =

— Таким же образом докажем транзитивность соотношений „больше” и „меньше” для дробей, а также возвратность и обратимость равенства. Все постулаты сравнения соблюдены, и совокупность дробей, таким образом, претворена в величину. Критерий сравнения двух дробей можно еще выразить следующим образом. Числитель первой дроби и знаменатель второй будем называть крайними членами сравниваемых дробей, а знаменатель первой и числитель вто ой—средними членами. Соглашение, установленное для сравнения дробей, сводится к тому, что первая дробь равна второй, если произведение крайних членов равно произведению средних; первая дробь больше второй, если произведение крайних больше произведения средних, первая дробь меньше второй, если произведение крайних членов меньше произведения средних.

Согласно основному условию, знаменатель дроби может быть равен также 1, то есть среди дробей имеются также дроби вида яд с любым числителем т. Условимся под дробью ягД разуметь целое число т, то есть под символом Я1Д условимся разуметь то же, что и под символом т. Вследствие этого соглашения совокупность дробей включает в себя все целые числа. Дроби образуют, таким образом, комплекс, часть которого составляют целые числа. Их поэтому также называют числами, но в отличие от исключительно целых чисел их называют рациональными числами. Переход от целых чисел к рациональным представляет собой,таким образом, первый шаг, первый этап в ходе эволюции понятия о числе.

Далее, из критериев сравнения вытекает, что дробь не меняет своего значения, если числитель и знаменатель ее умножить или разделить на одно и то же число. Точнее, если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то мы получим дробь, равную исходной. Это вытекает из того, что для двух дробей яр/яр и «/я произведение средних членов всегда равно произведению крайних. На этом предложении в обычном порядке основывается сокращение дробей и приведение их к общему знаменателю. В частности, отсюда вытекает, что всякая дробь «/л, в которой числитель представляет собою число, кратное знаменателя, так что т=л.&, представляет собою целое число; в самом деле, я/я=я“/„ — k/t — k.