> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Теперь нетрудно
Теперь нетрудно
Теперь нетрудно, пользуясь основными определениями (1), (2) и (4), установить следующее тождество:
(а. Ь)={а, О) + <Ь 0). (0, 1).
Вследствие принятых выше соглашений и обозначений, это тождество можно написать в виде
(а, Ь)=а- - Ы, или (a, b)=а. 1 Ы.
Каждое комплексное число может быть представлено в виде а. - -Ы. Это интерпретируют так, что каждое комплексное число составлено из действительной единицы, взятой с коэффициентом а, и из мнимой единицы, взятой с коэффициентом b. Отсюда и наименование „комплексное число”. Самое обозначение (а, b) можно оставить, заменив его через а Ы. Этот символ можно рассматривать как сумму комплексных чисел и соответственно этому оперировать с комплексными числами по правилам формальной алгебры, заменяя множитель г2 везде, где мы к нему придем, через — 1. Это, конечно, и служило наведением при определении произведения двух комплексных чисел, выражаемого равенством (4): в самом деле, перемножая числа а- -Ы и а + b’i по этому правилу, мы получим число (аа! — bb) -f (ab + ba’) i== (aa! — bb, ab -j- ab), как того требует определение (4).
В области комплексных чисел, как мы уже указали выше, выполняются все операции классической алгебры. Такая совокупность чисел, в которой все рациональные операции выполняются и приводят в результате к числу той же совокупности, называется числовым корпусом. Совокупность всех арифметических чисел не представляет собою числового корпуса, хотя в ней осуществляются даже иррациональные операции. Совокупность всех рациональных относительных чисел уже образует числовой корпус, но в нем неосуществимы иррациональные операции. Совокупность всех относительных чисел образует числовой корпус, в пределах которого осуществляются многие иррациональные операции, — но не все. Совокупность всех комплексных чисел есть числовой корпус, в котором получают осуществление все алгебраические операции. Современная алгебра есть алгебра корпуса всех комплексных чисел.
Но эволюция, приведшая к корпусу комплексных чисел, оказалась необычайно плодотворной не только в области алгебры.
Все изучение функций, теория функций“ как мы теперь говорим, оказалось неизмеримо плодотворнее, когда областью задания функции явился корпус комплексных чисел. Введение комплексных чисел — это не этап в ходе эволюции учения о числе, это-целая эпоха, и из этой эпохи математика еще не вышла.
25. Векторы и высшие комплексные числа. При всем своем значении комплексные числа оставались только формальным средством алгебраического вычисления. Не было конкретного субстрата, к которому они получили бы применение, а потому они все же занимали в арифметике исключительное место. С возникновением учения о векторах это положение изменилось (см-векториальный анализ). Вектор на плоскости определяется двумя проекциями на оси ортогональных координат; эти проекции называются компонентами, или слагающими вектора. Два вектора (X, Y) и (X, У“), заданные своими компонентами, равны, если Х=Х и Y=Y. Сумма векторов имеет своими компонентами×X и Y 4- Y. Условимся теперь выражать комплексным числом×Yi вектор, имеющий компонентами×и Y. В таком случае равные комплексные числа выражают равные векторы, сумма (разность) двух комплексных чисел выражает вектор, представляющий собой сумму (разность) двух векторов, которые выражаются данными двумя комплексными числами. Таким образом, между комплексными числами и векторами на плоскости устанавливается соответствие, дающее возможность соотношения между векторами выражать соотношениями между комплексными числами. Эта идея, проведенная, вернее, — намеченная Коши, послужила импульсом к всеобщему признанию комплексных чисел. При всем том область применения комплексных чисел к векторам на плоскости остается очень ограниченной: только сумма и разность комплексных чисел действительно выражает сумму и разность векторов. Произведение комплексных чисел не может выразить геометрического произведения двух векторов, потому что это последнее произведение выражается вектором, не лежащим в той же плоскости, а перпендикулярным к ней. Арифметический аппарат, в полной мере воспроизводящий операции над векторами, был создан в другом порядке идей, в ходе дальнейшего развития идеи о комплексном числе. Если обыкновенное комплексное число составлено из двух независимых единиц, то естественно было идти в этом направлении дальше, построить алгебру высших комплексных чисел, составленных из большего числа независимых единиц. Это почти одновременно было выполнено Грассманом в Германии и Гамильтоном в Англии.
Комплексное число Грассмана имеет вида1е1 ~г а2 е2 + аз ез + + ап еюгде ву, е2 - еп суть независимые единицы, а коэффициенты при них alt й2 ап (компоненты комплексного числа) суть действи тельные числа. Сумма и разность двух высших комплексных чисел определяется так же, как сумма и разность обыкновенных комплексных чисел, то есть путем сложения и вычитания соответствующих компонент. Вместе с тем сумма и разность высших комплексных чисел следует тем же формальным законам, что и сумма и разность действительных чисел. Но дать такое определение произведению высших комплексных чисел, при котором и оно следовало бы формальным законам арифметики действительных чисел, не удавалось. В разрешении этой задачи Грассман и Гамильтон шли совершенно различными путями: Грассман шел в порядке экстенсивной алгебры, в которой произведение двух комплексных чисел является комплексным числом более высокого порядка; Гамильтон шел в направлении интенсивной алгебры, в которой произведение двух комплексных чисел есть комплексное число, составленное из тех же независимых единиц, что и сомножители. Осуществление интенсивной алгебры 1), сохраняющей все основные законы арифметики действительных чисел, не удавалось. Вейерштрасс показал, что это коренится в существе задачи: построить более мощную интенсивную алгебру, то есть алгебру высших комплексных чисел, сохраняющую все формальные законы арифметики действительных чисел, невозможно. Вот почему с введением обыкновенных комплексных чисел эволюция учения о числе получила завершение. Образования более поздние и более сложные следуют уже иным законам: закон перманентности падает.
Как мы видели, сумма высших комплексных чисел определяется таким образом, что компоненты суммы являются суммами соответствующих компонент слагающих. Интенсивная алгебра, построенная на этих началах, называется линейной алгеброй. Трудность эволюции линейной алгебры, как мы видели, заключается в определении произведений. Во всех системах линейной алгебры закон распределительности все же остается в силе (как это имеет место и при
) Было бы правильнее говорить не об экстенсивной и интенсивной алгебре, а об экстенсивной и интенсивной арифметике. Мы отдаем дань установившейся, хотя и неправильной терминологии.
перемножении векторов), затруднение же составляют, главным образом, два пункта: закон переместительности и, как теперь часто говорят, закон аннулирования.
Отступления от закона переместительности в различных системах линейной алгебры обыкновенно заключаются в том, что произведение двух сомножителей меняет свой знак с перестановкой этих двух сомножителей. Закон аннулирования в арифметике обыкновенных комплексных чисел заключается в том, что произведения обращаются в нуль в том и только в том случае, когда в нуль обращается один из сомножителей. В более сложных системах произведение может обращаться в нуль, когда ни один из сомножителей не равен нулю.
Из линейных систем высших комплексных чисел наиболее замечательной является алгебра кватернионов, построенная Гамильтоном (смотрите кватернионы). При помощи кватернионов могут быть выражены векторы трехмерного пространства, но общая область кватернионов шире, нежели область векторов: общее выражение кватернионов содержит, кроме векторной, так называемую скалярную часть; но операции над теми кватернионами, которые служат для выражения векторов, вполне следуют законам векторной алгебры.
21. Закон совершенной индукции. Предыдущий очерк дает сжатую, но достаточно полную картину эволюции понятия о числе. Как мы видим, в основе изложенной системы арифметики лежит натуральный ряд. Комбинируя натуральные (целые) числа попарно, мы составляем дроби, то есть строим систему всех рациональных чисел. Заполняя пробелы между рациональными числами, то есть вводя числа, замыкающие всякое сечение в области рациональных чисел, мы создаем систему всех арифметических чисел. Из арифметических чисел мы образуем относительные (положительные и отрицательные) числа и таким образом приходим к корпусу всех действительных чисел. Наконец, комбинируя попарно действительные числа, мы составляем комплексные числа, образованием которых, как уже было сказано, эволюция в известном смысле заканчивается. Операция над дробными числами всегда сводится к тем или иным операциям над членами дроби, то есть над целыми числами; операции над иррациональными числами выполняются путем действий над рациональными числами, которые образуют соответствующее сечение; наконец, операции над относительными числами всегда сводятся к действиям над арифметическими числами, операции над комплексными числами — к действиям над действительными числами. Таким образом, в конечном счете, операции над любымичислами сводятся к операциям над целыми числами. Кронекер (Kronecker, 1823—1891) совершенно прав, когда утверждает, что вся эволюция арифметики заключается в развитии учения о целом числе.
В основе учения о целом числе лежат две основные идеи: понятие о последовательности и закон совершенной индукции. Дж. Пеано (род. 1858) сводит те свойства натурального ряда, на которых основано все учение о целых числах, а, следовательно, и вся арифметика, к следующим пяти положениям:
1) 0 есть член натурального ряда.
2) Каждому члену отвечает один, и только один, следующий член.
3) Два различных числа не могут иметь одного и того же следующего числа.
4) 0 не является следующим за каким-нибудь членом ряда (то есть О есть начальный член ряда).
5) Закон совершенной индукции.
Само собой разумеется, что под числом здесь следует разуметь целое число—член натурального ряда.
Пятое положение играет в этой системе основных посылок до некоторой степени ту же роль, что и пятый постулат Евклида в геометрии. Оно сложнее остальных, оно по содержанию своему носит совершенно иной характер. Между тем оно играет в грассмановой системе построения арифметики коренную роль. Эти обстоятельства повели к стремлениям пролить больше света на роль этого положения и на его связь с остальными постулатами арифметики. Эти стремления проявляются прежде всего в попытках доказать закон совершенной индукции. Эти попытки имеют свою историю, но гораздо менее продолжительную, нежели история пятого постулата. Такого рода попытку обосновать закон совершенной индукции можно найти, например, в I томе .Энциклопедии элементарной математики“ Вебера и Вельштейна, посвященном арифке АХ нанесем ряд точек: h, — середину отрезка АХ, А2 — середину отрезка AtXt А3 — середину А2Х и так далее Далее, пусть. В будет середина отрезка ХУ, В1— середина ВХ, В2 — середина В Х, В3 — середина В2Х и так далее Наконец, пусть будет середина отрезка BY, С2—середина С,У, С:1— середина С2У и так далее Таким образом, точки, обозначенные буквами А и В (с различными индексами), сгущаются с двух сторон к точке X, а точки, обозначенные буквой С, сгущаются к точке У. Теперь возьмем весь ряд точек, обозначенных буквами А,В и С (с различными индексами); точки×и У, следовательно, в этот ряд не входят. Это ряд расположенный: какие бы две точки в нем мы ни взяли, одна из них предшествует другой, а эта последняя следует за первой. Точка А начинает ряд: ей соответствует последующий элемент, но она не имеет предшествующего элемента. Каждой другой точке соответствует определенный предшествующий и определенный последующий элемент. Совершенно ясно, что свойства натурального ряда, выражаемые постулатами Пеано 1 —4, удовлетворены (точка А играет роль 0 в натуральном ряду). Но легко видеть, что закон совершенной индукции в этом ряду справедлив, не будет. В самом деле, свойство, выражаемое предложением .точка (член) нашего ряда предшествует точке Х“, принадлежит точке А; если оно принадлежит какой-либо-точке (члену) ряда, то оно принадлежит и следующей точке. Это свойство, однако, не принадлежит точкам, отмеченным буквами В,- и С,. Это обусловливается более сложной структурой нашего ряда: переходя в нем от одного элемента А( к следующему, мы никогда не достигнем точек В(.
Возможны расположенные ряды, удовлетворяющие первым четырем постулатам Пеано, но не удовлетворяющие пятому; этого рода ряды мы будем называть трансфинитными. Закон совершенной индук-
А_X__У
А, Аг А, В, lit В, В С, СС,
Рисунок 25.
метике и алгебре. Однако, результаты, к которым привели доказательства пятого постулата Евклида, теперь уже были налицо и, естественно, направляли мысль исследования по тому же пути. Б. Рессель (смотрите) и А. Уайтхед в своем сочинении „Principia Mathematica“ вполне этот вопрос разрешили. Следующие соображения выясняют их точку зрения.
Возьмем на прямой (рисунок 25) два последовательных отрезка АХ и ХУ. На отрезции есть признак, отличающий натуральный ряд от трансфинитного. Не может быть, поэтому, никакой речи о доказательстве закона совершенной индукции, основанном на остальных свойствах натурального ряда. Введение его в арифметику равносильна соглашению исключить трансфинитные ряды. Натуральный ряд есть простейший расположенный ряд, лишенный последнего члена. Он лежит в основе нашей арифметики. Можно основать арифметику, положив в ее основу более сложный, трансфинитный ряд; это даст трансфинитную арифметику. К этому мы еще вернемся.
28. Понятие о числе по Г. Кантору. Система теоретической арифметики, изложенная выше, по существу есть творение трех лиц: Грассмана. Шредера и Пеано. Характерной особенностью этой системы является то, что точкой отправления здесь служит натуральный ряд, то есть совокупность элементов, расположенных последовательно таким образом, что имеют место следующие три положения: 1) каждому элементу соответствует один и только один следующий (точнее непосредственно следующий) элемент; 2) каждому элементу, кроме начального, соответствует один и только один предыдущий элемент, и, наконец, 3) имеет место закон совершенной индукции. Целые числа, служащие членами этого ряда, фигурируют, таким образом, в арифметике Грассмана как числа порядковые. Их количественное значение скрадывается,— по мнению Кантора (Georg Cantor, 1845 — 1918) — вовсе отсутствует в этой системе. Между тем не только в приложениях практического характера, но и в самой же арифметике именно количественный характер целых чисел играет очень важную, можно даже сказать, первенствующую роль. Ведь с первых же шагов мы говорим здесь: „два, три числа, „два, три слагаемых и так далее, и вкладываем в эту терминологию не то содержание, что „два есть член натурального ряда, следующий за членом „один, а „три—член, следующий за членом „два“; мы вкладываем в эти термины количественное содержание, которое совершенно отсутствует в грассма новой арифметике. Это обстоятельство Г. Кантор справедливо считает настолько важным, что требует если не полной перестройки грассмановой арифметики,то существенного ее пополнения Став на этот путь, Кантор построил теорию, не только глубоко изменившую и дополнившую арифметику Грассмана, Шредера и Пеано, но фактически составляющую в настоящее время основание теории функций действительного переменного. Долгое время эта теория была известна под названием „учения 6 множествах (Mengenlehre); в настоящее время, особливо после работ Цермелло (смотрите), она вошла как составная часть в теоретическую арифметику и теорию функций.
Если для Грассмана точкой отправления служит натуральный ряд и лежащая в основе его идея последовательности, то для Кантора исходным пунктом служат два понятия, уже выясненные выше: понятие о множестве и понятие о сопряжении. Совокупность объектов, тем или иным признаком объединенных в одно целое, составляет „множество“, или „многообразие“. Много примеров многообразий мы уже рассмотрели ранее. Многообразие, или множество (по Кантору) задано, если установлен критерий, на основании которого мы относительно каждого предмета (каждого объекта нашего мышления) можем установить, составляет ли он элемент этого многообразия или нет.
В главе 10 было обстоятельно выяснено, что значит установить совершенное (однооднозначное) сопряжение одного множества с другим. Если два множества 31 и 33 могут быть приведены одно с другим в совершенное соответствие, то, по терминологии Кантора, они имеют одинаковую мощность. Если два множества не имеют одинаковой мощности, то есть, если они не могут быть связаны совершенным соответствием, но множество 31 может быть связано совершенным соответствием с некоторой частью множества 33, то говорят, что множество 81 имеет меньшую мощность, нежели множество 33, или, что множество 33 имеет большую мощность, нежели множество 31. Таким образом устанавливается понятие о мощности, как о признаке, по которому мы можем судить о возможности установления однооднозначного соответствия между двумя многообразиями.
Определяя, при каких условиях множество 31 имеет меньшую мощность, нежели множество 33, мы привели два критерия, совокупностью которых это понятие устанавливается: во-первых, множество 81 ire может быть приведено в совершенное сопряжение с множеством 33; во-вторых, множество 31 должно сопрягаться с некоторою частью множества 33. На первый взгляд может казаться, что первый из этих признаков представляет собой следствие второго. В самом деле, если множестве ЭХ сопрягается с частью множества 33, то казалось бы, что оно вследствие этого не может быть сопряжено с множеством в его целом. Однако, это не так. Дело в том, что существуют множества, которые могут быть приведены в совершенное соответствие со своей частью. Примером этого может служить натуральный ряд. В самом деле, напишем натуральный ряд, а под ним, элемент за элементом, подпишем тот же натуральный ряд, начиная его, скажем, с элемента 5:
1. 2, 3, 4, 5, Р, 7____
it it it it it it it
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
Каждому элементу первого ряда отнесем в качестве соответствующего стоящий под ним элемент второго ряда, и обратно. Ясно,
что оба ряда приведены этим путем в однооднозначное соответствие, между тем второй ряд представляет собой часть первого. Кантор указал, что в этом обстоятельстве коренится различие между конечными и бесконечными множествами. Это составляет большую его заслугу.
Множество называется конечным, если оно не может быть приведено в совершенное сопряжение со своей частью, и бесконечным, если такое сопряжение возможно.
Если мы от натурального ряда отсечем все члены, следующие за некоторым его элементом, то мы получим конечное множество. Это ясно для множества 1 (то есть содержащего только первый член ряда), а для следующих множеств 1,2; 1,2,3; 1,2,3,4; это без труда доказывается совершенной индукцией. Из этого следует, что каждое множество, представляющее собой некоторую начальную часть натурального ряда, имеет свою особую мощность; точнее, если мы составим множества:I,
1,2 (1),
1,2,3 1,2,3,4
То из этих множеств каждое следующее имеет большую мощность, чем предыдущее. Мощность каждого из этих множеств мы можем характеризовать его последним элементом. Множества (1) мы будем называть натуральными числовыми множествами; иными словами, под натуральным числовым множеством мы будем разуметь такое множество, кот рое получается из натурального ряда путем отсечения всех членов, следующих за некоторым определенным его членом. Натуральное множество мы можем, таким образом, характеризовать его последним членом; например, под натуральным множеством 4 мы можем разуметь множество 1,2,3,4; вообще, под натуральным множеством и мы можем разуметь множество 1,2,3,.. .,п.
Легко видеть, что множество “, составленное из точек, имеет ту же мощность, что и натуральное множество 3. Существуют, конечно, и разнообразные другие множества, имеющие ту же мощность; относительно каждого такого множества мы будем говорить, что оно содержит три элемента. Вообще, мы будем говорить, что множество содержит и элементов, если оно им.‘етту же мощность, что и натуральное множество п. В этом заключается количественное значение натуральных чисел.
Вообще, установление соответствия между членами натурального множества икаким-либо конечным множеством Df имеет двоякое значение, двоякую цель: нумерование, то есть последовательную отметку каждого элемента множества некоторым числом, и исчисление, то есть установление того числового натурального множества, с которым множество 5ДО имеет одинаковую мощность. Эти два процесса на практике осуществляются параллельно. Нумеруя элементы конечного многообразия, то есть отмечая его члены числами 1,2,3, и заканчивая это нумерование числом и, мы устанавливаем и его мощность.
Установив, таким образом, количественное значение целых чисел, Кантор идет в этом направлении дальше. Натуральный ряд, как мы видели, представляет собою бесконечное множество. Существуют и другие множества, имеющие ту же мощность. Так, если на прямой будем последовательно откладывать, начиная от некоторой точки, равные отрезки, то конечные их точки образуют множество, имеющее мощность натурального ряда. Это и характеризуется тем, что точки эти можно последовательно перенумеровать; каждая точка получит номер, но для этого понадобятся все числа натурального ряда. В связи с этим всякое множество, мощность которого равна мощности натурального ряда, Кантор называет исчислимым множеством.
Приведем еще другие примеры исчислимых множеств. Прежде всего совокупность всех целых положительных и отрицательных чисел представляет собой исчислимое множество. По сравнению с натуральным рядом это множество содержит .вдвое” больше чисел. Но оно все же может быть сопряжено со своей частью — с натуральным рядом чисел; это видно из следующей таблицы:
+1, -1, +2, —2. +3, —3, +4, —4. +5, —5 4 t 4 t 4 t 4 t 4 t 4 t 4 t 4t 4t 4t 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
в которой каждое верхнее число сопряжено с нижним; между тем верхний ряд содержит все положительные и отрицательные целые числа, нижний — только арифметические целые числа. Верхний ряд таким образом перенумерован: нижние числа представляют собой номера, отнесенные верхним числам.
Результат, к которому мы пришли, можно формулировать так: если мы соединим два исчислимых ряда в один, то получим исчислимый ряд; иначе говоря, совокупность двух исчислимых рядов имеет ту же мощность, что и каждый из них в отдельности; возможность этого коренится в том, что это ряды бесконечные. Три исчислимых рядамогут быть таким же образом соединены в один исчислимый ряд, как это видно из следующей схемы: ряды
|
1, 2, |
3, 4, |
5, |
6, 7, |
8, |
9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1, --2. |
-3, -4, - |
-5, |
-6, -7, |
—8, - |
-9 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1“. 2. |
3“. 4“, |
5i |
, 6“, 7 |
, 8. |
9: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а., |
“з. |
ait . |
, an> | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. |
Ь2- |
Ьг. |
h. |
,b„, . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
п. |
с2, |
q. |
q, . |
> | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6-2, |
dn, . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ei> |
2. |
<ез, |
<4. |
P i cn» | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
tl | |||||
|
Г |
Г |
г |
1, . |
’T | |||||
|
l |
2 |
3 |
4 |
n | |||||
|
2’ |
2’ |
2’ |
2 ’ ’ ’ ’ |
’T | |||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
n | |||||
|
3’ |
3’ |
3’ |
3’ ‘ |
’ T ’ | |||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
tl | |||||
|
m |
tri |
tri |
tri |
tn | |||||
