> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Теперь нужно установить правила арифметических действий над относительными числами

Теперь нужно установить правила арифметических действий над относительными числами

Теперь нужно установить правила арифметических действий над относительными числами. Определение сложения положительных и отрицательных чисел выражается следующими равенствами:

1) ( + «) + ( + &)=+ (а + Ь)

2) (-в) + (-)=-(а + &)

3) ( + я) + (— b)=(я — Ь), если а > b

= — (Ь — а), если а<Ь

4) (-) + ( + «)=( + «) + (-)

Словесное выражение этих соглашений совпадает с тем, что мы привыкли называть правилом сложения положительных и отрицательных чисел. Иными словами, скажем, правило .чтобы сложить два числа, имеющие одинаковые знаки, нужно сложить их абсолютные значения и при сумме поставить тот же знак“ нужно рассматривать как определение того, что мы уславливаемся разуметь под суммой двух положительных или двух отрицательных чисел.

Из этих определений легко вывести, что основные свойства суммы арифметических чисел (законы сочетательности и переместительности) остаются в силе и для относительных чисел. Материал, которым арифметика оперирует, расширяется, а законы операций остаются те же. Это—общая идея, которая лежит в основе всего хода эволюции понятия о числе.

Из определения суммы, именно из того, которое выражается соотношением 3), вытекает, что (-)- а) -{- (— а)=0; иными словами, сумма двух чисел, имеющих одинаковые абсолютные значения, но противоположные знаки, равна нулю. На практике нам часто приходится иметь дело с так называемыми противоположными величинами, то есть с такими величинами, которые при соединении в равных количествах могут быть опущены из счета. Таковы имущество и долг, повышение и понижение и так далее Соотношения между этими величинами удобно передаются, если выражать Их положительными и отрицательными числами, относя положительные числа к элементам одной величины, а отрицательные к противоположной. Эти общеизвестные соображения служили руководящей нитьюпри введении положительных и отрицательных чисел. Но существо дела все же заключается в том, что расширение числового комплекса есть условное соглашение, построенное на логической базе, а конкретные величины представляют собой объекты, к которым эти числа применяются; для этих именно применений условные постулаты и созданы; но они от этого не перестают быть условными построениями.

Вычитание определяется как действие, обратное слож нию; иными словами, определение вычитания относительных чисел не отличается от определения вычитания арифметических чисел: по идее это то же действие. Но в области относительных чисел всяким двум числам отвечает разность независимо от того, которое из данных чисел служит уменьшаемым и которое вычитаемым. Если, например, даны два положительных числа ( + а) и (-|-й), то

( + а) + [(-«) + (+)]=[(+«)+(-<)] +

4-( + )=0-Н + )=+ -

Таким образом число ( — а) -}- ( -|- 6), или, что то же, ( + &)-!-(—«), есть разность чисел (4- Ь) и (-j-e), каковы бы ни были абсолютные значения этих чисел. То же имеет место, каковы бы ни были уменьшаемое и вычитаемое, в том смысле, что вычесть положительное число все равно, что прибавить отрицательное число с тем же абсолютным значением, и обратно. А так как сложение двух относительных чисел всегда осуществляется однозначно, то однозначно осуществляется и их вычитание.

Умножение относительных чисел определяется четырьмя равенствами:

( + «)( 4- Ь)=4- «М 4- а).{ — Ь)=— а&,

( — a).{ + b)=—ab,( — а).( — Ь)=+ аb.,

Эти равенства обычно рассматриваются как .правила“ перемножения положительных и отрицательных чисел, выводимые из их значения. Эти выводы основываются на конкретных применениях отрицательных чисел; они всегда полны натяжек, обусловливаемых тем, что за факт выдается то, что есть чистое соглашение. Когда же соглашение, которым определяется умножение относительных чисел, установлено, то из него действительно выводятся основные свойства произведения — законы переместительности, сочетательности и распределительности. Все формальные преобразования остаются, поэтому, в силе. Дальнейшее развитие учения об относительных числах уже не представляет затруднений; таким образом, и этот этап в ходе эволюции понятия о числе закончен.

Отметим еще один момент. Положительные числа часто отождествляются с арифметическими числами. Логический смысл этого заключается в том, что под символом + а мы разумеем то же, что под символом а. Против этого нельзя возражать с точкп зрения логической. Но более стройной является система Штольца, рассматривающая арифметические числа только как материал, из которого строятся положительные и отрицательные числа. В тех случаях, когда мы оперируем со значениями одной величины, находят себе применение только арифметические числа; Когда приходится иметь дело со значениями двух противоположных величин, получают применение относительные числа.

25. Комплексные числа. С введением отрицательных чисел получилась область, в которой рациональные операции (сложение, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля) всегда выполнимы. Но за то извлечение корня четной степени — прежде всего квадратного — из отрицательных чисел стало невозможным. Стремление выйти из этого затруднения привело к введению комплексных чисел, по существу завершившему эволюцию числовой области. Выше мы довольно подробно изложили историю блуждания мысли в процессе установления понятия о положительных и отрицательных числах. Мы не имеем возможности остановиться хотя бы столь же подробно на таких же блужданиях, которыми сопровождалось построение учения о комплексных числах. Эти блуждания были еще глубже, еще продолжительнее и сопровождались ошибками. Оно и понятно: иррациональные и отрицательные числа при своем появлении имели под собою конкретный субстрат, то есть геометрические и реальные объекты, соотношения которых они выражали; более того, необходимость выражать такого рода соотношения и привела к введению этого рода чисел. Между тем, комплексные числа долгое время оставались совершенно абстрактным творением человеческого ума.

Как и в ходе возникновения отрицательных чисел, комплексные числа появляются сначала как нечто фиктивное (numeri ficti), воображаемое (nombres illusoires), мнимое (imaginaire). И по настоящее время относительные числа сохраняют свое наименование только в противоположение арифметическим числам. В противоположение же комплексным, или, как их прежде называли, мнимым числам, их называют действительными числами, иногда вещественными числами. Действия над комплексными числами долгое время выполняются ощупью, часто неудачно. Итальянские алгебраисты XVI в., Кардан („Ars magna”, 1545) и

Бомбелли (.Algebra”, 1572), впервые пользуются отчетливо мнимыми числами. Ив. Бернулли, Лейбниц, Муавр вводят их в анализ (XVII ст.), Гаусс и Коши развертывают применения пх, которые дают комплексным числам доминирующее значение. Но научное обоснование самой арифметики комплексных чисел принадлежит Гамильтону (1«37; см.) Мы здесь изложим основы теории комплексных чисел по Гамильтону.

Из каждых двух действительных чисел а и Ь, как-либо их скомбинировав, скажем, — в виде (а, Ь), составим символ. Иначе говоря, составим из действительных чисел все возможные размещения по два, и каждое такое размещение вида (а, Ь) будем называть составным, или комплексным числом. Это суть размещения, а потому комплекс (а, Ь) нужно отличать от комплекса (b, а). Действительные числа а и b можно называть компонентами комплексного числа (а, Ь). Среди комплексных чисел будут числа вида (а, 0), то есть числа, вторая компонента которых равна нулю. Каждое число вида (а, 0) мы будем отождествлять с действительным числом а; иными словами, под символом (а, 0) мы будем разуметь то же, что под символом а; это будет новое обозначение того же действительного числа. При этом соглашении в состав совокупности всех комплексных чисел войдут все действительные числа, и введение комплексных чисел представляет собою поэтому новое обобщение понятия о числе.

Два комплексных числа (а, b) и (а, Ь) мы будем называть равными, если первые и вторые компоненты их соответственно равны между собою. Иными словами;

(а, Ь)={а, Ь), если а —а и b — b (1).

Установленное таким образом понятие о равенстве обладает всеми свойствами, которые должны быть равенству присущи: оно возвратно (то есть каждое комплексное число равно самому себе), обратимо и транзитивно. Можно установить и условия, при которых одно комплексное число считается большим или меньшим, чем другое. Так, можно считать число (а, b) большим комплексного числа (а, Ь), если разнрсть а — а есть положительное число, и меньшим, если эта разность есть число отрицательное; если же эта разность равна нулю, то вопрос на тех же основаниях решается по разности Ь — b. Эти критерии удовлетворяют всем посту лата м сравнения. Однако, по характеру применения комплексных чисел, значение имеет только условие их равенства.

Под суммой двух комплексных чиселмы разумеем комплексное число, первая компонента которого равна сумме первых компонент слагаемых, а вторая компонента равна сумме вторых компонент слагаемых. !14ными словами, сумма двух комплексных чисел опред ляется равенством:

(а, Ь) + (а, Ь)=(а + а, b + b) (2).

Из этого явно вытекает, что основные свойства суммы действительных чисел остаются в силе и для суммы комплексных чисел. Так, например:

[(а. Ь) + (а, Ь)] + (а“, Ь“) =

= ([« + «] + а“, [6 + Ь] + Ь“),

(я, b) + fia, b) + (а“, b)] -: (а + [а — а“], b + [Ы 4- Ь” )

И так как

[а 4- а] + а“=а -{- [а -{- а“],

[6 + я] + й“=и + [У + й“].