и из них составить множество, элементами которого будут служить комбинациий«Ут 1х ;
множество будет состоять из всех элементов этого вида. Но ясно, что оно имеет ту же мощность, что и множество, составленное из всех дробей вида 0,аеу.. Л, а это есть континуум.
Из того обстоятельства, что пн — тн, если т и и суть натуральные числа, следует, что установить понятие о делении, как об однозначном обращении умножения, здесь невозможно. Совокупность канторовых чисел не образует числового корпуса.
Изложенные выше основания канторовой арифметики количественных чисел могут произвести впечатление, что порядковое расположение их в этой теории роли не играет. Это, однако, не так. Для полной разработки этой теории Кантор не только был вынужден возвратиться к идее о порядковом характере всего числового ряда, но даже построить учение о так называемых „порядковых числах“. Войти в подробности этого весьма важного учения здесь невозможно; ограничимся лишь указанием того, что приводит к этому учению и каков его важнейший результат.
Установив в предыдущей главе, при каких условиях мы считаем мощность одного множества большей, равной или меньшей, нежели мощность другого множества, мы не остановились на вопросе о том, можно ли всегда утверждать, что из двух заданных множеств одно всегда имеет мощность, равную мощности другого, большую или меньшую ее. Иначе говоря, если даны два множества, которые не имеют одинаковой мощности, то есть не могут быть приведены в однооднозначное соответствие, то всегда ли можно одно и только одно из этих двух множеств привести в однооднозначное соответствие с некоторой частью другогое Решение этого основного вопроса оказалось черезвычайно трудным, и муть к нему лежит через учение о порядковых числах. Точкой отправления в этом учении служит расположение элементов множества, то есть распределение их в такой порядок, при котором из любых двух его элементов один всегда бы предшествовал другому (а этот последний следовал бы за первым). Грас-сманова арифметика, как мы видели, имеет точкой отправления расположенный ряд — натуральный ряд; на этом всецело основан индуктивный метод построения арифметики. У Кантора такого ряда нет; ему необходимо создать более сложный ряд, который соответствовал бы более сложной структуре его количественных чисел. Кантор замечает прежде всего, что самые элементы натурального ряда можно расположить черезвычайно различно. Так, мы можем заменить натуральное расположение
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,,
в котором каждое нечетное число предшествует четному, расположением 2
2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7
в котором каждое четное число предшествует меньшему нечетному. В таком же роде возможно еще многообразно изменять последовательность членов натурального ряда. Но такого рода перераспределение, пример которого мы привели, Кантор не считает существенным. Гораздо более глубокое отличие от натурального ряда представляют собой расположения:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 81 или
3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2,
в которых один или два первых элемента перенесены в конец ряда. Еще большее отличие представляет расположение
1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10
при котором каждое четное число следует за всеми нечетными.
При всем различии приведенных выше расположений членов натурального ряда, они все имеют одну существенную особенность, которая заключается в следующем: как бы мы в этих расположениях ни произвели сечение, каждая из двух частей имеет начальный элемент. Если, например, произвести в последнем расположении сечение, относя к первой группе все нечетные, а ко второй группе все четные числа, то первая группа будет иметь начальным элементом 1, а вторая — 2; если сечение произвести после 8, то вторая группа будет иметь первым элементом 10, и так далее Такого рода последовательности Кантор называет строго расположенными, или вполне расположенными (wohlgeord-nete Menge). Но если мы дадим членам натурального ряда расположение:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 10, 8, 6, 4, 2,
в котором за всеми нечетными числами следуют все четные в обратном порядке, то это расположение не будет строгим; в самом деле, если мы здесь произведем сечение, отнеся к первой категории все нечетные, а ко второй — все четные числа, то вторая группа первого элемента не имеет: это нестрогое расположение чисел натурального ряда. Наиболее существенная особенность строго расположенных множеств заключается в следующем. Если два строго расположенных множества не имеют одинаковой мощности, то одно из них непременно имеет мощность некоторой начальной части другого. Таким образом,относительно строго расположенных множеств поставленный выше вопрос о сравнимости мощностей всегда решается в утвердительном смысле. Точнее: из двух множеств,
элементы которых могут быть приведены в строго расположенные последовательности, одно всегда имеет либо ту же мощность, что и другое, либо большую, либо меньшую; здесь имеет место полная дизъюнкция. Чтобы поэтому установить, имеет ли также место такая дизъюнкция относительно двух любых множеств, нужно решить, можно ли элементы любого множества привести в строго расположенную последовательность. Это и был коренной вопрос во всей канторовой арифметике. Вопрос этот представлял весьма большие трудности, так что Гильберт в своей речи на Парижском всемирном конгрессе математиков отнес его к числу труднейших задач, стоящих перед математическим миром Цермелло дал его решение: рядом весьма тонких рассуждений он показал, что строгое расположение элементов любого множества всегда может быть достигнуто. С тех пор учение о множествах получило черезвычайно широкое развитие, и идеи Кантора стали краеугольным камнем современной теории функций действительного переменного (смотрите функции). Нужно, однако, сказать, что доказательство Цермелло нельзя считать общепризнанным.
30. Корпус трансфинитных чисел и неархимедова геометрия. Арифметика Кантора, как мы видели выше, не дает места обратным операциям — вычитанию и делению. Вследствие этого построенная Кантором система трансфинитных чисел нс представляет собою числового корпуса. Кантор только продолжил натуральный ряд, и все его дальнейшие числа тоже носят характер целых чисел. Гильберт подошел к идее трансфинитных чисел с другой стороны и создал настоящий корпус трансфинитных чисел. Если Кантор продолжил ряд натуральных чисел, то Гильберт продолжил в обе стороны за бесконечность весь комплекс действительных чисел. Комплекс не сохранил при этом непрерывности, но зато стал числовым корпусом. Составим множество следующим образом. Введем в его состав прежде всего все целые и дробные алгебраические функции одного действительного переменного с действительными коэффициентами. Каждая такая функция будет, следовательно, иметь вида0 у alt - - а2 t- + а< I1
Ь0 + t + 2 Р + + bi О
Сюда же войдут, в частности, функции, сводящиеся к постоянным, вида
Вслед за этим мы введем в состав нашего множества функции, которые получаются путем производства над любым конечным числом ранее введенных функций <p2{t),, <pn(t) операции
+ i(0I2 + [V2(0I2+--- + KUH2-
Получив, таким образом, функции, содержащие один квадратный радикал, мы составим новые функции, которые получаются путем производства над всеми введенными уже функциями рациональных операций и извлечения корня квадратного из суммы квадратов. Далее, мы приобщим все возможные функции, которые тем же путем получаются из предыдущих функций, и так далее Мы можем, таким образом, сказать, что в состав нашего множества войдут все функции, которые получаются из целых алгебраических функций с действительными коэффициентами путем последовательного производства четырех рациональных операций и извлечения корня квадратного из суммы квадратов.
> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Теперь обратим внимание на особенности