> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Теперь обратимся к движениям

Теперь обратимся к движениям

Теперь обратимся к движениям. По определению, это суть какие угодно сопряжения пространства с самим собою. В виду этого возможны просгранст а, в которых при совмещении точек А и В с точками А и В расстояния АВ и АВ могут не быть равны между собой; в других пространствах при этих условиях АВ — АВ, Мы можем выделить эти последние пространства. Это приводит к следующему постулату:

Постулат III. Если некоторое движение совмещает точки А и В с точками А и В, то расстояния АВ и АВ равны.

Этот постулат устанавливает, что расстояние между двумя точками при движении остается инвариантным.

Сопряжения, представляющие собою движения в нашем пространстве, ничем ближайшим образом не охарактеризованы; это могут быть даже несовершенные сопряжения. Четвертый постулат устраняет эту возможность.

Постулат IV. Никакое движение не приводит двух различных точек пространства в совмещение с одной и той же точкой.

Пятый постулат устанавливает, что движения образуют группу.

Постулат V. Каковы бы ни были движения S и S в пространстве, существует движение SS, заменяющее последовательное производство их.

Содержание постулатов III - V можно выразить коротко и совместно так: движения представляют собою группу совершенных преобразований, для которых расстояния представляют собой инварианты. Таким образом, эти постулаты являются выражением точки зрения С. Ли на сущность движений.

Если некоторое движение оставляет какую-либо точку в покое (то есть сопрягает ее с самой собою, относит ее к самой себе в качестве соответствующей, еще иначе— преобразовывает ее в самое себя), то оно называется вращением вокруг этой точки. Если движение оставляет в покое несколько точек или какой-либо образ, то оно называется вращением вокруг этих точек или вокруг этого образа.

Положим, что в некотором пространстве вращение вокруг двух точек А В приводит точку С в совмещение с точкой С. В таком случае в силу постулата III

АС=АС и ВС— ВС (I).

Положим теперь, обратно, что имеют место соотношения (I). Всегда ли при этих условиях в пространстве существует вращение вокруг точек А и В, совмещающее точку С с точкой Се Исследование обнаруживает. что существуют пространства, удовлетворяющие установленным уже пяти постулатам, но этому требованию не удовлетворяющие; существуют также пространства, в которых это требование удовлетворено. Сообразно этому мы можем установить следующий постулат:

Постулат VI. Если точки С и С одинаково удалены как от точки А, так и от точки В, то есть, если имеют место соотношения (1), то существуетвращение вокруг точек А и В, приводящее точку С в точку С.

Пользуясь всеми этими постулатами, можно легко установить, что движение, оставляющее две точки в покое, оставляет в покое и прямую, их соединяющую. Но если движение оставляет в покое три точки, не лежащие на одной прямой, смещает ли оно другие точкие В некоторых пространствах такое смешение происходит, а в других оно не имеет места. Сообразно этому мы можем установить следующий постулат:

Постулат VH. Если некоторое движение оставляет в покое 3 точки, не лежащие на одной прямой, то оно оставляет в покое все точки пространства.

Остающиеся постулаты святаны с понятием о плоскости. В этой системе разработки геометрии понятие о плоскости связывается с геометрическим местом точек, одинаково удаленных от двух данных точек. В некоторых пространствах этим геометрическим местом служит только одна точка (середина отрезка, соединяющего эти точки); в других пространствах этим геометрическим местом служит прямая (например, если это есть двухмерное евклидово пространство); наконец, существуют пространства, в которых это геометрическое место имеет также точки, не расположенные на одной прямой. Если геометрическое место точек, равно удаленных от двух точек, содержит точки, не расположенные на одной прямой, то мы будем называть его плоскостью. Вместе с тем мы можем установить следующий постулат:

Постулат VIII. В пространстве существует плоскость.

«Положим, что точки А и В лежат вне плоскости Р. Если отрезок АВ не встречает плоскости, то говорят, что точки A i В расположены по одну сторону от плоскости; если отрезок АВ встречает плоскость, то говорят,что точки расположены по разные стороны от плоскости. Пусть А,В,С будут три точки, не принадлежащие плоскости, причем точки А и В и точки В к С расположены по одну сторону от плоскости. Будут ли точки А и С также расположены по одну сторону от неее В противность всей нашей интуиции бывают пространства, в которых это не имеет места. Мы можем поэтому установить постулат:

Постулат IX. Если точки А и В, а также точки В и С расположены по одну сторону некоторой от плоскости, то точки А и С также расположены по одну сторону от той же плоскости.

Эти 9 постулатов оставляют выбор только между геометрией Евклида и геометрией Лобачевского. Поэтому, присоединяя в качестве десятого постулат Евклида, мы получаем систему основных положений, впол не определяющих евклидово пространство. Конечно, чтобы вполне отчетливо себе уяснить систему геометрии, в этом порядке идей построенную, необходимо проделать доказательства важнейших теорем. Система, во всяком случае, дает формальное обоснование геометрии.

Б качестве недостатка этой системы в литературе указывали, что она вводит в геометрию с первых же шагов число. Между тем геометрию надлежит развивать чисто геометрическими средствами, не прибегая к арифметике: geometriam geometrice. Однако, метрическую часть геометрии, то есть учение об измерении длин, площадей и объёмов, невозможно строить, не пользуясь арифметикой. Вопрос, таким образом, только в том, с какого момента обращаться к арифметическим средствам. Всю геометрию положения действительно можно построить, не прибегая к арифметическим средствам; для этого необходимо четыре теоремы о расположении точек на прямой, выше здесь приведенные, ввести в качестве постулатов. Так Гильберт и поступает. В его системе постулаты распадаются на 5 групп. Первую образуют постулаты связи: две точки определяют прямую;—три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость; — если две точки лежат на плоскости, то и прямая, ими определяемая, целиком лежит в той же плоскости; в системе Гильберта все эти предложения представляют собою постулаты. Вторую группу образуют постулаты, относящиеся к расположению точек на прямой; по существу они мало отличаются от приведенных выше четырех предложений. Третью группу образуют постулаты, относящиеся к движению. Четвертую группу образуют аксиомы о непрерывности; к этим идеям мы еще возвратимся ниже. Наконец, пятую группу составляет постулат Евклида, который Гильберт, впрочем, вводит раньше.

После всех этих исследований было опубликовано еще немало работ, упрощающих геометрическую систему, устанавливающих логические посылки проективной геометрии, эллиптической или гиперболической геометрии и так далее Но по существу задача о формальном построении геометрии разрешена.

17. Гносеологический подход к теоретическим основам геометрии. Все рассуждения, которыми мы занимались выше, имели источник методологический. Самая задача ставилась как определенный метод построения системы геометрии; все внимание было сосредоточено на тех перипетиях научной мысли, которые прямо или косвенно вели к разрешению этой задачи. Но в самой тесной связи с этой проблемой стоитдругой вопрос — об источнике математического познания вообще, геометрического—в частности. Откуда почерпнуты, каким путем добыты наши представления о пространстве, соотношения между пространственными образами и те геометрические предложения, которые служат выражением пространственных соотношенийе Геометрия разматывается дедуктивными средствами из небольшого числа посылок. Но каким образом установлены или приобретены эти посылкие Вряд ли будет преувеличено, если мы скажем,что интересы гносеологии (науки об источниках нашего познания, см. теория познания) были более всего сосредоточены на этом именно вопросе. Он занимал умы философов уже в глубокой древности; он часто служит предметом ожесточенного спора в наши дни. Аристотель в заключительной главе „Второй Аналитики“ классифицирует различные точки зрения на этот вопрос, по существу, так же, как это через два с лишком тысячелетия сделал Гельмгольц. В своей „Физиологической Оптике“ Гельмгольц определенно формулирует две точки зрения на этот предмет, которые характеризуют два основных взгляда, по отношению к этому вопросу сложившиеся. Одни считают, что источник наших геометрических познаний коренится в тех свойствах нашего духа, которые мы несем с собой от рождения; философов, отстаивающих эту точку зрения, Гельмгольц называет нативистами. Другие признают наблюдение и опыт единственным источником познания, а потому считают, что и геометрические наши познания мы черпаем из того же кладезя; этих философов Гельмгольц называет эмпиристами В эпоху Гельмгольца уже нельзя было ограничиться общей схемой, и потому он эту характеристику углубляет. Нативисты усматривают источник наших пространственных представлений в нашей организации, в самом устройстве нервной системы, органа зрения, органа осязания. Они считают, что способом восприятия впечатлений, который обусловливается устройством органjb восприятия, определяется и то, как мы относим эти восприятия во внешний мир, как мы их локализируем во времени и в пространстве. Устройством глаза и зрительных центров определяется не только то, как мы во. принимаем впечатления, производимые телами на орган зрения, но и то, как мы эти впечатления, так сказать, проецируем во-вне. Напротив, эмпиристы приписывают в процессе приобретения пространственных предщавлений преимущественное значение упражнению, сознательному и бессознательному опыту, часто связанному с волевыми побуждениями и вообще с психологическими мотивами.

Сам Гельмгольц причисляет себя к наибо-лее устойчивым эмпиристам, хотя в проведении эмпирической точки зрения он, несомненно, не проявляет той совершенно непоколебимой тв рдости, которая так ярко выражена у Дж. Ст. Милля. Наиболее яркими представителями нативистов в XIX ст. являются У. Джемс, И. Миллер и особенно Э. Геринг, хотя все они проводят нативистское учение весьма различно. Однако, Вундт считает, что не всякое психологическое воззрение, противопоставляемое нативизму, может быть признано эмпиризмом. Он предпочитает поэтому подразделить воззрения по этому вопросу на нативистское и генетическое; генетическое же воззрение он подразделяет на эмпирическое, как оно было охарактеризовано выше, и ассоциативное, которое все-таки видит основу образования пространственных представлений не только в воздействии внешнего мира, в опыте и упражнении, но и в ассоциациях, в сближениях воспринятых ощущений, которые являются продуктом нашей душевной деятельности и в известной мере предшествуют опыту. Но наиболее трудно в этой классификации отвести место воззрениям Канта, игравшим в истории этого вопроса совершенно исключительную роль.

Сущность взглядов Канта заключается в следующем. Акт познавания, несомненно, всегда начинается с опыта, с внешних чувственных восприятий. Но когда это восприятие осуществляется, воспринимаемые ощущения, достигая нашего сознания, налагаются на определенную его структуру, на определенные, уже готовые формы сознания, существующие до всякого опыта. Вне этих форм никакое познание невозможно. Эти формы Кант называет познанием a priori. Совокупность априорных знаний составляет достояние чистого разума. Учение о деятельности разума, когда он оперирует исключительно априорными знаниями, должно составить теорию чистого разума. Кант не считает еще возможным создать такую теорию; он пишет только пропедевтику к ней или „критику чистого разума“, имеющую целью отделить то, что ему не принадлежит, и этим путем выяснить его действительное достояние — познание a priori. Две черты, по взглядам Канта, характеризуют априорное знание во-первых, его аподиктичность и, во-вторых,— всеобщность, не знающая исключений (смотрите XXIII, 339 сл.). Такие априорные истины, по мнению Канта, присущи каждой науке; но в математике они доминируют. Математика вообще, и геометрия в частности, вся разматывается из некоторого числа априорных, присущих нашему разуму положений. Все основные свойства пространства, то есть все основные положения геометрии составляют априорное достояние нашего разума. Для их утверждения не может быть места никакому опыту, ибо они вполне аподиктичны. Если, например, некоторый опыт говорил бы против того положения, что через две точки можно провести только одну прямую, то мы с полной уверенностью сказали бы, что неправильность лежит в опыте, а не в этом основном положении: мы были бы уверены, что ошибка лежит в осуществлении опыта, а ири таких условиях опыт не может играть никакой роли в обосновании истины. Все, что добывалось путем опыта, всегда было чрева о сомнениями, отступлениями, исключениями; многое требовало исправления, многое оказывалось даже ложным. Математика ничего подобного не знает. Ее истины всегда были незыблемы и не вызывали сомнений в течение тысячелетий. Причина этого — их априорность. Учение об априорности отнюдь не совпадает с нативизмом. Здесь дело не в физической конструкции наших органов восприятия, не в прирожденных агентах, определенным образом физиологически преломляющих воспринимаемые нами ощущения. Здесь существо дела, по взглядам Канта, в определенных формах сознатия, присущих нашему духу, в известном смысле составляющих существо этого сознания.

Милль в „Системе логики“ подробно останавливается на вопросе о происхождении геометрических аксиом. Будучи решительным эмпирнстом, он противополагает взглядам Канта следующие соображения. Бывают опыты, так сказать, нарочитые, с определенной целью производимые, — будем их называть экспериментами, — и опыты, осуществ шемые попутно в нашей житейской практике, в нашей повседневной деятельности; этого рода опыты будем называть „эмпирическими переживаниями Эксперименты, специально производимые для проверки того или иного научного положения, необходимо бывают редки, носят единичный характер даже в том случае, если они проверяются целым рядом ученых. В этом, так сказать, спорадическом характере эксперимента, мало разнообразного и часто одностороннего, коренится источник его недостаточной надежности. Но эмпирические переживания носят массовый характер; если они систематически прив дят к одному и тому же результату, то они глубоко внедряют устанавливаемую ими истину в наше сознание. Эмпирические переживания, относящиеся к первоосновам геометрии, сопутствуют почти каждому нашему движению. Они испытываются всеми, кто сознательно относится к окружающему миру; они осуществляются массами людейи из годя в год, из столетия в столетие дают один и тот же результат. И этим путем в течение тысячелетий эти истины глубоко внедрились в наше сознание, сделались необходимым достоянием нашего ума. Может быть теперь ребенок уже не сет в себе зародыши этих знаний; но происхождение их все-таки эмпирическое, они представляют собой результат вековых и массовых эмпирических переживаний. (Ср. XXVIII, 639/40).

Как воз хрения Канта, так и взгляды Милля вст| ечали решительные возражения. Учение об априорности геометрических истин встречало возражения двоякого рода: одни носили, так сказать, эмпирический, другие—принципиальный характер. Воззрения первого рода заключались в том, что априорные истины должны были бы быть достоянием всякого человека, независимо от уровня его развития; между тем усвое ние геометрических истин требует уже значительной интеллигентности и иногда не без труда дается лицам уже подготовленным. Возражения принципиального свойства находились в связи с необычайным взмахом опытных наук в XIX ст. С каждым десятилетием крепло позитивное направление мысли, крепло механистическое мировоззрение, материалистическое понимание всего окружающего. На этой почве априоризм Канта, естественно, отдавал метафизикой, тем более, что Кант на всю критику чистого разума смотрел как на теорию метафизики. II чем шире развертывались успехи эмпирических наук, чем глубже внедрялось материалистическое мировоззрение, тем яснее становился совершенно метафизический характер учения Канта. Были сделаны многочисленные попытки примирить учение Канта с воззрениями эмпириС|Ов; но тенденциозная искусственность этих попыток так ясна, что о них вряд ли даже стоит серьезно говорить. Но и противники Канта не чувствовали под своими учениями той твердой почвы, которая во всех остальных отраслях естествознания крепла с каждым днем и часом. Самые убежденные эмпи-ристы не могли не чувствовать, что геометрию от чисто эмпирических наук все-таки отделяет целая пропасть. Что в геометрическом познании есть очень глубокий эмпирический элемент, в этом не может быть сомнений. Но совершенно особенная точность геометрии ставит ее в исключительное положение, и рассуждения Мил. я, несомненно, оставляют чувство неудовлетворенности. Трудность заключается в том, чтобы эту особенную точность разъяснить до конца, найти ее источник, пр лить на этот вопрос полный яркий свет. Опыт, ведь, вообще не может дать ничего больше,

чем он фактически устанавливает; это, между прочим, составляет основную точку зрения Милля как в теории индукции, так и в учении о силлогизме. Между тем вера в совершенную точность этого рода предложений у нас гораздо глубже, нежели сознание, что опыт их подтверждает; опыт всегда дает подтверждение этого только с приближением. Более того, геометрические истины всегда относятся к идеальным образам, которые конкретно вообще нельзя воспроизвести. Здесь происходит неизмеримо более глубокий процесс отвлечения, чем в чисто экспериментальных науках; истолкование этого процесса с его логической и психологической стороны оставалось недоступным. Именно в поисках за источником этих сомнений некоторые философы пытались примирить учение об априорности с чистым эмпиризмом; Риль и сейчас еще стоит на той точке зрения, что мжду этими учениями нет глубокой разницы. Мы совершенно убеждены, что попытки примирения этих противоположных учений столь же безнадежны, как и попытки примирения религии с наукой.

Источник геометрического познания оставался для этих философов неразгаданной загадкой. На помощь пришли геометры и дали своеобразный ответ на этот вопрос.

Первым шагом в этом деле было открытие неевклидовой геометрии, которая является такой же строгой, такой же незыблемой, такой же совершенной математической системой, как и геометрия Евклида. Учение об априорности именно евклидовой геометрии с этим совершенно не вяжется. Как могла бы существовать другая геометрия, если бы евклидова геометрия составляла неотделимую от человека форму его мышленияе Это —первый этап на пути новых воззрений. Далее выяснилось, что евклидова же геометрия, как формальная система не связана непременно с теми представлениями, которые мы с ней соединяем; она может получать и иные интерпретации. Такие же разнообразные наглядные интерпретации получили и другие геометрические системы. Разница лишь в том, что евклидова система чаще получает применение к окружающим нас предметам. Таким образом, выработалось сознание, что геометрия есть наука чисто формальная. Основные ее положения представляют собой не истины априорного происхождения (Кант), не научные гипотезы (Риман) или факты, заимствованные из опыта (Гельмгольц, Милль), а формальные, условно устанавливаемые положения (постулаты); принципиально эти постулаты подчинены только одному требованию — они не должны находиться во взаимном логическом противоречии. Фактическая же ценность их заклкччается в том, что они с большим приближением отображают те соотношения между материальными телами, которые мы называем пространственными. Эти соотношения, с которыми мы постоянно имеем дело, и привели к установлению соглашений — постулатов геометрии. Из этих постулатов геометрия разматывается совершенно дедуктивно. Различным комбинациям постулатов соответствуют различные геометрические системы. Строгость и незыблемость геометрических предложений коренится исключительно в том, что основные положения не содержат логического противоречия. Эту точку зрения с полной отчетливостью в первый раз выразил Г. Грассман в следующих словах: „Все науки в высшем своем подразделении распадаются на реальные и формальные. Первые отражают в нашем мышлении бытие, являющееся нашему сознанию независимо от него; истинность этих наук покоится на соответствии между этим бытием и нашим мышлением. Вторые имеют своим предметом то, что предложено самой человечесю и мыслью, и истинность их заключается во взаимном согласии процессов нашего мышления“.

Но, если посылки могут быть выбраны совершенно произвольно, то чем же мы должны руководствоваться, производя выбор этих посылоке Что служило путеводной нитью при избрании посылок, приведших к геометрии Евклидае Эту руководящую роль играл, конечно, опыт. Геометрия есть известная формальная система, служащая, как уже сказано, для выражения тех свойств физических тел, которые, связаны с их протяженностью. Эта система так подобрана, чтобы эти свойства с ее помощью было удобно выражать.