> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Теперь остается установить общие правила действий над арифметическими числами

Теперь остается установить общие правила действий над арифметическими числами

Теперь остается установить общие правила действий над арифметическими числами. Пусть (А, А) и (В, В) будут два сечения, производящие два арифметических числа а и b. Пусть а будет произвольное число группы А, р — произвольное число группы В. Теперь составим сечение (С, С), относя в группу С всякое число вида a -f- [S (т. е. всякое рациональное число, представляющее собой сумму одного числа группы А и одного числа группы В), а также всякое другое рациональное число, которое меньше какого-либо числа a-f-[i. Таким же образом в группу С войдут все рациональные числа, которые больше любого числа а -|- (i. Арифметическое число с которое этим путем получается, т. е.

определяется сечением (С, С), будем называть суммой чисел а и Ь:

с=а b.

Положим, в частности, что а и b суть рациональные числа. Тогда а можно рассматривать как наибольшее число группы А, а b — как наибольшее число группы В. Ясно, что в этом случае а Ь, то есть сумма рациональных чисел а и Ь, как мы ее определили раньше, будет наибольшим числом группы С. Сечение (С, С) в этом случае замыкается рациональным числом а -(- Ь, представляющим собою сумму чисел а и Ь в том смысле, как мы ее определили выше. Число а -+- b замыкает сечение (С. С), оно им определяется как арифметическое число. Иными словами, если два арифметических числа сводятся к числам рациональным, то сумма, новым определением установленная, совпадает с суммой этих чисел, установленной арифметикою рациональных чисел. В этом заключается закон перманентности, который мы выяснили выше.

Остается показать, что формальные законы арифметических операций остаются в силе для всех арифметических чисел. Мы не можем здесь на этом останавливаться; читатель, уяснивший себе сущность задачи, справится с этим сам. В области арифметических чисел все арифметические операции, которые выполняются для рациональных чисел (сложение, вычитание, когда уменьшаемое больше вычитаемого, умножение и деление, когда делитель отличен от нуля), также выполняются и следуют тем же формальным законам. Таков неизменный ход эволюции понятия о числе.

Но в области всех арифметических чисел выполняется также большое число таких операций, которые в области рациональных чисел остаются невыполнимыми. Самой важной из этих операций является извлечение корня. Пусть а будет какое угодно арифметическое число, а л—целое число. Если а есть рациональное число, то рациональное число х, удовлетворяющее уравнению хп—а, существует только в исключительных случаях; если а есть иррациональное число, то такого числа х в области рациональных чисел и искать невозможно. Но в области всех арифметических чисел такое число всегда существует. В самом деле, положим, что рационального числа х, удовлетворяющего соотношению хн — а, не существует. Разобьем все рациональные числа на две категории, относя к первой всякое число х, для которого х < а, а ко второй категории—всякое число х“, для которого х“п > а. Ясно, что число второй категории больше всякогочисла первой категории; мы получим, таким образом, дедекиндово сечение, которое замыкается числом х. Путем несложных рассуждений, которых мы не будем здесь приводить, можно показать, что хп=а. Но не только этот простой сравнительно вопрос разрешается введением иррациональных чисел. Является возможным установить понятие о степени с любым показателем. Учение о пределах получает прочную базу (хотя оно возможно и в обл :сти рациональных чисел). Непрерывность числового ряда дает возможность установить понятие о непрерывности функции; становится возможным показать, что непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, необходимо принимает все промежуточные значения. В геометрии получает разрешение вопрос об измерении; отношение любых двух отрезков выражается рациональным или иррациональным числом (равно как отношение двух любых значений какой угодно величины); вопрос об отношениях и пропорциях теряет свою трудность.

23. Относительные (положительные и отрицательные) числа. Введение иррациональных чисел сделало возможным целый ряд операций, которые без того были невыполнимы. Можно сказать, что благодаря введению иррациональных чисел, получили точное разрешение проблемы, которые до того допускали лишь приближенное решение. Но оставалась операция, о разрешении которой, казалось, не могло быть речи по существу: это было вычитание большего числа из меньшего. В тесной связи с этим стояла задача о решении линейного уравнения с одной неизвестной; эта задача иногда допускала решение, иногда такового не допускала; последнее имело место в тех случаях, когда уравнение—по современной терминологии—имело отрицательный корень. Но проницательный глаз математика усмотрел возможность выйти из этого затруднен Iя задолго до того, как сделалось возможным провзети эту идею строго сознательно, чтобы не сказать — строго логически и научно. Правда, греческим геометрам, которые, как мы видели выше, построили глубоко продуманные учения об иррациональных величинах, идея отрицательного числа была совершенно чужда. Даже Диофант, творец греческой алгебры, обнаруживший столько проницательности в решении сложных задач арифметического характера, всегда подчиняет коэффициенты линейного уравнения таким условиям, при которых оно имеет положительное решение, и квалифицирует как aSivaxov (невозможное) всякое уравнение, этим условиям не удовлетворяющее. Идея о положительных и отрицательных числах появляется прежде всего у индусов (Брахмагупта, см.; VII ст. н. э.). Они появляются здесь в качестве „имущества“ и „долга“ и даже иногда для обозначения противоположных направлений на прямой. Отрицательные числа отмечаются точкой над числом. И все же другой индусский математик Бхаскара (смотрите), живший в XII ст., говорит, что „люди не одобряют абсолютных отрицательных чисел“ (слово „абсолютных“ нужно, повидимому, понимать как „отвлеченных“). Арабы совершенно отвергают отрицательные числа, их еще не знает и Леонард Пизанский. Но в XVI ст. отрицательные числа уже твердо прокладывают себе путь. французский математик Шюке (Chuquet, в конце XV ст.) оперирует отрицательными числами уже довольно смело. Но совершенно решительно становится на этот путь Михаил Штифель (Michael Stifel). В своем сочинении „Arithmetica integra“ (1544) он помещает особую главу, носящую заглавие,De signis additorum et substractorum et de numeris absurdis“. Рассуждения, которые Штифель приводит, настолько любопытны и характерны, что мы приведем некоторые извлечения из них (в переводе проф. И. Ю. Тимченко).

„Правило умножения и деления, поскольку оно касается умножения, обнимает четыре различных случая следующего рода:

0 + 6 0 + 4

0 + 24

0 — 6 10 + 6! 0 — 6

0 — 4 I 0 — 4 | 0 + 4

0 + 2-1| 0 —24, 0 — 24;

поскольку же оно касается деления, оно обнимает четыре подобных же различных случая.“

„Ты видишь, конечно, что все это с первого взгляда очень похоже на самый пустой вздор; и однако же выполненные сообразно с этим алгебраические действия приводят к изобретениям, поистине’ удивительным. Но чтобы не пропустить ничего из того, что относится к целостной системе арифметики, по мере своих сил я должен, как мне кажется, сказать в этом месте о воображаемых числах ниже нуля.“

„Подобно тому, как мы представляем себе различные корни из чисел, не имеющих таких корней, и это представление оказывается в высшей степени полезным в применении к математике, так же не без пользы представляют себе и числа ниже нуля.“

„Таким образом искусство счета в виду неограниченнэсти запаса своих средств обычно пользуется и тем, что существует, и тем, что лишь представляется как существующее. Ибо, подобно тому, как выше единицы полагаем целые числа, а ниже единицы представляем себе доли единицы, так выше нуля полагаем единицу с числамии ниже нуля представляем себе тоже единицу и числа.“

„По этому поводу можно было бы написать целую новую книгу о чудесных свойствах чисел; но я должен от этого воздержаться и уйти с закрытыми глазами.“

И все же великий творец современной алгебры Виет (смотрите II, 91/94) еще совершенно отрицает возможность введения отрицательных чисел.

Полное право гражданства отрицательные числа получили только со времени Декарта, без них аналитическая геометрия Декарта была бы невозможна, и могущественное значение идей Декарта в области геометрии повлекло за собой признание отрицательных чисел. Лейбниц, Ньютон, Даламбер, Маклорен, Ролль, наконец, Эйлер положили отрицательные числа в основу алгебры на равных правах с положительными, сделали их совершенно неизбежным средством математического исследования, и возражения против введения их в математику замолкли. Но это не значит, что введение отрицательных чисел было действительно обосновано. Напротив, это потребовало еще многих усилий. К обоснованию учения о положительных и отрицательных числах есть два пути: один был указан Грассманом, другой тщательно проведен Штольцем.

Как мы видели, естественным фундаментом всей арифметики служит учение о целых числах. Основная идея Грассмана заключается в том, что учение о целых отрицательных числах должно быть построено одновременно с учением о целых положительных числах. С этой целью он продолжает натуральный ряд в противоположную сторону. Ведь, по существу, основой учения Грассмана служит то обстоятельство, что натуральные числа представляют собой элементы расположенного ряда; этот ряд начинается с некоторого элемента, который мы обозначаем символом 0, за которым следуют элементы 1, 2, 3,. .. Мы дополним ряд элементами, предшествующ ши элементу 0; именно, элемент, непосредственно предшествующий элементу 0, мы обозначим через —1, ему предшествующий—через—2, ему предшествующий—через —3 и так далее Получается двусторонний ряд; элементы, следующие за элементом 0, будем называть положительными числами, а элементы, предшествующие элементу 0, будем называть отрицательными числами; с шое число нуль можно относить к обеим категориям или ни к одной из них. Признаком того, что натуральное число т больше числа и, мы считали то обстоятельство, что оно следует за числом и в натуральном ряду; и наоборот, следовательно, I т < и означает, что число т предшествуетчислу и в натуральном ряду. Это соглашение распространим на все члены двустороннего ряда; иными словами, во всем двустороннем ряду будем считать число т большим, чем число и, или меньшим, чем оно, смотря по тому следует ли т за и, или предшествует ему. Вследствие такого соглашения всякое отрицательное число меньше нуля; это имеет лишь то содержание, что отрицательное ч ело предшествует нулю в двустороннем натуральном ряду. Чтобы отличать числа, следующие за нулем (положительные), от предшествующих нулю (отрицательных), первые отмечаются знаком-}-, вторые—знаком—. Эти определения не содержат в себе ничего неотчетливого и лишают учение об отрицательных числах какого бы то ни было мистического элемента, который так пугал математиков ранней поры.