> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Теперь под

Теперь под

Теперь под .прямой”, в новом значении этого слова, будем разуметь каждую окружность и каждую прямую, проходящую через точку О. Можно представлять себе, что точка О для обитателей „плоскости” недостижима и представляется им бесконечно удаленной. При этих условиях через каждые две „точки” будет прох дить „прямая”: в самом деле, если точки А и В лежат на одной прямой с О, то проходящая через них прямая будет служить „прямой” и в новом значении этого слова. Если же точки А и В не расположены на одной прямой с точкой О, то через них можно провести одну и только одну окружность, проходящую через точку О. Эта окружность и будет служить в нашей новой „плоскости” „прямой”, проходящей через точки А и В. Ясно, что каждую ограниченную „прямую“ можн) продолжить в обе стороны, и для обитателя, для которого точка О представляется бесконечно удаленной, это продолжение можно производить неограниченно. Какие „прямые“ будут в этой геометрии параллельнымие Если эти две „прямые” представляют собой также прямые в обычном смысле слова, то они всегда будут параллельны, так как сходятся в точке О и потому в нашей „плоскости”, в новом значении этого слова, они общей точки не имеют: они встречаются только в бесконечно-удаленной точке. Если одна из них — прямая в обычном значении слова, а другая есть окружность, проходящая через точку О, то эти „прямые” параллельны, когда прямая касается окружности в точке О: эти „прямые” не имеют общей точки, ибо точка О в новой плоскости не существует. Точно так же, две „прямые”, представленные двумя окружностями, параллельны, если эти окружности в точке О соприкасаются.

Положим теперь, что А и В суть две „точки” нашей „плоскости”; через них проходит „прямая” АВ. Пусть С будет „точка“ нашей „плоскости”, лежащая вне „прямой” АВ; ясно, что через „точку” С проходит одна и только одна „прямая”, параллельная .„прямой” АВ. Если, например, „прямая”

АВ осуществляется окружностью, проходящей через точку О, то этой параллелью будет служить окружность, проходящая через „точку” С и касающаяся первой окружности в точке О. Такая окружность существует только одна. Легко понять, таким образом, что двумерная геометрия, в которой „прямые” имеют такую своеобразную форму, все-таки будет представлять собой обыкновенную евклидову планиметрию.

Впрочем, один вопрос требует тщательного выяснения. Что представляет собою движение в этой своеобразной геометриие Уяснить себе вполне решение этого вопроса значит овладеть последней позицией в деле современной постановки теоретического обоснования геометрии.

10. Сопряжение многообразий. Одну из наиболее важных, основных идей современной математики представляет понятие о сопряжении, или преобразовании. „Одну из важнейших особенностей нашего духа”, говорит Р. Дедекинд, „представляет собою способность относить одну вещь к другой вещи”. Этот процесс, выработавшийся в эволюции нашей психической деятельности; принято называть ассоциацией. В математике он получает, как и все математические операции, более точную формулировку. Так как он имеет коренное значение при теоретическом обосновании как геометрии, так и арифметики, то мы должны очень отчетливо выяснить его сущность.

Всякую совокупность некоторых объектов, однородных в том смысле, что каждый из них рассматривается только как элемент этой совокупности, называют в математике комплексом (Ivomplex, ensemble), многообразием (Mannigfaltigkeit), или множеством (Menge). Совокупность всех целых чисел есть множество; совокупность всех простых чисел, совокупность всех рациональных дробей — все это суть множества. В геометрии линии, поверхности, тела можно рассматривать, как множества, составленные из точек. В окружающей нас обстановке мы можем рассматривать как множество любую группу вещей, если мы отвлекаемся от особенностей каждой из них и сосредоточиваем наше внимание на ее принадлежности к этой совокупности — к этому множеству. Множества мы будем обозначать немецкими прописными буквами, их элементы—латинскими. Положим, что мы имеем два множества: 31 с элементами A, Alt /12, и множество 33 с элементами В. Bit В— Тогда мы можем устанавливать сопряжения, или соответствия, между элементами обоих множеств. Привести множество 91 в сопряжение, или в соответствие, с множеством 33 — значит признать каждый элемент множества 31 соответствующим некоторому элементу множества 33; при этом необходимо точно установить, какому именно элементу множества S3 соответствует каждый элемент множества 31. Множество 31 может состоять, скажем, из тетрадей, множество 33— из учеников. Мы можем установить относительно каждой тетради А, какому ученику В она соответствует (принадлежит). Если такое распределение установлено так. что каждая тетрадь действительно отнесена некоторому ученику, то в математической терминологии это означает, что множество 31 (тетрадей) приведено в сопряжение, или в соответствие, с множеством 33 (учеников). При этом может, конечно, оказаться, что несколько тетрадей будут отнесены (присвоены) одному и тому же ученику; может оказаться, что тетрадей не хватит на учеников; но может оказаться и так. что каждая тетрадь будет присвоена одному ученику, и на каждого ученика придется одна тетрадь. В этом последнем случае говорят, что множество 31 приведено с множеством 33 в совершенное сопряжение. Такого рода процесс совершенного сопряжения представляет себой так называемое нумерование. Если мы имеем множество, состоящее, скажем, из пяти объектов, и отмечаем эти объекты нумерами 1, 2, 3, 4, 5, то процесс этот заключается в установлении совершенного сопряжения, или соответствия, между множеством наших объектов и множеством чисел 1, 2, 3, 4, 5. Такого рода процессы сопряжения, или соответствия, мы осуществляем на каждом шагу.

Положим, что некоторое общество, собравшееся для игры, состоит из двух групп одинаковой численности, и по характеру игры каждое лицо одной группы должно иметь партнера из другой группы. Чтобы это осуществилось, должно состояться соглашение, которым фактически будет установлено совершенное сопряжение между обеими группами игроков. Положим, далее, что каждым игроком ставится определенная ставка и, естественно, может состояться соглашение, по которому каждый игрок выбирает себе такого партнера, который ставит ту же ставку, что и он. Теперь с каждым участником нашей игры (с каждым элементом того и другого множества) связано некоторое число, выражающее размер его ставки. Сопряжение между обеими группами (множествами) установлено так, что эта ставка (число) остается неизменной (инвариантной) при переходе от элемента одной группы к соответствующему элементу второй группы. В математической терминологии это выражают так:

при установленном сопряжении между двумя множествами, каждый элемент имеет инвариант.

Положим теперь, для простоты, что каждая группа состоит из трех игроков: первая из игроков: А со ставкой в 5 руб., А— со ставкой в 9 руб. и А“—со ставкой в 13 руб; вторую группу составляют: В со ставкой в 2 руб., В — со ставкой в 6 руб. и В“— со ставкой в 10 руб. Составить теперь сопряжение с инвариантной ставкой, очевидно, невозможно. Положим, однако, что сопряжение состоялось. А выбрал себе партнером В, А выбрал В, а А“ выбрал В“. Элементы сопряжения в отдельности инварианта не имеют. Но если мы возьмем двух каких-нибудь игроков первой группы, А и А, А и А“ или А и А”, и составим соответствующие пары второй группы, то окажется, что разность ставок каждой пары всегда та же, что и разность ставок соответствующей пары во второй группе (она равна 4 для первой и второй пары и 8 для третьей пары). Это выражают математически так: в рассматриваемом сопряжении инвариант имеют каждые два элемента; это есть разность ставок двух игроков. Можно было бы указать примеры, когда инвариант имеют не менее чем три элемента; бывают случаи, когда инварианты имеют как одиночные элементы, так и составленные из них пары, тройки и так далее

Мы говорили до этих пор все время о совершенном сопряжении одного множества с другим. Но второе множество может иногда совпадать с первым; тогда устанавливается сопряжение многообразия с самим собой. Оно заключается в том, что каждому элементу множества мы относим в качестве соответствующего ему некоторый элемент того же множества.

Группа игроков располагается в кружок. Каждый из них по содержанию игры несет определенные обязанности по отношению к другому участнику игры. В простейшем случае этим коллегой является его сосед справа (игра так и называется „в правого соседа“). Сущность дела сводится к тому, что игра каждому участнику (каждому элементу множества) относит другого участника (другой элемент множества); этим устанавливается совершенное сопряжение группы игроков с самою собой (множества с самим собой). И в этом сопряжении возможны инварианты одного, двух или нескольких элементов.

Мы остановимся еще на одном очень важном понятии. Положим, что мы имеем некоторое множество 31. Мы в нем можем устанавливать различные сопряжения с самим собой. Эти различные сопряжения будем обозначать через S, S’, Мы можем, таким образом, говорить о совокупности сопряжений одного и того же множества с самим собой. Одна и та же группа игроков может при игре в соседи различным образом рассаживаться в кружок, и каждое такое перераспределение отводит каждому игроку другого соседа, — устанавливает другое сопряжение многообразия с самим собой. Положим, что одно из совершенных сопряжений S относит произвольному элементу А элемент А, а другое сопряжение S относит элементу А элемент А“. Теперь отнесем элементу А в качестве соответствующего элемент А“. Этим мы снова установим некоторое совершенное сопряжение многообразия с самим собой. Говорят, что это новое сопряжение составлено из сопряжений S и S, или что оно заменяет последовательное производство сопряжений S и 5. Чтобы выяснить это на примере, положим, что в некоторой игре каждый игрок получает кость; первый тур игры заключается в том, что каждый игрок А передает свою кость избранному им игроку А, причем ни одному игроку не разрешается принять кость от двух участников игры. Когда этот тур закончен, каждому игроку А соответствует (отнесен) другой игрок h, которому он передал свою кость; этим произведено сопряжение 5 множества игроков с самим собой. Далее совершается второй тур в таком же порядке, причем и теперь каждый игрок свободно выбирает партнера, которому он в этот раз передает свою кость. Этим будет осуществлено новое сопряжение S множества игроков с самим собой; в этом сопряжении игроку Л будет соответствовать игрок Л“. Кость, находившаяся в начале игры у игрока h, после второго тура перейдет к Л“. Если мы теперь каждому игроку Л в качестве соответствующего отнесем игрока Л“, получившего его кость после второго тура, то этим в множестве игроков будет вновь установл шо сопряжение, или соответствие, S“, которое заменяет последовательное производство сопряжений S и S’, или составлено из сопряжений 5 и S. Это новое сопряжение обозначают обыкновенно символом SS. Если бы каждый игрок Л получил обратно кость, которую он имел в начале игры, и сам сразу передал бы ее тому партнеру Л“, который ее получил во втором туре, то он. так сказать, непосредственно осуществил бы то сопряжение, которое заменяет последовательное производство сопряжений S и S.

В связи с этим остается выяснить еще одно понятие. Как из предыдущих примеров должно быть ясно, в каждом множестве можно устанавливать различные его сопряжения с самим собою. Пусть S2, S3,, S

будут некоторые сопряжения множества 21 с самим собой. Эту совокупность сопряжений мы обозначим через 2. Возьмем теперь два сопряжения — S,- и 5) и образуем составленное из них сопряжение S{Sj. Может оказаться, что это новое сопряжение фигурирует в совокупности Е, но может случиться, что его в этой совокупности нет. Если совокупность сопряжений Е такова, что всякое сопряжение S/Sj, составленное из двух ему принадлежащих сопряжений, также входит в ее состав, то говорят, что совокупность Е составляет группу сопряжений. Если множество 21 содержит конечное число элементов, то существует определенное число возможных сопряжений этого множества с самим собой. Совокупность всех этих сопряжений, очевидно, составляет группу. Что из т 1Й же совокупности можно выделить часть сопряжений, последовательное производство которых мож т дать сопряжения, в эту часть не входящие, — это также ясно; в самом деле, если в совокупность Е мы введем сопряжения 5 и S, но не введем сопряжения SS, то совокупность Е группы не образует.

11. Геометрические преобразования и интерпретация геометрического движения. Обратимся теперь к сопряжениям, производимым в геометрических образах. Линию, поверхность, часть пространства и все пространство мы можем рассматривать как многообразие, или множество, состоящее из точек; в таком многообразии мы можем устанавливать сопряжения его с самим собой. Для определенности остановимся на плоскости. Если мы произведем ее сопряжение с самою собой, то есть каждой ее точке отнесем некоторую другую точку в качестве соответствующей ей, то каждой фигуре будет соответствовать другая фигура, составленная из соответствующих точек. В этом смысле можно сказать, что сопряжение плоскости с самою собой преобразовывает каждую ее фигуру в другую фигуру. По этим соображениям сопряжения геометрического образа с самим собой принято называть геометрическим преобразованием.

Приведем примеры простейших геометрических преобразований. Выбрав определенную точку О {рис. 19), отнесем каждой точке А другую точку А, расположенную на луче О А таким образом, что О А=к-ОА, где к есть некоторое постоянное положительное число. Можно сказать, что это преобразование относит точке А другую точку А на луче ОА таким образом, что отношение ОА: ОА остается постоянным (равным к) если £)> 1, то точка А более удалена от О, нежели точка А если к < 1, то она ближе к О, чем А. Вследствие этогокаждая линия и каждая фигура преобразовывается в подобную линию или в подобную фигуру (например, на нашем чертеже линия AAtA2 преобразуется в ли-яшю АА А .., треугольник KLM — в подобный ему треугольник KL’M). Сообразно этому, такое преобразование называют подобным преобразованием, или просто подобием, точку О называют центром подобия, а число к—отношением подобия. Возможны различные подобные преобразования из одного и того же центра; они отличаются одно от другого значением числа к — отношения подобия. Если мы возьмем два подобных преобразования с общим центром, одно с отношением подобия к, другое с отношением /, то составле иное из них преобразование есть также подобное преобразование вокруг того же центра с отношением подобия kl это вполне понятно: если одно преобразован ие, скажем, увеличивает размеры в к раз, другое их затем увеличивает в I раз — в результате получается увеличение в kl раз. Следовательно, совокупность подобных преобразований из одного и того же центра образует группу. Но два подобных преобразования из различных центров при составлении, вообще говоря, не дают подобного преобразования, произведенного из какого-либо третьего центра; поэтому совокупность всевоз-

0

можных преобразований из различных центров не образует группы.

Рассмотрим следующее, еще более простое преобразование. На плоскости возьмем какой-либо вектор 00 (рисунок 20), то есть прямолинейный отрезок определенной величины и определенного направления. Из любой точки А проведем вектор АА, равный ОС/, то есть отрезок той же длины и того же направления. Точку А будем считать соответствующей точке А. Таким же образом точкам В, С, D, отвечают точки В, С, Каждой точке плоскости, таким образом, отвечает определенная, соответствующая ей точка—этим устанавливается преобразование плоскости. Если бы мы передвинули всю плоскость в направлении ОСУ на расстояние ОСУ, то точки А, В, С, совместились бы с соответствующими точками А, В, С,, то есть каждая точка плоскости совместилась бы с соответствующей ей точкой. Вследствие этого такое преобразование называют параллельным перенесением плоскости, а вектор ОСУ—вектором перенесения.

Рисунок 20.

Если мы выполним параллельное перенесение с вектором 00, а затем параллельное перенесение с вектором СУСУ, то это будет эквивалентно одному параллельному перенесению с вектором 00“. Все параллельные перенесения образуют группу, и смысл этого утверждения заключается в том, что два последовательных параллельных перенесения могут быть заменены одним параллельным перенесением.

Рассмотрим еще другой пример. Выберем опять произвольную точку О за центр и каждой точке А отнесем другую точку А следующим образом (рисунок 21). Из центра О проведем дугу окружности АА определенной градусной величины о> и в определенную сторону (положительную или отрицательную); конечную точку А этой дуги примем за соответствующую точке А. Таким образом, точкам В. С, D, будут соответствовать точки В, С, D’при чем дуги ВВ, СС, DD, все будут иметь ту же угловую величину ш. Легко понять, что при повороте всей плоскости вокруг точки О на угол to каждая точка М придет в соответствующую ей точку М. Поэтому самое преобразование называется вращением, или поворотом плоскости вокруг центра О на угол и>. Ясно, что поворот на угол ш и последующий за этим поворот на угол о/ эквивалентны повороту на угол ш -f- ю;

иными словами, совокупность всех вращений вокруг одного и того же центра образует группу. Замечательно, что совокупность всех вращений плоскости вокруг различных центров также представляет собою группу; мы не будем этого здесь доказывать. Нужно, однако, все же отметить, что движение есть механический процесс, а геометрическое преобразование есть математический акт — отнесение одной течки к другой.

Два последних преобразования имеют ту особенность, что каждое из них осуществляется движением—параллельным перенесением или вращением плоскости. Обратимся теперь к любому движению плоскости в самой себе. Под геометрическим движением мы разумеем нечто, отличное от механического движения в том смысле, что оно не рассматривается как процесс, происходящий во времени. Под геометриче

ским движением мы разумеем только перемещение того или иного образа из одного положения в другое. Для геометрического движения (в отличие от механического) вопрос о том, как перемещение совершалось—путь, по которому оно шло, не играет никакой роли: важны лишь начальное и конечное положения образа. Два движения различны, если они приводят какой-либо образ в два различных положения; они совпадают, если каждое из них приводит любой образ в то же положение, что и другое (осуществлять это они могли различными путями).

Как известно, положение плоскости в самой себе вполне определено, если известно положение двух ее точек. Точнее, движение плоскости в самой себе вполне определено, если известно, в какие точки оно приводит две определенные точки плоскости. Итак, положим, что некоторое движение 5 плоскости в самой себе приводит ее точки М и N в совмещение с точками М и N. Так как путь, каким это осуществлено, никакого значения не имеет, то мы предположим, что это выполненоследующим образом: сначала произведено параллельное перенесение, приводящее точку М в точку М при этом точка N пришла в точку N затем вращением вокруг точки М точка N приведена в точку N. Всякое движение плоскости в самой себе-может быть рассматриваемо как результат последовательного производства одного параллельного перенесения и одного вращения. Всякое движение плоскости в сам и себе осуществляет некоторое геометрическое преобразование, слагающееся из. двух элементарных преобразований — параллельного перенесения и вращения плоскости !). Самое существенное в этом то, что всякое движение плоскости в самой себе устанавливает геометрическое преобразование, относящее каждой точке плоскости А в качестве соответствующей ей ту точку А, в которую это движение точку А приводит. Ясно также, что совокупность всех движений плоскости в самой себе образует группу. В самом деле, если некоторое движение 5 приводит плоскость из одного ее положения в самой себе в другое, а другое движение S переводит ее из этого положения в третье, то всегда существует движение, непосредственно приводящее плоскость уз первого положения в третье, то есть заменяющее последовательное производство движений S и S. Если движение 5 совмещает некоторый образ Д на плоскости с образом р, то это означает, что образ р конгруэнтен образу р; если другое движение S совмещает образ Р с образом Р“, то это означает, что образ Р конгруэнтен образу Р“. Движение SS (составленное из движений S и S) совмещает образ Р с образом Р“, то есть устанавливает, что образ р конгруэнтен образу Р“. Иными словами, то обстоятельство, что-совокупность движений образует группу преобразований, представляет лишь иное выражение того основного в геометрии положения, что соотношения р=Р и Р=sp“ влекут за собою соотношение-sp=P“.

Мы до этих пор говорили, что движение осуществляет геометрическое преобразование. Мы скажем теперь больше; формально, в строго логической геометрии, движение только и представляет собою геометрическое преобразование; физическое или механическое движение представляет собою конкретное осуществление этого преобразования. В самом деле, в наших геометрических рассуждениях мы постоянно говорим о движении, но фактически никогда

В Можно показать, что каждое движение плоскости в самой себе может быть осуще твлено либо одним параллельным и рснесеннем,либо одним вращением. Мы не будем здесь этого рассматривать.

его не производим. Следовательно, самый механический процесс движения для нас никакого значения не имеет. Если проследить любое рассуждение, в котором мы в геометрии пользуемся движением, то будет непосредственно ясно, что нас интерес ет только одно: в какую точку это движение приводит каждую точку плоскости; иными словами, нас интересует только то геометрическое преобразование, которое осуществляется каждым движением. Реальное движение находится в таком же отношении к соответствующему ему геометрическому преобразованию, в каком физическое тело стоит к его геометрическому образу.

Итак, в формальной геометрии совокупность движений фигурирует только как группа геометрических преобразований.

Имеют ли все преобразования этой группы какие-либо инвариантые Легьо видеть, что одна точка инварианта не имеет. В самом деле, если бы такой инвариант существовал и, следовательно, имел определенное значение в каждой точке плоскости, то произвольно взятая точка М могла бы быть приведена только в такую точку плоскости М, в которой инвариант имеет то же значение. Между тем движения на плоскости таковы, что всякую точку М можно привести в любую другую точку М.

Но две точки имеют инвариант относительно группы движений; этим инвариантом служит расстояние между этими точками. В самом деле, если какое-либо движение приводит точки А и В в совмещение с точками А и В, то расстояния АВ и АВ равны между собой. Что касается трех точек, то и они имеют инвариант. В самом деле, тремя точками А, В, С определяется треугольник АВС, вершинами которого они служат; площадь этого треугольника и есть инвариант движения. Но, как известно, площадь треугольника АВС выражается через его стороны, то есть через расстояния АВ, ВС и АС. Поэтому, по существу, площадь не есть новый инвариант; это есть функция расстояний, она выражается в этих расстояниях. Можно доказать, что ни три точки, ни большее число их не имеет относительно движений независимого инварианта, т.-с. не выражающегося через расстояния между точками.

Инвариант, представляющий собою расстояние между двумя точками, имеет две особенности, на которые необходимо обратить внимание. Если, скажем, г есть инвариант како. о-либо преобразования, то и всякая функция от г явно также представляет собою инвариант того же преобразования.

Если г есть расстояние между двумя точками, то и г + а, г2, гз, ег, также суть инварианты движения. Какие же особенности отличают расстояние между двумя точками от других форм того же инвариантае Во-первых, расстояние между двумя точками обращается в нуль в том и только в том случае, если две точки совпадают. Эта особенность называется дизъюнктивностью инварианта: он производит дизъюнкцию, то есть дает критерий различения точек (две точки совпадают, если расстояние равно нулю; они различны, если расстояние отлично от нуля). Ясно, что этому удовлетворяют лишь определенные формы инварианта. Если г есть расстояние между двумя точками, то инварианты /-(- 1, ег этому требованию не удовлетворяют; но функции г2, г3 все-таки также дизъюнктивны; дизъюнктивностью, таким образом, не определяется еще форма инварианта. Есть еще одна важная особенность, которую нужно уяснить. Если А, В, С суть три точки на одной прямой (вообще говоря, на одной геодезической линии), и если АС есть наибольшее из трех расстояний АВ, ВС и АС, то АС — АВ - - ВС. Это свойство расстояния называется аддитивностью по отношению к прямой (геодезической) линии.

Мы можем теперь резюмировать результат рассуждений, приведенных здесь для выяснения формального значения геометрического движения при строго логическом построении системы геометрии, следующим образом.

Геометрические движения с формальной стороны представляют собою группу геометрических преобразований, при которых две точки имеют инвариант, допускающий дизъюнктивную и аддитивную форму (расстояние между двумя точками); других же инвариантов, не выражающихся через расстояние, не существует. Движения, как мы себе их реально представляем, с точки зрения чисто геометрической, составляют лишь одну из интерпретаций этой группы преобразований.

Эта точка зрения, по существу, была высказана Гельмгольцем в мемуаре „О фактах, лежащих в основании геометрии” в 1868 г. Но полное развитие, точную научную постановку она получила в многочисленных трудах по основаниям геометрии известного шведского математика Софуса Ли (смотрите), являюще: ося творцом той теории непрерывных групп преобразований, к которым относятся преобразования пространства, как множества точек. Все рассуждения, относящиеся к этому вопросу, были здесь для упрощения приноровлены к плоскости. Совершенно ясно, что по существу они относятся и к трехмерному пространству.

12. Движения в интерпретации евклидовой. геометрии, данной Пуанкаре. Теперь мы имеем возможность ответить на вопрос, поставленный в конце главы 9-й. Мы привели там интерпретацию евклидовой геометрии, указанную Пуанкаре, и осталось точько выяснить, что представляют собою движения в этой системе.

Мёбиус (смотрите) еще в средине прошлого столетия установил группу замечательных преобразований на плоскости, которые обладают той особенностью, что они преобразуют все окружности в окружности же. Вообще говоря, геометрическое преобразование изменяет форму кривой; но существуют особенные преобразования, которые не меняют формы тех или иных линий; к числу последних принадлежат и круговые преобразования Мёбиуса. К числу этих преобразований принадлежат, в первую очередь, все движения, не меняющие ни величины, ни формы окружностей; сюда же относятся все подобные преобразования, не меняющие формы окружностей, но изменяющие их размеры; сюда относятся также так называемые преобразования посредством обращения, или посредством обратных радиусов-векторов. Эти последние преобразования, теорию которых можно найти во многих элементарных руководствах !), иногда преобразовывают окружности в окружности же, а иногда преобразовывают их в прямые. Но мы уже упоминали при изложении интерпретации Пуанкаре, что на прямые можно смотреть как на окружности бесконечно большого радиуса; и именно при этой точке зрения, то есть при таком условном приобщении прямых к окружностям, можно утверждать, что круговые преобразования преобразуют все окружности в окружности же.

Если взять любую точку О на плоскости, то всегда существует группа круговых преобразований, которые эту точку О оставляют без изменения (то есть относят эту точку, как соответствующую, самой себе). Если мы эти соображения применим к интерпретации Пуанкаре и под точкой О будем разуметь ту точку, которую мы исключили из плоскости при построении этой интерпретации евклидовой геометрии, то группа круговых преобразований, не меняющих точки О, и представляет собой движения в этой геометрии. Мы не станем входить здесь в большие подробности, заметим только, что это приводит к черезвычайно своеобразной интерпретации евклидовой геометрии, осуществляющей последнюю полностью, без каких бы то ни

) Очень обстоятельное изложение учения о пре-образовании обратными радиусами-векторами можно найти в книге Адлера „Геометрические построения”. I

было изъятий. Так как „прямыми11 в этой геометрии служат прямые и окружности, проходящие через точку О, то „движения“, очевидно, замещают „прямые1 линии „прямыми11 же, как это обычно имеет место в геометрии.

Мы видим, таким образом, что интерпретация евклидовой геометрии, данная Пуанкаре, имеет в основе своей ту точку зрения на геометрию, которая была установлена Софусом Ли. Развитие этих идей, вернее, удачное их применение, привело германского математика Ф.Клейна (1849— 1925, см.) к черезвычайно замечательной интерпретации гиперболической геометрии, которая окончательно решила вопрос о ее логической правильности. Средствами, которыми для этого воспользовался Клейн, являлись, с одной стороны, проективные преобразования, а с другой стороны—замечательные работы английского математика А. Кели (Cayley, 1821—1895), относящиеся к теории квадратичных форм (с точки зрения алгебраической), или к теории кривых второго порядка (с точки зрения геометрической).

13. Неевклидова геометрия в интерпретации Кели - Клейна. Под проективными преобразованиями евклидова пространства разумеют такие преобразования, которые преобразуют все прямые линии вновь в прямые линии. Вообще говоря, как уже было указано выше, форма кривой при преобразовании изменяется. Но подобно тому, как преобразования Мёбиуса преобразовывают окружности в окружности, существуют преобразования, не меняющие формы прямых линий, то есть преобразовывающие все прямые в прямые же. Конечно, этим свойством обладают прежде всего движения; но о них не приходится говорить в том отношении, что движение преобразовывает все линии в конгруэнтные им линии. Вся суть в том, что помимо движений в евклидовом пространстве существует еще множество других преобразований, которые преобразуют все прямые линии в прямые же. Вот эти-то преобразования, впервые указанные Дезар-гом, носят название проективных преобразований, или коллинеаций; учение же о проективных преобразованиях составляет предмет проективной геометрии {см. XIII, 331/32, прил., 50 сл.).

Дадим здесь представление о проективном преобразовании, ограничиваясь колли-неациями на плоскости. Пусть Q будет плоскость, О—точка, вне ее лежащая {рис. 22). Выберем произвольно вспомогательную плоскость Q и точку О, лежащую вне обеих плоскостей. Пусть теперь А будет произвольная точка на плоскости Q; спроектируем ее из центра О на плоскость Q, то есть соединим точку А с точкой О и прямую ОА приведем к пересечению с плоскостью (/;

пусть А, будет точка пересечения. Теперь точку А0 спроектируем на плоскость Q из центра О, то есть проведем прямую &А0, которая в пересечении с плоскостью Q даст требуемую проекцию А. Таким образом, «сходя из точки А на плоскости Q, мы построим на той же плоскости другую точку А, которую и примем за соответствующую первой. Так как теперь каждой точке А плоскости Q будет отнесена соответствующая точка А (иногда, правда, бесконечно удаленная), то этим установлено некоторое преобразование плоскости Q. Этого рода преобразование, как легко себе уяснить, относит точкам АВС прямой точки АВС другой прям 1Й и представляет собою коллинеацию.

Это — одно из простейших проективных преобразований; но из них составляются все вообще проективные преобразования плоскости.

Не останавливаясь здесь на этом подробнее, заметим только, что существует бесчисленное множество весьма разнообразных преобразований плоскости, преобразующих прямые в прямые же. Эти преобразования, как уже сказано выше, называют коллинеациями, или проективными преобразованиями. Вся совокупность проективных преобразований плоскости образует группу.

Относительно всей группы проективных преобразований одна, две «ли три точки инварианта не имеют; но четыре точки, расположенные на одной прямой, имеют замечательный инвариант, именуемый сложным, или ангармоническим отношением этих четырех точек.

Пусть А, В, С, D будут четыре точки, расположенные на одной прямой. АС. ВС есть отношение, в котором точка С делит отрезок АВ точно так же AD:BD есть отно пение, в котором тот же отрезок делится точкой D. Частное от деления первого из этих отношений на второе называется ангармоническим отношением этих четырех точек, в этом порядке взятых, и обозначается символом (ABCD). Итак:

АС AD АС-BD /1Ч (ABCD) — вс. BD BC_AD 0)

Значение ангармонического отношения четырех коллинеарных точек изменяется с изменением порядка точек. Если, например, ангармоническое отношение (1) обозначим через 1, то

AD АС 1

Ангармоническое отношение четырех коллинеарных точек есть инвариант всякого проективного преобразования.

Но именно то обстоятельство, что в группе всех проективных преобразований две точки не имеют инварианта, а таковой имеют только четыре точки, лишает нас возможности положить всю группу проективных преобразований в основу геометриче

(ABDC) =

BD - ВС

Рисунок 22.

ской системы, то есть лишает нас возможности принять ее за группу движений. Но, как черезвычайно удачно указал Клейн, эта возможность восстанавливается, если ограничиться целесообразно выбранною частью этой группы.

В своих замечательных работах по квадратичным формам Кели показал, что всякому коническому сечению, или кривой

2-го порядка (смотрите XIII, 331/32, прил., 15, 21) отвечают проективные преобразования, не меняющие этого конического с чения. Чтобы это хорошо выяснить, ограничимся окружностью. Если в плоскости окружности произведем проективное преобразование, то оно, вообще говоря, преобразует эту окружность в некотурую другую кривую 2-го порядка. Но сушествуют такие проективные преобразования, которые преобразуют все точки этой окружности в точки, принадлежащие этой же окружности; иными словами, эти проективные преобразования не меняют окружности, как целого. Ясно, что если этой окружности не меняют ни преобразование S, ни преобразование S, то ее не меняет и преобразование SS, из них составленное. Поэтому все проективные преобразования, не меняющие этой окружности, образуют группу; такого рода группу принято называть группой Кели, а окружность (в обшем случае — коническое сечение), которую преобразования этой группы не меняют, называют абсолютом этой группы.

Итак, пусть окружность О будет абсолютом группы проективных преобразований 2. Можно показать, что каждое из этих преобразований либо замещает все внутренние точки круга О внутренними же точками, либо заменяет все внутренние точки внешними, и обратно. Выделим те преобразования, которые не меняют всего круга, то есть все внутренние точки круга преобразовывают во внутренние же его точки. Ясно, что если этим свойством обладают преобразования 5 и S, то им обладает и преобразование SS’; иными словами, те преобразования группы S, которые не меняют всего круга, также представляют собой группу; обозначим ее через а, а входящие в ее состав преобразования будем обозначать через s, s, s”. Итак, существует группа проективных преобразований, которые не изменяют данной окружности и преобразовывают точки, внутри ее лежащие, в точки, также лежащие внутри этой окружности.

Эту именно группу проективных преобразований Клейн положил в основу замечательной интерпретации неевклидовой геометрии. В этой интерпретации мы будем под „точками” разуметь те точки плоскости, которые расположены внутри нашего абсолюта. Совокупность этих „точек” (то есть вся часть плоскости, расположенная внутри круга) составит „двухмерное пространство”, или „плоскость”, в новом значении этого термина. Всякое преобразование s группы о мы будем называть „движением” в нашей „плоскости”. Фигуру 5)5 в нашей плоскости мы будем называть „конгруэнтной” фигуре sp, если существует „движение“, то есть преобразование группы о, преобразовывающее фигуру р в р. Пусть А и В будут две „точки” (рисунок 23); продолжив прямуюАВ, получим в пересечении с окружностью точки С и D (С со стороны точки В, D со стороны точки А). Под „прямой” АВ будем разуметь ту часть обыкновенной прямой АВ, которая лежит внутри абсолюта, то есть между точками С и D. Для обитателя этой „плоскости” совершенно не существует точек, лежащих за пределом абсолюта.