> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Теперь уже нетрудно перейти к действиям над дробями

Теперь уже нетрудно перейти к действиям над дробями

Теперь уже нетрудно перейти к действиям над дробями. Пусть “i/„ и “/я будут две дроби. Приведем их к общему знаменателю. Получим:

Т _ М т__М

h~N 7F—j T

Дробь

М+ М! N

(2)

мы будем называть суммой данных дробей. Здесь возникает только один вопрос. Заданные две дроби могут быть и иначе приведены к одному знаменателю. Мы можем на ряду с соотношениями (1) получить:

Т_М0 ni_ЛУ

п-N0’ п~ N0

и тогда сумма выразится дробью Л1о -j- Щ

(2).

Будет ли дробь (2) равна дроби (2)е

Легко обнаружить, что это действительно имеет место. В самом деле, из соотношений

(1) и (1) вытекает:
		м		М0		М		Щ		(3),
		N		= — и No		N		No
а потому
AfiV0		=		NM„ и		MNo		= M0N		(4).

’Складывая эти равенства почленно, получаем:

(М + M’)N0=(/И„ + M0)N (5).

Это последнее соотношение обнаруживает, что дроби (2) и (2) равны. В этом смысле данное выше определение устанавливает понятие о сумме однозначно.

Мы дали определение суммы двух дробей; но слагаемые могут иногда представлять собою целые числа. Совпадает ли тогда сумма двух дробей, устанавливаемая выражением (2), с суммой этих целых чиселе Легко видеть, что это имеет место. Если дроби т/л и “/л равны целым числам k и к, то

Т т и + л-

k k k + k,

1+т=—=

k (6).

Итак, определение суммы двух дробей установлено таким образом, что всякий раз, как дроби эти сводятся к целым числам, сумма их, вычисленная по правилу сложения дробей, равна сумме, составленной по правилу сложения целых чисел. В силу этого свойства по ;ое определение удовлетворяет т. н. закону перманентности.