> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Теперь

Теперь

Теперь, прежде всего, ясно, что, если наше множество содержит функции toi(i) и №,(/), то оно будет содержать также функции

®i(0+®2(0. ®i(0 т®2(0. ®х(0-®г(0. “yiy

последнюю в том предположении, что to2(t) не сводится тождественно к нулю. Это множество функций образует, таким образом, числовой корпус. Построенное этим путем множество Гильберт претворяет в величину. Для этого ему нужно установить соглашения, при которых он будет считать один из элементов этого множества равным другому, большим или меньшим его. Он пользуется для этого гем обстоятельством, что его функции алгебраические—рациональные или иррациональные, а потому каждая из них может обратиться в нуль лишь конечное число раз. Следовательно, при достаточно блыпих значениях независимого переменного t функция сохраняет уже определенный знак; точнее, для каждой функции нашего множества <и(/), не сводящейся тождественно к нулю, существует такое положительное число Т, что при Г> Т функция всегда имеет один и тот же знак. Если этот знак есть+, то мы будем говорить, что w(t) становится на бесконечности положительной; если этот знак есть —, то мы будем говорить, что функция становится на бесконечности отрицательной.

Пусть теперь wt) и <o2(t) будут два элемента нашего множества. Будем говорить, что (иД)=со2(0, если разность a>i(t) — w2(t) тождественно равна нулю; будем говорить, что ы>1(/) ]> w2(t), если разность <ut(/) — ш2(<) становится на бесконечности положительной, и будем говорить, что cut(<) < u>s(<), если та же разность становится на бесконечности отрицательной. Что все постулаты сравнения при этих критериях соблюдены, это никто не затруднится обнаружить.

Множество претворено, таким образом, в величину. Элементы этого множества Гильберт рассматривает как своеобразные числа; мы будем их называть гильбертовыми числами. В состав их входят и все обыкновенные действительные числа, так как они были введены в этот комплекс. Но, если мы возьмем, например, число, выражаемое функцией т, и число с выражаемое обыкновенным действительным числом, то разность г — с становится на бесконечности положительной, каково бы ни было число с. Поэтому гильбертово число т больше всякого обыкновенного числа с; это есть число трансфинитное. Совокупность гильбертовых чисел представляет собою числовой трансфинитный корпус. Причина парадоксального, на первый взгляд, обстоятельства, что мы оперируем над бесконечными числами, здесь коренится в том определении, которое мы приняли в качестве критерия сравнения чисел; при этой конвенции здесь нет ничего трансцендентального.

Располагая корпусом‘трансфинитных чисел, мы можем построить и трансфинитную геометрию. С этой целью построим аналитическое пространство (смотрите гл. 18, ст. 408/Ю), в котором точкой будут служить значения трех независимых переменных (х,у, г), произвольно выбранные из всей совокупности гильбертовых чисел. В остальном геометрия строится, как аналитическая геометрия Евклида. За расстояние между двумя точками (jq, _у, г у) и (х2, у2, z2) принимается число (вообще говоря, трансфинитное)

V(ху — х2)2 + (уу — У2)2 + (zi—zi)2 J

за прямую принимается совокупность точек, координаты которых удовлетворяют двум независимым линейным уравнениям, и так далее Если мы на оси абсцисс возьмем точки (0,0,0), (1,0,0), (2,0,0), (3,0,0), .., (л, 0,0), то расстояния между двумя последовательными точками равны 1. Расстояние точки (л, 0,0) от начала координат равно л. Между тем расстояние точки (г, 0,0), также лежащей на оси абсцисс, от начала координат равно г и, следовательно, больше любого расстояния л, выражающегося обыкновенным положительным числом. Откладывая по оси абсцисс от начала координат последовательно равные отрезки, имеющие единицу длины, мы никогда не достигнем точки (г, 0,0), лежащей на той же оси. Принцип Архимеда, таким образом, в этой геометриине имеет места. Гильберт и построил эту геометрию, чтобы обнаружить возможность неархимедовой геометрии и, следовательно, независимость постулата Архимеда. Великий эллинский геометр был прав, когда внес это положение в число недоказываемых принципов геометрии. Так арифметика и геометрия помогают друг другу в разрешении этих трудных вопросов.

31. Математика и логика. В предыдущих главах изложен ход эволюции учения о Т. о. м. В своем современном виде учение это, как мы старались его осветить, основано на следующих принципах.

Математика, как научная система, в конечном своем построении, во всех своих разветвлениях представляет собою формальную науку, строго логически развивающуюся из основных положений — определений и постулатов. Эти определения представляют собой чистые соглашения, присваивающие определенным символам (терминам, понятиям) те или иные, нами устанавливаемые, значения. К определениям присоединяются постулаты, отличающие категории объектов, которые мы желаем изучать,от других категорий, также удовлетворяющих определениям, но оставляемых нами в стороне.

В выборе наиболее целесообразных определений и постулатов, то есть таких, которые приведут к формальной системе, способной целесообразно выражать соотношения между объектами внешнего мира, нами руководит опыт; в этом — эмпирический источник математического познания. Но соглашения все же остаются конвенциями; поэтому характер математического познания конвенциональный.

Все исходные положения каждой математической дисциплины должны быть совместны, то есть не должны заключать внутреннего противоречия. Они должны быть независимы, то есть ни одно из них не должно быть следствием остальных. Из этих положений путем строгой логической дедукции разматывается весь математический материал. Определения, как мы указывали в своем месте, должны сводить математические понятия к другим основным понятиям, лежащим за пределами математики.

Из всего этого видно, какая сложная задача возлагается на логику. Она должна установить отсутствие противоречий в принятой системе основных положений; она должна руководить каждым шагом в процессе умозаключения; она должна снабдить математику теми общими понятиями, к которым основные определения сводят математические понятия (смотрите математика).

К этому присоединяется еще один, и притом основной, вопрос. При доказательстве совместности и независимости исходных положений геометрии, как мы видели (гл. 18), опорной базой служит арифметика. Для самой арифметики этой базой должна служить логика. Спрашивается, стоит ли логика на высоте этих заданийе Как известно, дедуктивная логика, построенная Аристотелем, глубокого усовершенствования до XIX в не получила. В состоянии ли она справиться с трудной задачей, на нее возлагаемой учением о Т. о. м.е

Фреге, невидимому, первый решительно ответил отрицательно на этот вопрос. Конечно, как всегда, Фреге имел своих предшественников. Его идеи можно найти у Лейбница, у Бернулли; они получили уже значительное развитие в замечательном сочинении Буля „Исследование о законах мышления”. Но твердым и решительным новатором явился Фреге. За ним последовала итальянская школа: Пеано, Падуа, Вайлати, Бурали-Форти и Пиери, наконец, германская — Шредер, Штольц и английская — Уайтхед и Рессель.

По воззрениям этих ученых, логический вывод, как мы его производим, прежде всего не дает гарантий безупречности потому, что он осуществляется словами, содержащими уже привходящие идеи. В этом обилии слов тонет строго логический вывод, как геометрический вывод тонет в интуиции, привносимой чертежом. Чтобы устранить этот коренной дефект, надо там, где вывод должен быть совершенным, оградить самый язык от злоупотребления понятиями, в основные положения не входящими. Для этой цели Фреге, а за ним итальянская школа—вводят своеобразный язык и начертания, существенно отличающиеся от наших. „Идеография“ Фреге и Пеано создает символы, выражающие письменно не звуки (как наши буквы), а понятия — идеи. В цепи заключений вследствие этого фигурируют только те понятия, которые получили символическое выражение; этим устраняется привнесение чуждых понятий. Далее, надо установить алгорифм, по которому из суждений, в этом своеобразном символическом начертании выраженных, можно было бы делать логические выводы. Анализ этой задачи обнаружил, что основы логики для этой цели должны быть значительно углублены. Логике суждений должны быть предпосланы логика классов и логика отношений. Эти учения, в свою очередь, оказались далеко не простыми и в своем развитии потребовали методов, очень близких математическому алгорифму. Математика, таким образом, срослась с логикой в одно целое, и самая система логики в последние десятилетия стала предметом исследования математиков. Здесь развернулись вопросы большой трудности. По воззрениям школы ма

Тематической логики, строгая аксиоматика невозможна ни в какой дисциплине без аксиоматики самой логики. Во главе этого направления стоит в настоящее время выдающийся математик Давид Гильберт.

Нужно, однако, сказать, что это направление имеет и своих решительных противников К числу их принадлежал А. Пуанкаре. При всей своей склонности к конвенционализму, он считал, что „логистики” слишком отвлекают математическую мысль в чуждую область, — что созданный ими алгорифм требует огромного труда для усвоения, и он не видел гарантии в том, что в этих сложных построениях нет новых погрешностей, новых трудностей. Эту точку зрения настойчиво поддерживал в Германии Стюди. В последнее время выдвинуто также возражение, что все вообще миросозерцание Гильберта является идеалистическим. Однако, не решая здесь вопроса о том, каково общее мировоззрение Гильберта, можно с уверенностью утверждать, что построенное им учение об аксиоматике арифметики и логики ничего общего с идеализмом не имеет. Сомнения и трудности, стоящие на этом пути, лежат в другой плоскости. Логики утверждают, что они создали целый новый мир математических построений, что им принадлежит будущее. Гильберт находит, что вне обоснования логики невозможна никакая аксиоматика. Их противники, люди самого различного миросозерцания, утверждают, что нельзя строить логики, опираясь на самое логику. И это тем серьезнее, что с разных же точек зрения подвергнуты сомнению основные формы классической логики (Шатуновский, Брауэр).

32. Итак, в конечном своем построении, вернее, в стадии известного завершения каждого отдела, математика представляет собою формальную систему. С наибольшей определенностью это относится к тем математическим дисциплинам, которые сложились в особенно устойчивые формы, как арифметика, элементарная геометрия и тому подобное. Но как осуществляется самое математическое творчествое Какими путями идет эволюция математических наук и математических идейе На том, что в этой стадии, в процессе творчества, математические дисциплины развертываются формально, на этом не стоит никто. Каковы же иные пути и методы, которыми осуществляется в математике научное творчествое Кант и его школа стоят на той точке зрения, что здесь руководящую роль играет „внутреннее воззрение” (Anschatiung); школа Милля и здесь видит руководящее начало только в чистом эмпиризме; Пуанкаре приписывает эту роль „интуиции”. С подъемом марксистского миросозерцания в СССР выдвигаются на первый план диалектические методы.

Вряд ли может подлежать сомнению, что диалектическая логика играет коренную роль и в процессе математического творчества. Но четкое установление этой роли, выяснение ее соотношения с формальной логикой — это еще задача большой трудности. Наиболее распространенное воззрение на размежевание формальных и диалектических методов в математическом творчестве заключается в том, что формальные методы преобладают в отдельных предложениях, а диалектические — в процессе конструирования математической дисциплины, как целого. Но и доказательство каждого более или менее значительного предложения часто имеет сложное строение, разбивается на значительные части; и в отношении каждого предложения возникают те же вопросы, что и по отношению к целому. Установить здесь границы, отделяющие одни логические приемы от других, тем более трудно, что все эти различные приемы в процессе активной творческой мысли постоянно переплетаются. В этом вопросе мы стоим еще перед задачей текущего дня, которая ждет своего разрешения.

Литература. I. Общая. Н. Weber и. J. Wellstein, „Enzyklopfidie der Elementarmathematik“, I—III, Leipz., 1903—07, 3 изд.—1915 (есть русск. пер. двух томов —Г. Вебер и И. Велыитейн, „Энциклопедия элементарной математики“: I—„Арифметика и алгебра“, Одесса, 1907; II—„Основания геометрии“, Одесса, 1910; первая часть I т. переиздана в 1927 г., М.); F. Klein, „Elementarmathematik vom hoheren Standpunkt aus“, литографиров. изд., 1908—09, 3-ье, посмертн. изд.—3 т., 1924—26 (первая часть перев. на русск. яз.—„Вопросы элементарной и высшей математики“, Одесса, 1912); F. Enriques, „Question! riguardanti la geometria elementare“, 1900 (русск. иер.—„Вопросы элементарной геометрии14, СПБ., 1913); Н. Poincare, „Science et hypotheses 1903 (русск. пер.—„Наука и гипотеза“, М., 1904); Н. Poincare, „Science et mlthode (русск. пер.—„Наука и метод“); Р. Enriques, „Les concepts fondamentaux de la science“, P., 1919; /.. Couturat, „Les principes des mathdmatiques“, P., 1905 (русск. пер. П. С. Юшкевича—„Философские принципы математики“, СПБ, 1913); Н. Weyl, „Die heutige Erkentnisstheorie in

| der Mathematik“, Erlangen. 1926; H. Weyl, „Philo- sophie der Mathemalik und Naturwissenschaften“, Mfinchen u. Berlin, 1926; Baldus, „Vorlesungen fiber die Entwickelung der MathemailkS P. Klein, „Vorle-sungen fiber die Entwickelung der Mathematik im XIX Jahrhundert“, Berl., 1—1926, 11-1927; Hdlder, „Mathematische Methode“, Berl., 1927; Os. Becker, „Mathematische Existenz“, Leipz., 1925.—II. Основания арифметики. //. Grassmann, „Lehr-buch der Arithmetik“ Berl., 1861; R. Dedekind, „Was sind und was sollen die Zahlen“, Braunschweig, 1888; R. Dedekind, „Stetigkeit und irrationale Zahlen“, Braunschweig, 1872 (русск. пер.—„Непрерывность и иррациональные числа“, Одесса, под рсд. С. О Ша-туновского, 4 изд., 1923); О. Stoiz, „Vorlesungen fiber allgemeine Arithmetik“, Leipz., 1885; C. Edr-ber, „Arithmetik“, Leipz., 1911 (есть русск. пер.); M. С. Волков, „Эволюция понятия о числе“, 1899; Holder, „Die Arithmetik in strengen Be-grfindung“, Leipz., 1914; E. Husserl, „Philosophic der Mathematik“, Halle, 1891; B. Russel, „Introduction to mathematical philosophy“, 1919 (есть нем. пер.—„Einffihrung in die mathematische Philosophic“, Berl., 1923).—III. Основания геометрии. В. Ф. Каган, „Основания геометрии, ч. I Одесса, 1905, ч. II —Одесса, 1907 (содержит историко-литературн. указания); W. Killing, „Einffihrung in die Grundlagen der Geometric“, 2 t.. Paderborn, 1893— 98; B. Russel, „Foundations of geometry“ (есть франц. пер.); С. А. Богомолов, „Основания геометрии“, М., 1923; Р. Klein, „Ver-gleichende Betrachtungen fiber neuere geometrische rorschungen“, Erlangen, 1872; В. Ф. Каган, „Очерк геометрической системы Лобачевского“, Одесса, 1900; /А Uebman, „Nichteuklidische Geometries Leipz., 1905; Р. Schur, „Die Grundlagen der Geometries Leipz., 1909; Бонола, „Неевклидова геометрия“ (пер. с итальянск., СПБ., 1910); J. Соо-lidge, „The elements of noneuclidean geometry“, Oxford, 1909; M. Simon, „Nichteuklidische Geometric“, Leipz., 1926; P. Klein, „Nichteuklidische Geometries 1927 (первое изд. было в литографир. виде); D. Hilbert, „Die Grundlagen der Geometries 1899 (4 изд.—1913; русск. пер. А. В. Васильева—„Основания геометрии“, П., 1923); L. Eisenhart, „Rieman-nian GeometryS Princeton, 1926; L. Eisenhart. „Non-riemannian Geometry“, Princeton, 1927.—IV. У ч e-ние о множествах. В. Bolzano, „Parado-xien des Unendlichen“, 1851 (2 изд.—1890; русск. пер.—„Парадоксы бесконечного“, Одесса, 1911); A. Fraenkel, „Einleitung in die MengenlehreS 2-e Aufl., Berl., .1923; /“. Hausdorff, „Grundzfige der Men-genlehre“, Leipz., 1914; H. Weyl, „Das Kontinuum“, 1918.—V. Математика и и о г и к a. G. Frege, „Grundlagen der Arithmetik“, Breslau, 1884; В. Russel (вместе c A. Whitehead), „Principia Mathematica“, I—III, 1910; D. Hilbert, „Neubegrfindung der Mathematik“, Hamburg, 1922; H. Weyl, „Ueber die neue Grundlagenkrise der Mathemati“, Mathem. Zeit-

schrift, 1921. в Каган.

явила искупителем человечества Робеспьера. Враги диктатора, играя на его теократических тенденциях, вскоре после праздника Высшего Существа потребовали в конвенте преследования Т. и ее сторонников, раздули дело

0 „заговоре1’, объявили Т. орудием Питта, а ее деятельность — клерикальной и контрреволюционной интригой, недвусмысленно припутывая сюда и Робеспьера. Т. и „теотистьГ были арестованы; разразившееся 9-е термидора заставило временно забыть о них; позднее их выпустили; но сама Т. уже умерла в заключении 1 сент. 1794 г. См. Mat/uez,., L’Affaire Catherine Theot“,1907.