> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Термины контра- и когредиентный заменяются часто соответственно термпнами ко- и контраваргшптный
Термины контра- и когредиентный заменяются часто соответственно термпнами ко- и контраваргшптный
Термины контра- и когредиентный заменяются часто соответственно термпнами ко- и контраваргшптный
Самый простой пример когредпентпого тензора первого ранга мы имеем в трех бесконечно малых приращениях трех координат:
<tei==2:pdxai).
з OXg
Пример коптрагродпептного тепзора первого раита имеем в так паз. градиенте; в самом деле, если гр—какая-нибудь функция координат, то градиентом ее по определению будет тройка чисел
dip dip dtp
dxi ’ dx2 ’ dxз ’
которая преобразуется в тройкудХ=2д, г=1, 2, 3,
day дх3 dxi
—. дх, дхк,
_ V- J АI
‘ t,t dxi dxt
То такпо девятки чисел получают название-тензоров второго ранга, со специальным добавлением когредиептного в нервом случае, контрагредиептного во втором и смешанного в третьем. Значки, поставленные справа наверху и внизу, показывают совершенно однозначно закон преобразования-компонент тензоров.
Данное определение легко обобщается для тензора любого ранга.
А.чебра тензоров. Получение повых тензоров посредством сложения, вычитания и умножения между собою различными способами компонент заданных тспзоров составляет так называемую алгебру тензоров. Новые тензора могут быть как болео высоких, так и более низких рапгов, чем исходные тепзора. Мы приведем здесь несколько примеров таких образований.
Пусть имеем тензоргде
А1“1
тj, wig,, т
p + q=я;
) Когредирнтпый тензор dxit dx2, dr3t в впде единственною исключения из общего правила, часто обозначается со значками внизу, то есть пишется dxj, а пе dx как следовало бы но общему правилу.
этот тспзор имеет ранг и оп когредиситок в зпачках lv и контрагреднеитеш в значках ту т, .. .. mq.
Легко можно доказать теорему, что еслиг,/»,,“ь «1,
wij,..ntq и lit h> Pi »Pt>
; два тепзора рангов p -f- q=n n
+ M + V=Л TO
j 1) при q — s‘,p — t U — V=О
s_b4 +
h, It, Ip- »i, “r
A1“
«#t, mit. . .1T q
в
mj, mit m
- - Ф
rr
будет скаларом; 2) при q > s p ]> t
|
/„ г., |
у |
A |
|
JP |
вт,“т-1» > 1 |
«I, .. .cty | |||||||||
|
If. |
mit wif., |
™8 |
Ill j, mj, |
“q |
U Pi» Pi P® | ||||||||||
|
= С |
1р-wq - |
t+i, ip 8 +1 wq |
— t + 8» ‘ — 8 + 2» |
ip. «i, ’“q, Pi, |
«. P» |
au Pr ’ |
(6) | ||||||||