> Энциклопедический словарь Гранат, страница > То[ +

То[ +

То[(а, Ь) + (а, Ь)) + (а“, Ь“) =, (а, /;) +

+ [(«. Ь)+{а“, (,”)}

-Закон сочетательности остается, следовательно, в силе.

Разность двух комплексных чисел, в ее обычном определении, всегда существует и однозначно -определяется соотношением:

(а, Ь) — (а, Ь)=(а — а, b — Ь) (3),

ибо, согласно определению суммы двух комплексных чисел:

(а — а, b — V) + (а, V)=(а, Ь).

В определении умножения двух комплексных чисел лежит центр тяжести их значения. Произведение двух комплексных чисел определяется равенством:

(а, Ь).(а Ь)=(аа— bb, ab- -a’b) (4);

иными словами, под произведением двух комплексных чисел (а, а) и (b, Ь) мы разумеем комплексное число, первой компонентой которого служит число аа — bb, а второй—число ab + аЬ. При всей своеобразности этого определения, оно все же приводит к тому, что все формальные преобразования произведения сохраняют свою силу. Так, например, достаточно посмотреть на правую часть последнего равенства, чтобы убедиться, что она не меняется, когда мы переставим сомножители левой части равенства. Чтобы обнаружить, что законы сочетательности и переместительности остаются в силе, необходимо выполнить некоторые весьма несложные вычисления.

Наконец, деление комплексных чисел определяется однозначно в тех случаях, когда делитель отличен от нуля.

Мы получаем, таким образом, вновь расширенную область чисел, в состав которой действительные числа входят как частный случай; именно, к действительным числам, как мы установили выше особым соглашением, принадлежат те, и только те, комплексные числа, вторые компоненты которых равны нулю. Если два комплексных числа сводятся к действительным числам, то их сумма, разность, произведение и частное совпадают с суммой, разностью, произведением и частным тех же чисел, как они установлены арифметикой действительных чисел. Так, равенства (2) — (4) в этом случае дают:

a -J- а — (а, 0) + (а, 0)=(а + а’, 0) =

= а + аа — α= (а, 0) — (я, 0)=(а — а, 0)== а — яа. а — (а, 0). (а, 0)=(аа, 0)=аа.

Новые определения строго следуют закону перманентности. Но в этой расширенной числовой области получают осуществление операции, которые в области вещественных чисел невыполнимы. Это легко обнаружить.

Число (1, 0), по установленному выше соглашению, есть действительная единица (1). Комплексное число (0,1) обозначим через I:

(0, 1)=/ (5),

его часто называют мнимой единицей.

Если теперь, следуя определению (4), вычислим произведение i. i, то получим:

i.i=P=(0,1). (0,1)=(- 1,0)=—1 (6).

Итак, комплексное число (0, 1), обозначенное нами через /, в силу установленного выше определения произведения, обладает тем свойством, что Р =—1. Извлечение квадратного корня из отрицательной 1 становится возможным: именно, числа i и — i то есть (0, 1) и (0,—1) являются двумя корнями квадратными из —1. Вместе с тем квадратные корни из любого действительного отрицательного числа —а выражаются комплексными числами iVа и — iVа, то есть числами (0, Уа), (0, — Уа).

Мало того, в области комплексных чисел оказывается выполнимым извлечение корня любой степени из любого числа. Еще более: в этой области всякое алгебраическое уравнение п-ой степени, каковы быни были его коэффициенты, имеет и корней. Только благодаря этому свойству алгебра комплексной области отличается такой цельностью и стройностью.