> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Торговые фирмы часто устанавливают между собой краткие условные знаки для своих сообщений

Торговые фирмы часто устанавливают между собой краткие условные знаки для своих сообщений

Торговые фирмы часто устанавливают между собой краткие условные знаки для своих сообщений. Чем руководятся они при выборе этих соглашенийе Конечно, со знанием того, что им при этих сношениях чаще всего приходится друг другу передавать— опытом. Но этот язык все-таки остается условным, и говорить, что он связан с природой торговли, совершенно лишено смысла. Нечто подобное мы имеем и в математике. Встречая постоянную нужду для выражения известных соотношений между внешними предметами, относящихся к их количеству и размерам, человек постепенно выработал известную схему, с помощью которой он с значительным успехом эти соотношения выражает. Чем тоньше становятся соотношения, которые он должен выражать, тем детальнее и разнообразнее развивается подобранная для этого система. Наше сравнение, конечно, грубое; оно может служить тольконекоторою иллюстрацией для уяснения глубокого замысла конвенционалистов.

Эта точка зрения, в основе которой лежит соглашение—конвенция, получила на“ именование конвенционализма. Ее родоначальниками нужно считать Г. Гроссмана, Фреге в Германии, Пеано и Пиери в Италии. Мастер слова Пуанкаре выражает эту точку зрения в следующих выражениях: „Многие гипотезы только кажутся таковыми, а в действительности сводятся к определениям и чистым соглашениям. Гипотезы этого рода в тречаются особенно часто в математике и в смежных с ней дисциплинах. Именно отсюда и проистекает строгая точность этих наук; эти соглашения представляют собой продукт свободного творчества нашего духа, который в этой области не знает преград. В этой области наша мысль может настойчиво проявить свою силу, ибо здесь она повелевает. Спросим себя, однако, произвольны ли эти повеления или нете Конечно, нет, ибо иначе они были бы бесплодны. Опыт предоставляет нам свободный выбор посылок, но он нами руков дит. помогая нам избрать наиболее удобный путь“. Пуанкаре—не выдержанный мыслитель, и воззрения его часто сбивчивы. Но здесь он точно выражает точку зрения, признанную в настоящее время едва ли не всеми математиками, которые этими вопросами серьезно занимались. Вся математика, несомненно, представляет собою ряд соглашений, подобранных для выражения определенных реальных соотношений; при выборе этих соглашений нами руководит опыт; учение об априорности сделалось достоянием истории.

18. Геометрия и арифметика. Возвратимся теперь к вопросу об основаниях геометрии. Мы выяснили выше, каким образом было обнаружено, что неевклидова геометрия не содержит внутренних противоречий. Как мы видели, это было достигнуто тем, что была найдена интерпретация, в полной мере осуществляющая неевклидову геометрию. Однако, все эти интерпретация представляют собой геометрические комбинации в области евклидовой геометрии. Так, интерпретация, принадлежащая Кели и Клейну, как мы видели, имеет в своем основании совокупность точек, лежащих внутри конического сечения, в простейшем случае—внутри окружности. Иными словами, в клейновой интерпретации двухмерной гиперболической геометрии многообразием, осуществляющим это пространство, служит совокупность точек евклидовой плоскости, расположенной внутри окружности; движениями служат проективные преобразования евклидовой плоскости, оставляющие окружность (абсолют) без изменения. Таким образом, интерпретация неевклидовой геометрии осуществляется в пределах евклидова пространства. Доказательная сила все- о рассуждения коренится, таким образом, в непреложности евклидовой геометрии Но, согласно принципам, нами установленным, в основе всякой геометрии должна лежать система посылок (постулатов), не содержащая внутренних пр хиворечий. Откуда же может быть почерпнута уверенность, что посылки, лежащие внутри евклидовой геометрии, не содержат противоречияе Интерпретация посылок, которая должна быть для этой цели создана, уже не может быть заимствована из евклидовой геометрии; иначе мы очутилась бы в ложном круге. Но какой же иной материал, который не вызывал бы сомнений, мы имеем для построения такой интеретации евклидовой геометриие

Мы обратимся для этой цели к аналитической геометрии. Пусть х, у, z будут ортогональные декартовы координаты точки. Квадрат расстояния между двумя точками (1, Уи zi) и (х2> У2 2г)| как известно, выражается формулой:

= (i — 2)2 + (Л —У2)2 + (г1 — 2г)2 (!)

Теперь посмотрим, как выразятся аналитически движения евклидова пространства. Пусть S будет какое-либо из этих движений. Оно приводит произвольную точку х, V, г в точку х, У, z; ясно, что координаты х, у, z должны быть функциями от х, у, z:

х=£(х,у, z),у=т/(х,у, z), (х,у, г) (2).

Функции эти должны удовлетворять следующим двум условиям: во-первых, уравнения (2) должны выражать совершенное преобразование, то есть каждой системе значений х,у, z должна от ечать одна и только одна система значений переменных х, у, z, и обратно; во-вторых, они должны представлять коллинеацию, то есть они должны преобразовывать прямые линии в прямые линии; выражаясь ана штически, они должны преобразовывать линейные уравнения в линейные же уравнения. Этим двум требованиям без каких бы то ни было изъятий уравнения (2) могут удовлетворять только в том случае, когда правые их части представляют собою целые линейные функции. Иными словами, уравнения эти должны иметь вид:

х=ltX + ГП У + nLz +

У=kx + т1У + n2z + 2 (3).

z=I3X + m3y 4- n3z 4- k3

С другой стороны, эти преобразования должны оставлять инвариантным выражение (1), так как расстояние остается придвижении без изменения. Но соотношения (3) дают:

(i ~+ (У{ -У2е + (г-ZjF=:—L(x [ — x2)2-j-M(yl — у2)2 + N (zt—z2)2-f-+2P(yl—y2) (zL — z2)

+ 2 О (Zj — г2) {х1 — х2) -(-+ 2R(xl — x2)(yl — у2) (4),

где

L=/,2 + /22 + /32

М= + т22 -(- т32

N — п12 + л22 + п3~

Р=т1п1 -+ т2п2 + т3п3

О — nih 4~ пгЬ + nih R — 11 ”1“ 22 4“ >зЩ-

Для того, чтобы правая часть равенства (4) совпадала с выражением (1) при всех значениях координат, необходимо и достаточно, чтобы:

L=M=K—l и P=Qz=R~ О,

Т.-е., чтобы:

42 4- /г 4“ Ат — 1 т{- 4- от2» 4- т3-=1 пе 4- У 4- п/=1 (5).

hmi 4- hnl2 4~ 1зт. — 0

-f- т2п2 4- т3п3=0

nih 4- hh 4“ n:i!3=0

Итак, движения в евклидовом пространстве суть преобразования, которые в ортогональных декартовых координатах выражаются уравнениями (3). В преобразования (3) входит 12 постоянных (параметров), обозначенных буквами /, т, и, к с индексами 1, 2, 3, но эти параметры связаны б уравнениями (5), и, следовательно, произвольных параметров остается 6. Это является аналитическим выражением того, что движения в трехмерном евклидовом пространстве имеют 6 степеней свободы.

Сделаем еще один шаг дальше. Числа а-, у, z суть координаты точки в евклидовом пространстве. Мы теперь согласимся, что под „точкой“ будем разуметь просто совокупность трех чисел х, у, z, или, иначе, совокупность значений трех независимых переменных х, у, z Выражаясь короче, мы .точкой“ будем называть числовой тр.шлет. Совокупность всех возможных „точек“, то есть всевозможных числовых триплетов, составит то многообразие, в котором мы установим геометрию и этим претворим его в „пространство“. Это будет достигнуто, если мы установим в этом многообразии движения и расстояния между его .точками“. С этой целью согласимся иод „расстоянием“ между двумя „точками“ (xt, у у, Z]) и (х2, y2i Zo) разуметь число, выражаемое формулой (1). Под „движениями“ будем разуметь преобразования числовых триплетов, выраженные уравнениями (3), в которых параметры связаны соотношениями (5). Пространство, в которое мы этим путем превратили наше численное многообразие, облачает геометрией Евклида.

Мы, таким образом, пришли к своеобразным пространствам, в которых „точками11 служат комбинации чисел; этого рода пространства называют аналитическими, или арифметическими. Имеющие в них место соотношения устанавливаются арифметическим или алгебраическим путем; они имеют поэтому ту достоверность, какую имеет арифметика и ее развитие — алгебра, анализ. Логическая правильность евклидовой, да и всякой другой геометрии устанавливается арифмети ой и анализом; геометрия имеет ту достоверность, какую имеет арифметика. Во всей литературе все доказательства логической совместности постулатов и их независимости всегда без исключения устанавливаются средствами арифметики и анализа. Геометрия удостоверение в логической правильности черпает в арифметике. Учение об основаниях геометрии этим исчерпывается; все вопросы, которые с этим связаны, переносят нас в область арифметики и анализа. Трудно сказать, кто из двух родных сестер — геометрии и арифметики—старше; но в деле своего логического самоопределения геометрия опирается на арифметику.

19. Обоснование арифметики и догматический подход к Т. о. м. Счет несомненно предшествовал созданию геометрических понятий. Но значительное развитие арифметика получила гораздо позже, нежели геометрия (смотрите арифметика). Причина этого коренилась в крайней сложности систем нумерации, которыми пользовались все древние народы. В непрерывных поисках лучших средств счета, в стремлении справиться с практическими задачами, стоявшими перед арифметикой, в борьбе абаци-стов и алгорнфмиков (смотрите арифметика, 111, 453) вопросы логического обоснования арифметики стушевались. Арифметика не имела своего Евклида; на это звание не могут претендовать ни Эратосфен, ни Никомах, ни арабские алгебраисты, ни Леонард Пизанский, ни Лука Пачиоли. Учение о делимости целых чисел есть единственный вопрос, который получил в древности теоретическую разработку и притом в тех же „Началах“ Евклида, в геометрической форме. Самая задача о логическом обосновании начал арифметики имеет очень позднее происхождение. Все руководства по арифметике носили на себе отпечаток книги Луки Пачиоли и имели практический характер. Но в XIX в вопрос об обосновании арифметики черезвычайно занял внимание математиков и притом с двух точек зрения.

Во первых, к этому привели замечательные изыскания в области основ геометрии, которые мы изложили выше. Замечательные результаты логического и гноселогического характера, которые этими изысканиями были достигнуты, с одной стороны, естественно, вызывали интерес к тому, как решаются те же вопросы в области арифметики,— а с другой стороны, как мы видим, они непосредственно уперлись в арифметику. Во-вторых, к тем же вопросам привели также задачи анализа чисто фактического, можно сказать, догматического характера.

Как известно, со второй половины XVII ст. начинается необычайный подъем в области математики и точного знания вообще. Идеи Декарта к этому времени уже успели получить полное развитие, а Лейбниц и Ньютон в эту пору заложили основы исчисления бесконечно-малых (смотрите). Необычайно обильный запас новых средств математического исследования, который таился в идеях Лейбница и Ньютона, быстро разросся в мощное здание математического анализа. Труды братьев Бернулли, Тэйлора, Стирлинга, Маклорена, Эйлера, Лагранжа, Лапласа, Монжа, Лежандра, наконец, Коши, Гаусса и Якоби—дали такие средства математического исследования, по сравнению с которыми творения древних геометров казались детским лепетом. Но, как это часто бывает, сильный взмах научной волны выбросил много нового материала, недостаточно проверенного, недостаточно установленного. Более того, углубленное исследование стало обнаруживать прямые ошибки в трудах первоклассных геометров. Многие результаты, представлявшиеся бесспорными, оказались справедливыми только в известных пределах; от других пришлось и вовсе отказаться. Самый метод бесконечно-малых по своим особенностям представляет много искушений для поспешных выводов. Он требует очень тщательного обоснования, чтобы его выводы действительно были безукоризненными; вне этого условия он иногда приводит к нелепым результатам. Это обстоятельство порождало в первые десятилетия непримиримых врагов нового исчисления, в числе которых были такие выдающиеся математики, как Каталан и Ролль. Позднее, когда анализ развернулся, никто не мог огульно отрицать его значения; но тем сильнее становилась тенденция подвергнуть новые методы тщательной критике и так их обработать, чтобы поставить анализ бесконечно малых на совершенно твердые основания. Коши и Гаусс были уже видными представителями этих тенденций, Вейерштрасс дал этим требованиям яркое выражение. Но основы анализа, как обнаружено тщательными исследованиями, коренятся глубоко в началах арифметики,

и выполнение задач, поставленных Коши, Гауссом и Вейерштрассом, требует разработки теоретических оснований арифметики.

На ряду с анализом бесконечно-малых была еще одна дисциплина, правильная постановка которой настоятельно требовала выяснения основоначал арифметики: это было учение о комплексных числах. Самый термин „комплексное число“ был введен Гауссом только в 1813 г., а утвердился гораздо позже. Господствовал термин мнимое число”, который не вышел из употребления еще и по этой день. Между тем эта точка зрения на комплексные числа, как на „мнимые”, несуществующие числа, служила источником неисчислимых споров, сомнений и ошибок. Чтобы пролить полный свет и на это орудие математического исследования, нужно было дать себе отчет в том, что такое число вообще. Чтобы дать строго научное построение теории комплексных чисел, необходимо было сначала выяснить теоретические основания арифметики „действительных” чисел, как их называют, следуя той же неудачной терминологии. Не мало трудностей представило и обоснование учения об иррациональности и даже обоснование отрицательных чисел. Вся история алгебры проникнута стремлением рассеять туман, окружавший все эти основные орудия математического исследования. Эту задачу выполнили Грасс-ман, Шредер, Гамильтон, Дедекинд, Кантор и др.

20. Арифметика Гроссмана. В арифметике интуиция играла еще большую роль, нежели в геометрии. Здесь формальное обоснование дисциплины даже не намечалось, пока настоятельная потребность в этом не была выдвинута развитием анализа Первые твердые шаги в этом направлении были сделаны Германом Гроссманом (смотрите).

В 1844 г. вышло его „Учение о линейном протяжении- („Dielineare Ausdehnungs-lehre”). Идеи этого замечательного сочинения в его первоначальном виде (в 1862 г. он выпустил совершенно переработанное издание того же сочинения) весьма расплывчаты; но, по существу, в них заложены основы конвенционалистического мировоззрения и формального обоснования математики. Сочинение начинается вступлением, определяющим весь его характер Мы приводили уже выше (ст. 406) эти вводные слова. С той же точки зрения Грассман в другом сочинении, „Учебник арифметики” (1861), подходит к началам арифметики. Книга содержит обоснование учения о целых и дробных числах; однако, наиболее ценным является учение о целых числах, не только сохранившееся до этих пор, но являющееся наиболее прочным обоснованием арифметики.

В основе грассмановой арифметики лежит натуральный ряд, то есть ряд терминов (слов), символов (знаков), следующих друг за другом в определенном порядке в том смысле, что каждому члену этого ряда всегда соответствует определенный последующий член, и каждому члену, кроме начального, соответствует определенный предшествующий член; член натурального ряда, следующий за членом а, будем обозначать через а. Существенно важное значение при этом имеют два обстоятельства: во-первых, ряд должен быть неограниченным, то есть за каждым членом всегда должен следовать некоторый член; во-вторых, все члены ряда должны быть различны, ни один из них не может повториться. Элементы, или члены такого ряда мы и будем рассматривать как числа (целые числа); точнее: под числами (мы будем пока иметь в виду только целые числа) мы будем разуметь члены натурального ряда. Начальный член натурального ряда будем обозначать символом 0, следующий символом 1; для каждого члена натурального ряда должно быть установлено наименование и обозначение; допустим, что это возможно сделать и что это осуществлено.

В элементарной математике мы встречались с приемом доказательства, известным под названием совершенной индукции. Чтобы доказать закон составления подходящих дробей непрерывной дроби, показывают, что закон этот справедлив, для второй, для третьей дроби; затем доказывают, что, буде он справедлив для &-ой дроби, он справедлив также для (/г -f-1) -ой дроби; отсюда заключают: он справедлив для 2-ой дроби, следовательно,— он справедлив для 3-й: будучи справедлив-для З и дроби, он должен быть справедлив для 4-ой и так далее, т. е. он справедлив для каждой дроби. Этот прием применяется и во многих других случаях. Грассман не только обнаружил, что в арифметике натурального ряда все доказательства могут быть проведены методом совершенной индукции, но показал, что все основные определения могут быть установлены, тем же приемом.

Пусть а будет произвольный член натурального ряда. Под символом а + 0 условимся разуметь то же число а; это мы выразим равенством:

а + 0=я (1).

Под символом а 1 условимся разуметь тот член натурального ряда, который следует за а. В соответствии с обозначением, уже принятым выше, это соглашение можно выразить равенством:

а -f 1=а (2у

Смысл его ограничивается тем, что под символами я +1 и а мы условливаемся разуметь одно и то же, а именно — член натурального ряда, следующий за а.

Равенства (1) и (2) выражают определения, устанавливающие значение двух новых символов: а -{- 0 и а-|-1. Составление по числу а чисел а -f- 0 и а + 1 называют также прибавлением к числу а числа О или, соответственно, числа 1.

Предыдущие определения можно выразить так: прибавить к натуральному числу а нуль значит взять то же число; прибавить 1 —значит взять следующий член натурального рада.

Необходимо отметить один принцип, который лежит в основе как этих, так и всех дальнейших определений в том смысле, что гарантирует невозможность логической ошибки, из этих определений проистекающей. Он заключается в следующем: если мы вводим новый символ, или термин, который раньше не имел никакого значения, то мы можем условиться разуметь под этим символом, или термином, любой ранее установленный объект. На этом праве именовать любой объект произвольным термином, или обозначать его любым символом, не имеющим иного значения, и на законе совершенной индукции основана вся арифметика. Содержание этого принципа отчетливо оттеняет условный, конвенциональный характер дисциплины; мы будем называть его принципом свободного обозначения.

Итак, равенства (1) и (2) устанавливают значение символов а- - 0 и а + 1, или, иначе, устанавливают, что значит прибавить к натуральному числу 0 или 1. Мы могли бы аналогично определить, что значит прибавить к натуральному числу 2 (число, следующее за 1), 3 и так далее Но чтобы этим путем установить, что значит прибавить любое число, нужно было бы сделать бесчисленное множество соглашений, установить бесчисленное множество определений вида (1) и (2). Закон совершенной индукции приходит здесь на помощь. Допустим, что мы установили, что значит прибавить к натуральному числу а число п. то есть установили значение символа a -f- п. В таком случае условимся под символом а (п -f 1) разуметь число, следующее за а -j- и, то есть число (а 4- п). Эго можно выразить равенством:

а + (п 4” 1)=(а -Ь пУ (3).

Смысл этого нового определения заключается в том, что оно устанавливает, как прибавить (что значит прибавить) число, следующее за и, то есть число (л -ф- 1), коль скоро известно, что значит прибавить число п. Но равенства (1) и (2) устанавливают, что значит прибавить число 0 или число 1. Поэтому равенство (3) устанавливает, что значит прибавить число, следующее за 1 (то есть 2); но в гаком случае равенство (3) устанавливает, что значит прибавить число, следующее за 2 (то есть 3), затем число, следующее за 3, и так далее Методом совершенной индукции равенство (3) вместе с предшествующими ему равенствами (1) и (2) устанавливает, что значит прибавить к натуральному числу а любое число п. Такого рода определение, устанавливаемое методом совершенной индукции, называется индуктивным определением. Введя индуктивные определения, Грассман заложил прочный фундамент научной арифметики, прежде всего — арифметики натурального ряда.