> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Тот отдел Т
Тот отдел Т
Тот отдел Т ., который изучает их, называется гониометрией (намерение углов). В гониометрии рассматривают угол α= < АОМ (ом. черт.) как центральный угол в круге (тригонометрический круг); при этом угол АОМ и дуга AM намеряются одним числом а. (Ноетому тритоном. величины относятся безразлично к углу или дуге). Это число выражается или в градусах, или в абсолютной мере. В последнем случае аа единицу принимается угол, дуга которого равна радиусу (-=г 57° 17 44,8“). Еслиа — мера угла в градусах, а « — в абсолютной мера, то а= где я я= 3,14159 Дуга (и угол)
отечитываетея от некоторой точки А (начало) на; окружности; при этом дуга (и угол) положительна, если откладывается в направлении против стрелки часов, Диаметр АС называется первым диаметром, перпендикулярный к нему 1Ш— вторым. Они делят окружность на 4 четверти (первая, вторая и так далее). Радиус ОМ, проведенный в конец М дуги, называется подвижным. Пользуясь этой терминологией, мы назовем и и-н и е и синуса проекцию подвижного радиуса на второй диаметр ОР (или равный ей перпендикуляр на первый диаметр MQ); линией косинуса — проекцию подвижного радиуса на первый диаметр OQ; линией тангенса — отрезок касательной к окружности в начале А от точки касания до пересечения с продолженным подвижным радиусом А/е; линией котангенса — отрезок такой же касательной в конце второго диаметра В от етой точки до пересечения с продолженным подвижным радиусом BS; линией секанса — отрезок продолженного подвижного радиуса от центра до пересечения с линией котангенса“ OR; линией косеканса — такой же отрезок до пересечения с линией котангенса OS. Величиной синуса (косивуоа и так далее). или просто синусом (косинусом и так далее), называется взятое с определенным знаком отношение его линии к радиусу. Силуо и тангенс считаются положительными, если отложены вверх; косинус и котангенс—направо; секанс и косеканс—в направлении подвижного-радиуса (от точки О к точке АО Следовательно, в 1 четверти все 8 функций положительны; во П —все отрицательны, кроме синуса в косеканса, в Ш — кроме тангенса и котангенса; ш IV — кроме косинуса и секанса.
OP OQ
Sin =8П , COS tt=CS α= —
tang α=r tan =tg а;
COtgft COt a=ctg « =
OR
AR OM 1
BS OM 1
05
aece= ac«= coaecot=cace=
(l)
Из етого определения следует, что по абсолютной величине синус и косинус всегда меньше единицы, секанс и косеканс — больше единицы, тангенс и котангенс принимают все значения. Рассматривая дуду как путь, пройденный точкой, можно говорить о дуге, больше целой окружности. Увеличивая дугу на целое число окружностей, мы получим прежнюю точку М и. следовательно, те же 8 тригоном. величин. Поэтому тригоном. функции периодичны, т.-е“ не меняются от прибавления к аргументу (дуге) определенного числа (пгрвода). Период тангенса и котангеноа равен я (180°), всех остальных тр.: функций— 2т: (360°). Так как каждая тр. функция определяет дугу, а, следовательно, и остальные функции, то между 6 тр. функциями одной дуги должно быть 5 (и только 5) независимых соотношений. Они получаютея из чертежа (помощью теоремы Пифагора или из подобия треугольников):
s:na
eilta+COSa=:l, tan
cos а
sec =-, соsec«=
cos«
cot a 1
sin a
COSa
sin a’
(2)
Из них, как следствие, получаются новые:
tana,eota=: Т, seea=1 + tan«,
COSeCGt=1 -f- cot2a u так далее
Вторая группа формул определяет тр. величины суммы (разности! дуг черва тр. функции слагаемых (теорема сложения):
же правило распространяется на дуги вида
77. ЗЛ
чг-± « и так далее (у концов, второго диаметра 6 6
ВВ). Так как эти дуги оканчиваются не в первой четверти, то тр. функции их могут быть отрицательны, и тогда формула должна иметь знак минус в правой части. Для дуг вида я±а, 2鱫 и так далее (у концов первого диаметра АС) формулы приведения пишутся так же, но всякая функция переходит в ту же функцию основного угла- Напр.:
sin
(it-f-a)=— sin a, eos(-f-a)=— sin a.
tan
— a)=cot a и t. д.
Ь
8in(a±p)= sina cosjidrcosa sinе,. tanadbtan0 an (_ P) — 1=ptane $ang
cos {« rfc P)=cosa cos е sin a sin p,. , 04 ccta cot p =pl
4 ri eotp±cota
(3)
Прилагая последовательно эти формулы к равным дугам р=:а. получим формулы для кратных дуг:
Обратными круговыми функциями называются аркус синус (дуга дапяого синуса), аркус косинус и так далее Еслп у=sinx, то х=arc siny; еслп yrtanx, то x — arctan.y и так далее Так как каждому значению тр. величины соответствует бесчисленное множество дуг (две дуги в пределах одной окружности, плюс сколько угодно периодов), то обратные круговые функции многозначны. Ели х одно значение функции, го система всех значений определяется формулами:
sin 9α= 2sin a cosa, COS 2а гг COSа — sinor, и 2 tan a cot а — 1
tan 2а -—r—, cot еа=:—--
1 — tan а 1 2 COt а
sin Зα= 3 sin а — 4 sina,
COS 3a=:4 COS5a — 3 COSa U T. Д.
><4)
Подставляя вместоа дугу», найдем формулы деления дуг:
для arc siny и srccosecjf — 2хя + х и i (2к+1 z — х; для arccosy и arcsec,y— е 8)
2 /гс:±х:для arctany и arccoty—х« + хт I
где к означает любое целое число.
Лишь немногие дуги, соизмеримые с окружностью, имеют тр. функция, выражаемые рациональным числом или простым радикалом. Таковы, папр :
а
сова а _.с°а~
А a sm«
tan -г— Т> .- =
2 t -f- cosa
—j_)//1+c°3a| 1—сова i
~т— j
(5)
Выбор знака перед корнем зависит от того, .. ав каков четверти лежит
ы
Большое значение в практической Т. пмеют формулы, преобразующие сумму в произведение (приведение к логарифмическому виду)
Mn « ± sin р=2 sin — cos
cos а 4“ cos е=2 cos cos iZlJ 2 55
. а -I в а — В
ccs а — сов $=— 2 вш —— sin —
2 2
14 оояα= 2 cos t 1 — cosa=2 sin
еana± tan е ==
sin (а ± ft) cos a cos $ и другие.
H6‘
Для определения тр. величин существенно, что тр. функцию любой дуги можно выразить (формулы приведения) через функпии дуги I четверти (я даже дуги меньше 45°). Сюда относятся прежде всего теоремы о тр. функциях до“ полнптвльной дуги (угла). Так называется дуга
(угол)- — a=~BAft имеющая конец Af, общийе датой а, а начало в ко“ це второго диаметра В- Так как для нее второй диаметр BD является первым, и наоборот, то всякая тр. функция ее равна сопряженной функции основной дуги.
«ив ( 2 — «)=COS о, tan (| — «)=cot о и так далее (Со-
einns ость сокращенно complement! sinus). Те
sin 30°=cos 60°=~,
ы
cos 30°=sin G0°=V~b.
tan 30° cot 60°
sin 45°=cos 45° r= tan 45°=cot 45° == 1
Тр. функции других дуг вычисляются только приближенно. Для еток цели могут служить неравенства.
х > sin х > хх“
X
X“, X4
2 <СОЗХ<1-- + а,
которые являются первыми членами бесконечных рядов (смотрите ХХП, 327/28, прил. 12, и ХП, 82):
8ШХ=Х
1.2.3 1.2.3.4.5
cos X— 1
X X
’ 1.2““ 1.2.8.4
1.2.3.4.5,6
+
Вычисленные значения тр. функций составляют таблицы тр. величин. Обычно таблицы содержат логарифмы синуса, косинуса, тангенса и котангенса для дуг от 0° до 45°, через одну минуту, если таблицы вычислены е 5 авансами, и череа 10“, если с 7 знаками.
2. Собственно Т. (прямолинейная) прилагает тр. функции к решению (прямолинейных) треугольников. Так как треугольник определен, если даны три его влемепта (признаки равенства треугольников), то между 6 элементами треугольника должно существовать 3 независимых между собой соотношения. Одно из нихизвестно уже из геометрии (сумма углов равна 180°), два других дает т.
Задача значительно упрощается, если одчя из углов треугольника прямой (прямоугольный треугольник). Необходимые соотношения сейчас же следуют нз определения тр. величин (1), если рассмотреть прямоугольный треугольник OQM или OAR (см черт.). Их можно формулировать так:
катет равен гипотенузе, умноженной па синус противолежащего или косинус прялежчЧ-щего (катету) угла;
катет равен другому катету, умноженному на тангенс оротиволежашого (определяемому катету) угла или на котангенс прилежащего.
Любые два из этих соотношений можно считать за основные, остальные суть следствия их так же, как и теорема Пифагора. О помо-шью етих теорем легко решаются все основные (когда даны 2 основных элемента) случаи решения прямоугольного треугольника.
Для косоугольного (или безразлично тупо“ угольного) треугольника етп соотношения имеют другую форму. Обозначим через h, В9 С —углы, а, Ь9 с—соответствующие стороны (сторона а лежит против угла h, и так далее), R— радиус описанного круга, /—радиус впнеэнного круга, 2р—периметр, $ —площадь треугольника. Тогда первая группа основных соотношений напишется:
(В и 180° — В) если при этом b < а9 то задала возможна-и имеет одно решение (оотрый угол); если b > а9 то задача -возможна только при А остром и тогда имеет два решения. Далее, как в I случав.
IV. Даны три стороны. Формулы (И) определят углы; для удобства логарифмирования их преобразуюе в_одну нз трех форм;
«П
V
{р — Ь) (р
Ьс
-г) А “ > 005 2
1_1 /р(Р~ ~Т Ре
tan
1 /ip-b){p-c).
РР-а)
(И)
Для определения площади служат формулы:
S=- яд sin С:
4т
a2 sin В sin С в
2 8йГл ’
(15)
= | р (р — а) (р — Ь) (р — с).
Радиус сиис. круга R определяется по фор-abc В ___
муле (10) или еще R=- j-д--’q
° 2cosjCOs-2 cos-
где Л[= 2p=Ь -f с.
~ Для радиуса впис. круга г имеем
B=lle=c=2S-
Здесь между основными элементами треугольника ia9 b9 е9 А9 В9 С) два независимых соотношения. Вторая группа основных соотло-- шеяпй получается из формулыа“ зк 5 +# — 2 Ьс с08 Л9 (11)
„ s А
—; р — α= г cot—
Р 1
Этими формулами можно пользоваться, сла данные отличаются от основных (особые сл. -чаи). Кроме того, еспи даны ( умна или разность двух сторон, то пригодны формулы Муль-вейде:
если одновременно вместо а и А подставить Ь и В9 вместо Ь я В подставить с и С и вместо с я С подставить а и А (круговая замена).
Среди 3, получаемых таким образом, равенств — 2 независимы и могут быть приняты аа основные. Наконец, можно принять за основные 2 из трех, получаемых круговой заменой из уравнения
a sz b cos С + с cos В. (12)
Каждая нз этих групп достаточна для решения треугольника, но для удобства вычислений (о логарифмами) их приходится значительно преобразовать. Можно различить 4 основных случая решения косоугольного треугольника.
I. Дапы два угла и сторона. Третий угол определяется из основного соотношения А 4- В 4- С=180°, остальные стороны — о помощью формул (10).
Д. Даны две стороны и угол между ними, например а, Ь и С Образуя нз отношений (10) производную пропорцию, получаем новую формулу (форм, тангенсов)
tan
tan
A-В
А 4 В
№
Здесь известно а, Ь и А + В 180° — С: следа» вательно, найдем А — В9 затем по сумме и разности А и В. Далее, как в I случае.
Ш. Даны две стороны я угол против одной нз них, например а, Ь и А. Из формул (10) назо- 6 sin Л
дим sinB-sz- Задача невозможна, еслиа
£ sin Л > а; если b sin Л=а, то 5=90°. Если sin Л < а, то по синусу найдем два угла
a 4 b с
cos
В
2
с
COS 2
(16)
3. Сферическая Т. рассматривает сферические треугольники. Так как с увеличением радиуса R сферы все размеры пропорционально увеличиваются, то формулы сфер. Т. содержат по длины сторон треугольника, а отношение стороны к радиусу шара, то есть абсолютную меру дуги, которая образует сторону, или меру ее в градусах. Эту меру сторон мы обозначим буквами а, 5, с; углы треугольника по прежнему — h, В9 С. При этом мы будем предполагать, что каждая оторона содержит меньше 180° (треугольники Эйлера). Сумма углов сферяи. треугольника более 180й;разность Л + В-ЬС — «=Я называется Сферическим избытком: ER есть площадь треугольника. Точки пересечения со сферой диаметра, перпендикулярного плоскости большого круга, называются его полюсами. Если мы установим определенное ваправле-» ние обхода сфер, треугольника и будем брать для каждой стороны треугольника ее, например, левый полюс, то мы получим новый сфер, треугольник АВ€9 полярно сопряженный данному. Стороны его дополняют углы основного треугольн. до 180°, в наоборот: а9=те — h, a — it — Л. Этими формулами определяется «о“ лярное преобразование.
Сфер, треугольник определен 3 элементами; значит, между его в элементам а должно быть 3 независимых соотношения. Таковыми являются (теорема косинусов ксое а cos Ь cos sin b sin е сое h, (17)
или полярная форма:
cos А=— cos В cos С 4 sin В sin С cos а. (18)
Две другие формулы получаются круговой заменой. Отсюда следует (теорема синусов):
sin А sin авт &. sin b
sin С siпс
(19)
д р“гд других более сложных соотношении.
Для решения прямоугольных треугольников А — 90° служат формулы.
cos и=cos b cos“. sin b=sin a sin В, ton b ~ tan a cos C, tan b sin c tan B, (20) coa a=cot В cot C, cos В=cos b sin C.
Полярным преобразованием их служат треугольники со стороной α= 90°. Можно различить 6 основных случаев решения косоугольного сфер, треугольника.
I и П. Даны 8 стороны или 3 угла. Можно пользоваться формулами (17) или (S8). Лучше преобразовать кх в форму
А _ |/ bin (р — b) sinQ> 7) ап 2 ” Г sin р siu (р — а)
вли
Е f sin — sin
)
8ш(в--|) Sin (c-f)
(21)
где 2=а + 5-Ь Задача возможна, еслир<18Л° и д<6-Ьс или если О<В<360°
Ш я IV. Даны 2 стороны я угол между ни“ ми вди 2 угла и сторона между ними Пользуемся формулами Непера:
а —Ь
х Д+В хСй0 2
cos
Л-5 ,.С
ton =cot -
sm
а — b
sm
a + b
(22)
ила полярно сопряженными. Задача всегда имеет единственное решение.
V и VI. Даны 2 стороны и угол против одной нз них или 2 угла и сторона против одного нз них. Снова пользуемся формулами Непера (22). вадача не всегда возможна и может иметь 2 решения.
Сфер. Т имеет большие приложения в астрономии, ради потребностей которой она к была построена значительно ранее прямолинейной Т. (начатки уже у Птолемея, П век; смотрите ниже).
Псевдосферическая Т. не имеет таких приложений. Вместе со сфер, и прямолин. она представляет единственно возможную Т., ибо только на поверхности постоянной кривизны треугольник вполне определен своими тремя элементами. Формулы псевдосфер. Т. выводятся нз формул сфер. Т. таким простым замечанием.
1 Так кал кривизна сферы а псевдосферы тогоже радиуса — — (смотрите XLI, ч. 7, прил. ЗбО/бИ) то радиус сферы R надо заменить на tR, где / =|/—1. Радиус R входит в формулы сфер. Т. только посредством сторон, ибо а% Ь, с суть отно“ шения длин сторон к радиуоу сферы R. Сле-; довательно, теперь а, 5, с в ад о заменить на) a y i
Щ 3е где » Дяи“ы сторон; но согласно формулам Эйлера (смотрите XXII, 327/23 прил. 13)
ix. —/х ix _Jx
е +е. е —е. os х=-~ sm х =-—
2 2i
значита
/е
, я
:С08Й£
a
Я
а
R
sm
iR
2/
/зш/г
R
Эти функции (гиперболические) и надо под“ ставить вместо прежних тригонометрических. Тогда, например, основные соотношения (17), (18), (19) примут вид:
a By S y
eosfc =со$Л ~cosft — sinft=ашЛ~, cos Л H R R HR
a
cos A=— cos В cos C + sin В sin C cosh
sin A sin В sin C
а 6 , уэш/г зтЛ шпЛ A
(23)
При атом следует иметь в виду, что- на псевдосфере одна или две и даже все три вершины треугольника могут лежать в бесконечности.
4. Первые сведения по Т. встречаются уже в древнейшей математической рукописи—папирусе Bhind (1700 — 2000 лет до в е.). Отношение Seqt есть, повидимому, косинус угла наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды (обычно 52°). Предложения сферической Т. («Begnla sex quantitatum») впервые высказаны в третьей книге сферик Менелая Але-кссндрийского (Рим, 98 г. н. е.). Он пользуется при этом, как и последующие авторы, вместо синуса понятием хорды двойной дуги. Первая таблица таких хорд, дающая возможность практического решения треугольников, дана Пто» лемеем Александрийским («Альмагест», 150 г.). Автор вычисляет хорды через каждые 307 в 1/60 радиуса Гтррлта), минутах и секундах с точн. до Ю”Ч Синус (как проекция дуги на диаметр) был введен в Йндии под именем diyA-ardha (половина хорды) астрономом Арьябхатта (род. в 476 г.). По сходству написания вто название у арабских писателей приняло форму дшанб (по-арабски—грудь, сердце, сумка), буквальный перевод которого на латынь (Платон us Тиеоли, Xll в.) есть sinus. В арабском Багдаде (Абулъ Вафа, 910—998) вводятся тангенс ж котангенс, как две тени (umbra versa, umbra recta), секанс и косеканс—как их диаметры. Автору известны соотношения между этими величинами. Здесь же Насир Эддив (1201—1274) впервые излагает Т. как самостоятельную дисциплину. В Риме Т. осталась неизвестной. Первые переводы Т. появились после завоевания Испании в Толедо в ХП в («Альмагест» в 1175 г.). Только в XV в Региомонтакус (1436—1473) построил всю Т. синуса, исходя из обычного его определения; он же составил новую таблицу синусов через каждую минуту. Таблицы всех 6 тригонометр. функций в их современном расположении дал Ретикуе (1514—1574). Развитие тритон, таблиц привело к использованию (иротасферетичееквй метод) теоремы сложения косинусов для замены умножения сложением. Ввета (1540—1603) систематически применяет вое 6 тритон, функций к решению плоских и сферических треугольников. Виета, так же, как и Ретикуе, отступил от названия sinus (perpendiculuni), complement! sinus (basis) и так далее, уже в то время утвердавшихся. Названая тангенс (вместо umbra recta) и секанс (вместо diameter umbrae) впервые появляются у T, Фанка. (cGeometria rot-uadi», 1583). Сокращение cosinus вместо complement! sinus идет от Гунтера (1581—1626, Лондон). Изобретение логарифмов (Непер, 1614) было вызвано потребностью Т. и повлекло развитие ормул преобразования сумм в произведения, онец ХУЛ столетия характеризуется стремлением найти буквенную символику. Так, Янов Бернулли (1614—1705) пашет sin А.С в смысле синус дуги А.С. Создание анализа в ХУПв.отра зилось прежде всегов разложении три гон. функций в бесконечные степенные ряды (,Ньютонt 1666) и разложении синуса и косинуса кратных дуг (Муаеру 1667—1751). Производные тритон, функций впервые приводит Котес (1682—1716). В современный, знакомый вам вид привел Т. Эйлер (1707—1783). Законченность символики (он пишет sin Z, cos Z), определение тригон. функций, как отношения; их периодичность; наконец, завершение сферической Т. характеризуют работу Эйлера. Предпринятое в первые годы Великой революции гигантское предприятие издания Tables de Cadastre впервые провело вычисление тригон. величин при помощи бесконечных рядов и интерполяционных формул
(натуральные синусы через 0,001. ~ с25дес.знаками; логарифмы через 0,00001. |с 14 дес. зн.).
В XIX в Кота вводит в Т. метод проекций (1821). Мёбиус (1790—18S8) распространяет сферическую Т. на треугольники, стороны которых более полуокружности. Созданная Коши теория функции комплексного переменного дала новое обоснование тригон. функциям, а развитие неевклидовых геометрии поставило новую проблему псевдосферической Т.
Литература. Кроме общей истории математики — Cantor М+у «Yorlesungen йЬег Ge-Bchichte der Mathematik», по истории Т. можно указгть—Dr А. von ВгаиптйЫ. «Yorlesungen fiber Geechichte der Trigonometric», 1900 и 1908. По прямол. и сферич. Т. см. Вебер и Вельштейн, «Энциклопедия элементарной математики», т. 3, кн. 2; по неевклидовой T.—St&ckel a. Engel, «Die Theorie der P raUellinien von Euklid bis auf Gauss», 1895. С. Фиников.