> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Точкой отправление здесь служат соображения

Точкой отправление здесь служат соображения

Точкой отправления здесь служат соображения, с которыми мы уже встречались выше. Нам приходилось уже говорить о том, что различные поверхности имеют свою геометрию. Планиметрия есть геометрия плоскости, сферика есть геометрия шаровой поверхности, и, как было уже выяснено выше, основными образами на плоскости служат точки и прямые линии, на сфере — точки и окружности больших кругов. Планиметрия изучает прежде всего углы и фигуры, ограниченные прямыми линиями; сферическая геометрия изучает углы и фигуры, ограниченные окружностями больших кругов. Что сближает между собой окружности больших кругов на сфере и прямые на плоскостие Дуга окружности большого круга на сфере представляет собой кратчайшее расстояние между двумя

Точками, совершенно так же, как отрезок прямой представляет собой кратчайшее расстояние на плоскости. Но на каждой поверхности существуют линии, представляющие собой кратчайшие пути, по которым на этой поверхности можно пройти от одной точки к другой. (Некоторые особенные поверхности, с которыми дело обстоит в этом отношении не вполне благополучно, оставим в стороне). Такие линии называются геодезическими линиями поверхности; прямые суть геодезические линии на плоскости, окружности больших кругов—геодезические линии на сфере. Основные линии, которыми оперируют плоская и сферическая геометрия, суть геодезические линии соответствующей поверхности. Отсюда, естественно, возникает вопрос, нельзя ли в том же порядке идей строить геометрию на любой другой поверхности, принимая за основные образы точки и геодезические линии этой поверхности. Однако, на пути осуществления этой идеи стоит одно препятствие, о котором мы тоже уже выше упоминали. Каю плоская, так и сферическая геометрия оперируют методом наложения, находящим себе на этих поверхностях применение благодаря тому, что как на плоскости, так и на сфере любая часть поверхности может по ней совершенно свободно передвигаться без растяжений, без изгибов, без складок, вообще без всякой деформации. Возможность таких движений составляет основную презумпцию при построении геометрии; в том порядке идей и методов, в каком строятся плоская и сферическая геометрии, можно-развивать геометрию только на таких поверхностях, на которых передвижение фигур без деформации возможно с той же сюбодой, как на плоскости и на сфере: без этого нельзя говорить о равных отрезках; о больших и меньших отрезках; о равных, больших и меньших углах; о конгруэнтных треугольниках и так далее Вообще без возможности производить эти движения нельзя оперировать теми понятиями, которыми, можно сказать, проникнуты все предложения плоской и сферической геометрии. Но, кроме плоскости и сферы, в евклидовом пространстве нет поверхности, на которой было бы возможно свободное передвижение частей. Поэтому, плоскостью и сферой, по существу, исчерпываются те поверхности евклидова пространства, на которых можно развивать — методом наложения— двумерную геометрию их геодезических линий и геодезических фигур. Идея исчерпана тем, что классическая геометрия уже дала. В гиперболическом пространстве, как мы видели, дело обстоит более благоприятно. Там существует еще так называемая предельная поверхность, на которой возможны передвижения фигур с теми же степенями свободы, как на плоскости и на сфере. Геодезическими линиями служат предельные линии. Благодаря этому в гиперболическом пространстве можно развивать геометрию методом наложения еще на предельной поверхности. Мы видели, каким обильным источником идей это обстоятельство послужило для Лобачевского и Больай. В гиперболической поверхности есть также еще один тип поверхностей, на которых возможно построение геометрии в том же порядке идей; это так называемые поверхности равных расстояний. Но геометрия этих поверхностей формально совпадает с геометрией гиперболической плоскости.

Итак, если принять правильной геометрию Лобачевского, то в гиперболическом пространстве имеется троякого типа двумерная геометрия: гиперболическая—этогеометрия плоскости (и поверхностей равных расстояний), евклидова, или, как ее иначе называют, параболическая, и сферическая—геометрия сферы. Возвращаясь, однако, к евклидову пространству, мы вновь должны указать, что зтесь есть только две поверхности, по которым возможны свободные передвижения фигур без деформации: плоскость и сфера; и, сообразно этому, возможны только две двумерные геометрии, развиваемые методом наложения,— плоская и сферическая.

Знаменитый мемуар Гаусса .Disquisitio-nes generales circa superficies curvas“, опубликованный в 1827 г., дал, однако, этим идеям новое направление. В этом мемуа-ре Гиусс рассматривает поверхность как гибкую пленку. Иод изгибанием поверхности он разумеет такую ее деформацию, при которой не происходит растяжение длин нанесенных на ней кривых; это влечет за собой неизменность и углов между кривыми. Обычное изгибание листа бумаги или нерастяжимой материи может служить наглядным представлением об этом геометрическом процессе. Имея кусок материи, мы часто можем ее так изогнуть, чтобы она без растяжений и складок покрыла другую поверхность. Этот процесс называется наложением одной поверхности на другую, или развертыванием одной поверхности на другой. Он сопровождается деформацией, но при этой деформации не меняется ни одна длина, не меняются углы, не образуется ни разрывов, ни складок. Легко понять, что не всякая поверхность может быть развернута на любую другую. Так, поверхность сферы нельзя никоим образом ни развернуть, ни наложить на плоскость. Гауссом поставлен вопрос о том, при каких условиях возможно развертывание одной поверхности на другой.

В тесной связи с этим находится вопрос, представляющий собой частный случай предыдущего.

Если мы вырежем кусок поверхности обыкновенного круглого конуса то путем его изгибания его можно передвинуть в любое другое место на том же самом конусе. На конической и на цилиндрической поверхности, таким образом, возможно передвижение частей поверхности, сопровождаемое, правда, деформацией, но такой деформацией, которая сводится только к изгибанию. Но это возможно не на всякой поверхности. С поверхности трехосного эллипсоида, например, нельзя срезать куска, прилегающего к вершине меньшей оси, и передвинуть его к вершине большей оси, или наоборот; попытка сделать это неизбежно поведет к разрывам или складкам на передвигаемой фигуре.

Возьмем поверхность, на которой такого рода движения возможны,—скажем, поверхность круглого цилиндра. Условимся называть две фигуры на поверхности цилиндра конгруэнтными, если они могут быть приведены в совмещение путем такого передвижения одной из них по поверхности цилиндра, то есть передвижения, сопровождаемого изгибанием поверхности. На рисунке 11 изображены три криволинейных треугольника. В обычном смысле слова треугольники эти не конгруэнтны, ибо наложить один на другой без деформации невозможно; но в новом, расширенном значении этого слова, то есть путем наложения, сопровождаемого изгибанием, такое совмещение возможно, и потому в новом смысле слова эти три треугольника конгруэнтны.

Ясно, что при этом новом понимании идеи наложения расширится число поверхностей, на которых можно строить геометрию, пользуясь методом наложения. Конические и цилиндрические поверхности представляют собой простейшие примеры таких поверхностей. Разберемся в том, какова будет геометрия цилиндра; для этого обратим внимание на то обстоятельство, что цилиндрическую поверхность можно образовать путем свертывания плоскости, или что на цилиндрическую поверхность можно навернуть плоскость. Геодезическими линиями на цилиндрической поверхности будут служить те кривые, по которым расположатся прямые плоскости. Если представим себе вертикальный круглый цилиндр и вертикальный кусок плоскости, то при навертывании последней на цилиндрическую поверхность вертикальные прямые останутся прямыми линиями, горизонтальные свернутся в окружности, а наклонные изовьются в винтовые линии различного хода. На рисунке 11 в среднем из трех изображенных на нем прямоугольных геодези-

веских треугольников один катет образован отрезком прямой линии, другой—дугой окружности, а третий — дугой винтовой линии. Легко понять, что формально по своему содержанию, еще точнее—по словесному своему выражению, геометрия такого цилиндра совпадает с геометрией той части плоскости, которая на этот цилиндр навертывается: фигурам, конгруэнтным на этой части плоскости, будут отвечать фигуры, конгруэнтные на поверхности цилиндра, и так далее При всем том, геометрия круглого цилиндра в целом будет отличаться от гео метрии плоскости по двум причинам: во-первых, на цилиндр навертывается не вся плоскость, а только часть ее, во-вторых — края навертываемой на цилиндр прямоугольной полосы сходятся: благодаряэтому горизонтальные геодезические линии становятся замкнутыми и имеют конечную длину.

Если мы, однако, вместо круглого цилиндра возьмем цилиндр с бесконечной образующей, то мы получим поверхность, на которой целиком осуществляется евклидова геометрия. Для большей определенности вообразим себе параболу на горизонтальной плоскости и вертикальную образующую, скользящую по этой параболе (рисунок 12). Она образует бесконечную разомкнутую цилиндрическую поверхность. При навертывании на нее вертикальной плоскости вертикальные прямые останутся

Рисунок 12.

прямыми, горизонтальные изогнутся в нараболы, а наклонные примут вид параболических винтов. Геодезические линии, таким образом, здесь будут иметь различные формы, но все они будут бесконечны, и через две точки всегда будет проходить только одна геодезическая линия. Вместе с тем геометрия на поверхности параболического цилиндра будет полностью совпадать с геометрией плоскости. Каждое предложение евклидовой планиметрии будет здесь справедливо, но только под прямыми линиями здесь нужно будет разуметь геодезические линии поверхности.

Эти результаты поучительны в двояком отношении: во-первых, они, как уже указано, умножают число поверхностей, на которых можно развивать геометрию теми же методами, которыми строится геометрия Евклида. Во-вторых, и это, может быть, еще важнее, мы уясним себе, что евклидова планиметрия получает осуществление не только на плоскости. Подробнее: если мы оголим словесный текст евклидовой планиметрии, то содержание ее может оказаться справедливым при различном понимании терминов, в этот текст входящих. Она будет справедлива, если под прямыми разуметь обыкновенные прямые на плоскости, под углами—обыкновенные прямолинейные углы, под движением—перемещение фигуры по плоскости без деформации. Но все те же предложения будут справедтивы и в том случае, если подпрямыми разуметь геодезические линии на параболическом цилиндре, под углами— криволинейные углы, этими геодезическими линиями образуемые, под движением—передвижение фигур на параболической поверхности, сопровождаемое их изгибанием.

Всякую систему образов, которую можно разуметь под терминами геометрии, мы будем называть интерпретацией этой геометрии, или формой ее осуществления. Вывод, к которому мы выше пришли, мы можем формулировать, следовательно, такими словами: евклидова планиметрия допускает различные интерпретации, различные формы осуществления.

Если мы примем во внимание, что евклидова планиметрия получит осуществление на любой поверхности, на которую плоскость может быть навернута, то мы легко представим себе, сколь многообразными могут быть эти различные формы осуществления, эти интерпретации евклидовой планиметрии.

8. Геометрия поверхностей постоянной кривизны. Возвратимся теперь к вопросу о том, на каких поверхностях возможно передвижение фигур, сопровождаемое изгибанием. Некоторое затруднение в уяснении ответа на этот вопрос представляет понятие о кривизне поверхности в данной точке, установленное Гауссом. Мы хорошо себе представляем, что поверхность может быть более искривлена в одних своих точках и менее в других. Одна из главных заслуг Гаусса в геометрии заключается в том, что он дал средства для точного численного выражения меры кривизны поверхности в каждой ее точке.