> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Точку М на поверхности фигуры обведем небольшой замкнутой линией

Точку М на поверхности фигуры обведем небольшой замкнутой линией

Точку М на поверхности фигуры обведем небольшой замкнутой линией. Образуется замкнутая площадка, ограниченная этой линией. Вдоль всей линии проведем к поверхности нормали (перпендикуляры), которые, таким образом, окружат нашу площадку. Размер этой площчдки обозначим через s. Теперь из какой-нибтдь точки пространства радиусом, равным единице длины, опишем сферу и из ее центра проведем радиусы, параллельные всем нормалям, ограничивающим площадку s. Эти нормали выделят на сфере некоторую площадку а. Легко понять, что размеры этой площадки зависят от того, в какой мере поверхность изогнута вокруг точки М. Если поверхность плоская, то есть если она совсем не изогнута, то все перпендикуляры параллельны, а параллельные им радиусы вспомогательной сферы сольются в один,—вместо площадки о мы получим одну только точку; иначе говоря, о в этом случае равно 0. Если поверхность вокруг точки М будет слабо изогнута, то площадка о будет очень мала; напротив, если поверхность будет значительно изогнута вокруг точки М, то нормали образуют большой раструб, благодаря чему на сфере получится большая площадка о. В соответствии с этим Гаусс принимает за среднюю кривизну поверхности

~в ограниченном контуре отношение —

Когда контур, охватывающий точку М, становится все меньше и меньше—стремитсяг, 0

к и, то отношение — стремится к определенному пределу; этот предел Гаусс и принимает за меру кривизны поверхности в данной точке. Следуя этому правилу, можно легко обнаружить, что кривизна шаровой поверхности радиуса R в каждой

Точке равна —

К-

Гаусс приписывает кривизне поверхности в каждой ее точке также знак. Если мы в точке М поверхности проведем нормаль и через нее различные плоскости, то они при пересечении с поверхностью дадут так называемую розетку нормальных сечений. На одних поверхностях все сечения, образующие эту розетку, направлены своею /вогнутостью в одну и ту же сторону; надругих поверхностях одни из этих сечений изогнуты в одну сторону, другие—в другую. Так, в точке М сферической поверхности все нормальные сечения обращены вогнутостью в сторону внутренней нормали (на рисунке 13 — вниз); на седлообразной же

поверхности (например, однополого гиперболоида), изображенной на рисунке 14, продольные сечения обращены вогнутостью кверху, а поперечные—вниз. В том случае, когда все сечения направлены вогнутостью в одну сторону, Гаусс приписывает кривизне знак-)-, а в том случае, когда эти сечения направлены в различные стороны, кривизне при-

Рисунок 14.

писываегся знак — (кривизна имеет “отри-цагельное значение). В каждой точке сферической поверхности кривизна имеет положительное значение, в каждой точке седлообразной поверхности кривизна имеет отрицательное значение.

Самая замечательная теорема, установленная Гауссом в „Disquisitiones“, заключается в том, что при изгибании поверхности кривизна ее в каждой точке сохр шяет свое значение. Если поэтому одна поверхность может быть развернута на другую, то в точках, приходящих при этом в совпадениекривизна имеет на одной и другой поверх-1 ности одно и то же значение. Теперь мы будем в состоянии ответить на поставленный выше вопрос о том, каковы поверхности, на которых фигура может передвигаться свободно путем изгибания. Ответ этот представлял собою непосредственный вывод из основной теоремы Гаусса и впервые был указан Миндингом. Если поверхность может быть передвинута сама по себе так, чтобы любая ее точка А совпала с любой другой точкой В, то ее кривизна в точке А должна быть такая же, как в любой другой точке В. Иными словами, поверхность должна иметь во всех точках одинаковую кривизну,—короче, как принято говорить, это должна быть поверхность постоянной кривизны. К таким поверхностям, в первую очередь, относится плоскость, кривизна которой во всех точках равна нулю. Постоянную кривизну, равную нулю, имеют также все те поверхности, которые развертываются на плоскость. Сюда относятся, в частности, конические и цилиндрические поверхности, о которых мы говорили выше; на них возможна поэтому геометрия, развиваемая методом наложения; как мы видели, эта геометрия совпадает с евклидовой планиметрией.

Сфера радиуса R имеет постоянную кривизну — и притом положительную. Но сфера — не единственная поверхность постоянной положительной кривизны; есть бесчисленное множество других поверхностей, которые развертываются на сферу. Если возьмем вырезок сферы, ограниченный двумя меридианами, и свернем его так, чтобы меридианальные края сошлись, то мы получим поверхность веретенообразной формы, имеющую ту же постоянную положительную кривизну. Геометрия такой поверхности, конечно, совпадает с геометрией той части сферы, свертыванием которой эта поверхность получена.—Сгибая те или иные части сферы, можно получить поверхности самой причудливой формы, и на всех них будет иметь место сферическая геометрия.

Но, согласно теории Гаусса-Миндинга, свободное передвижение фигур путем изгибания возможно также на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. Этого рода поверхности в первый раз исследовал Миндинг; он построил их тригонометрию, то есть построил уравнения, связывающие стороны и углы геодезического треугольника на поверхности постоянной отрицательной кривизны. По игре случая этот мемуар Мин-динга и мемуар Лобачевского, содержавший тригонометрию неевклидовой плоскости, были помещены вдвух последовательных томахжурнала Креля („Journal fflr reine und ange-wandte Matheraatik“. Bd. XIX, Bd. XX). Ho-только через 30 лет Бельтрами(смотрите) обнаружил связь между этими работами.Бельтрамн, впрочем, вел свои исследования совершенно независимо от Миндинга. Он изучал различные поверхности постоянной отрицательной кривизны, исследовал их геометрию и тригонометрию. Он был знаком с работами Лобачевского и с величайшим изумлением и торжеством обнаружил, что геометрия-поверхностей постоянной отрицательной кривизны формально совпадает с геометрией неевклидовой плоскости, совпадает в том же смысле, в каком геометрия цилиндра совпадает с геометрией евклидовой плоскости, а геометрия поверхностей постоянной положительной кривизны совпадает с геометрией сферы. Бельтрами, а за ним Дини привели примеры различных поверхностей постоянной отрицательной кривизны, в особенности тех из них, которые могут быть получены путем вращения. На рисунке 15 и 16 изображены такого рода поверхности; из них поверхность (рисунок 16>

Рисунок 15. Рисунок 16.

имеющая вид бесконечно суживающегося-бокала, особенно замечательна; ее обыкновенно называют псевдосферой (некоторые авторы называют псевдосферой всякую поверхность отрицательной кривизны). Впечатление, произведенное мемуарами Бельтрами, было огромное. Планиметрия Лобачевского ожила: она утратила характер остроумного парадокса, она оказалась геометрией реальных образов.

Весь результат, к которому мы пришли, можно формулировать теперь следующим образом. Если на передвижение фигур по поверхности смотреть с широкой точки зрения Гаусса, то существуют три типа двумерных геометрий. Во-первых, геометрия поверхностей, развертывающихся на плоскость, или иначе, поверхностей постоянной нулевой кривизны; это есть евклидова планиметрия; из соображений, в которые здесь нецелесообразно входить, ее называют также параболической геометрией. Во-вторых,.

геометрия поверхностей постоянной положительной кривизны; эта геометрия формально не отличается от геометрии сферы; ее в настоящее время часто называют эллиптической геометрией. В-третьих, наконец, геометрия поверхностей постоянной отрицательной кривизны; эта геометрия формально совпадает с планиметрией Лобачевского; ее в настоящее время часто называют, как мы уже сказали, гиперболической геометрией.

Казалось бы, что после этого замечательного открытия Бельтрами вопроса о логической правильности геометрии Лобачевского не могло более существовать. Нужно сказать, что с этого времени ни один геометр, бывший в курсе дела, в этом действительно уже не сомневался. Но, с точки зрения строгой логики, вопрос все-таки нельзя было считать решенным, и это по двум причинам. Во-первых, исследования Бельтрами могли решить судьбу только двумерной гиперболической геометрии; вопрос же о трехмерном гиперболическом пространстве оставался совершенно открытым. Во-вторых, j и по отношению к двумерной гиперболической геометрии оставались серьезные сомнения. Гиперболическая геометрия на всех известных нам формах псевдосферы осуществляется лишь частично, подобно тому, как плоская евклидова геометрия лишь частично осуществляется на поверхности круглого цилиндра. Чтобы достигнуть полного осуществления евклидовой геометрии, мы должны были перейти к параболическому цилиндру, вообще к такой цилиндрической поверхности, на которой все геодезические линии имеют бесконечное протяжение.

Сообразно этому, для полного осуществления гиперболической геометрии необходимо было бы найти такую поверхность постоянной отрицательной кривизны, на которой все геодезические линии имели бы бесконечное протяжение. Такую поверхность тщательно искали, но ее не нашли. Более того: Гильберт показал, что такого рода поверхности вовсе не существует. Пытливый ум геометра-логика на этом не успокоился. Нужно было довести решение вопроса до конца; это было достигнуто дальнейшим развитием идеи об интерпретации геометрии.

9. Свободная интерпретация геометрии. В предыдущих двух главах былиустановлеиы две основные идеи. Первая из них заключается в том, что геометрическая система может получать различные интерпретации, или различные формы осуществления. Вторая дает такого рода интерпретацию неевклидовой геометрии в евклидовом пространстве.

Если мы возвратимся к интерпретациям евклидовой планиметрии, данным в предыдущей главе, то заметим, что они сводились всегда к тому, что под прямой линией разумели геодезическую линию на той или иной поверхности. Движение же фигур без деформации заменялось таким их движением, которое сопровождается изгибанием. В этом направлении можно, однако, идти и дальше. Можно значительно больше оторвать геометрические термины от тех образов, которые мы с ними первоначально соединили, не нарушая правильности, справедливости или применимости самой системы.

Вообразим себе горизонтальную плоскость в евклидовом пространстве. Над каждой точкой этой плоскости представим себе, по одну и ту же сторону от плоскости, перпендикуляр одной и той же длины. Над каждой точкой плоскости будет стоять, таким образом, перпендикулярный стерженек. Теперь под „точкой“, в новом значении этого слова, будем разуметь каждый такой стерженек. Под „прямой“ будем разуметь плоскую полоску, имеющую ширину, равную высоте стерженька и проходящую через два таких стерженька. Таким образом, „прямая“ будет составлена из точек-стерженьков, стоящих над обыкновенной прямой в плоскостиоснования. Легко видеть, что черезТТдве-„точки“ проходит одна и только одна „прямая“, что „прямая“ может быть неограниченно продолжена и так далее Рисунок 17 изображает две параллельные „прямые“, а рисунок 18—„прямолинейный треугольник“. Совершенно ясно, что и при этой интерпретации, уводящей нас уже далеко от обыч-

Рисунок 17.

Рисунок 18.

ных точек и прямых, евклидова планиметрия все-таки остается справедливой.

В этом направлении можно идти еще много дальше. Приведем черезвычайно замечательный и простой пример, принадлежащий Пуанкаре (смотрите). Возьмем обыкновенную евклидову плоскость Се и в ней точку О. Эту последнюю точку как бы изымем из плоскости,то есть под .плоскостью”, которою мы будем заниматься теперь, мы будем разуметь совокупность всех точек плоскости Q, за исключением точки О; этой последней в нашей плоскости Q не существует.