> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Точное определение взаимно-однозначного и взаимно-непрерывного преобразование некоторой фигуры А в фигуру В заключается в следующем: Iе
Точное определение взаимно-однозначного и взаимно-непрерывного преобразование некоторой фигуры А в фигуру В заключается в следующем: Iе
Точное определение взаимно-однозначного и взаимно-непрерывного преобразования некоторой фигуры А в фигуру В заключается в следующем: Iе каждая точка фигура А переходит в одну, вполне определенную, точку фигура В. причем в каждую точку фигура В переходит одна и только однаточка фигура Л („взаимная однозначность14); 2° если х и у—произвольно заданная пара соответственны“ точек фигура А и В, то каково бы ни было (сколь угодно малое) положительное число с найдется такое (достаточно малое) положительное число е), что все точки фигура А, отстоящие от точки х на расстоянии меньшем, чем переходят в точки фигура Ву отстоящие от у на расстоянии меньшем, чем s, и, обратно, всем точкам фигура В, удаленным от у меньше, чем на rt, соответствуют в А точки, удаленные от х меньше, чем на е („взаимная непрерывность44).
Если выполнены условия 1° и 2°, то фигура В называется гомеоморфной фигуре А. Если В го-меоморфна А, то и обратно— А гомеоморфна В. Треугольник (совокупность его сторон) гомеоморфен окружности; но окружность не гомео-
14ц—vim
морфна отрезку прямой: шар гомеоморфеп цилиндру, но не гомеоморфеп тору {рис. 1) и так далее Установление критериев гомеоморфности фи
гур относится к числу наиболее важных и трудных задач Т.
В настоящее время можно указать три основ ных отдела Т
I. Комбинаторная Т. изучает, прежде всего, замкнутые многообразия, то есть фигуры, составленные, по определенным законам, из конечь
Род двусторонней замкнутой поверхности равен р. если эта поверхность гомеоморфна поверхности тела, состоящего из шара с р „руч-ками“ {рис. 2): род поверхности шара есть нуль, поверхность тора имеет род 1 и так далее Двусторонние замкнутые двумерные многообразия исчерпываются поверхностями конечного рода.
Кроме замкнутых многообразий, рассматриваются также открытые (состоящие из бесконечного числа симплексов) и многообразия с краями. Помимо двусторонних существуют также и односторонние многообразия. На рас. 8 дан пример односторонней поверхности с краем.
Для всякой поверхности рода о (например для. выпуклого многогранника) число вершин ми-< нус число ребер плюс число граней равно 2 {формула Enterа). Различные обобщения этой формулы для многообразия любого числа измерений играют важную роль в комбинаторной Т.
Помимо многообразий, в комбинаторно!! Т. рассматриваются весьма часто более общие совокупности симплексов—т. иаз. комплексы.
Изучение л-мерных комплексов (в частности многообразий) для и 3 представляет очень большие трудности. Важное значение имеют здесь т. наз. числа Betti; однако, как показал //. Poincaref, два многообразия с одинаковыми числами Betti могут быть пе гомеоморфными друг другу. Большой интерес представляют также вопросы о взаимном расположении фигур („зацеплен ия“ и т. II.).
П. Т. непрерывных отображений изучает свойства многообразий, рассматривая однозначные (в одну сторону) и непрерывные отображения одного многообразия па часть другого (или самого себя). Важную роль играет здесь т. наз. степень отображения („Abbildungsgrad“). Этими методами была, например, впервые доказана инвариантность числа измерений, эвклидовых пространств, то есть невозможность гомеоморфизма и - мерного эвклидова пространства с какой бы то ни было частью эвклидова пространства низшего числа измерений {теорема Brouwer’a).
К этому же отделу относятся теория векторных полей и теория неподвижных точек непрерывных отображений. В качестве примера приведем еще следующую теорему Brouwerа: всякое взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное преобразование круга самого в себя сохраняет неподвижной по крайней мере одну точку.
Ь
пого числа т. п. симплексов или элементов: в одномерныхмногообразиях симплексами (элементами) являются прямолинейные (криволинейные) отрезки, в двумерных — прямолинейные (искри в ленные) треугольники, в трехмерных — прямолинейные (искривленные) трехгранные пирамиды и так далее
Всякое одномерное замкнутое многообразие есть простая замкнутая линия, то есть фигура, гомеоморфпая окружности. Всякая плоская простая замкнутая линия разбивает плоскость на две области (теорема Jordanat.