> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Тснзориалъный анализ

Тснзориалъный анализ

Тснзориалъный анализ. Задачей тепзорп-ального анализа является получение новых тензоров посредством различных дифференциальных операций. Т. и. вводит понятие некоторого вспомогательного тензора, который получает название фундаментального; это название дается ому в виду того, что в некоторых специальных приложениях, па-пример в дифференциальной геометрии и механике, этот вспомогательный тензор имеет основное значение. В геометрии, паиример, он определяет собой характер трехмерного многообразия в квадратичной форме

d2=- gik dxt dxh

i, k

где g детерминант из всех gik и Aik его манор для члена с индексами i, 1с, будут компонентами когредпентного тепзора.

Пусть имеем тензор А(; можно показать, что

гдодл1 дМ 1 д9а д9а 1 о I ‘ 2 L дхк ’т“ дх( Ox. J

будет тензором второго ранга; можно показать также, чго

О Ак добудет тензором второго ранга, но что

ОА< дАкдхк дх(

нм не будет.

Как пример, заменяющий так паз. расхождение векторного анализа, можно указать па скалару 1 d

V g дхл

VgAk= Ф.

Можно было бы привести еще много других примеров образования топзоров дифференцированием.

Для получения дифференцированием новых тензоров вместо понятия фундаментального тензора вводят также весьма важное понятно тензориалъпого параметра. Тензориалъным параметром Г пазывают величину, которал, подобно тензору, преобразуется при координатных преобразованиях по особому закону, а имеппо следующему:

—i дха дхз, дх{ Ха д.п

а, а, 3 дХ) дХр. дха 1 дх} dXfi “Ja

Можно показать, что

д А,-

дхк

будет тензором.

Заметим, что с помощью тензориальных параметров можно получать тензора и инымиспособами. Выражения <| J-, приведенныевыше, представляют собой частный случай тензориального параметра.

Весьма большой пптерос представляют те тензорнальвые образования, которые можно получить с одними тонзориальнымп параметрами. Примером их будет тензор

F< _ drL drL

дхр дхх

+е{г°>г-гк1г;хон получил название тензора кривизны, теп-зориальных параметров.

Если Г(1 совпадают с то Fк[ получают пазвапио символов Римана второго рода. Из этих символов по правилу (6) легко получаются сокращенные символы Римана;

R=2g iagFx

i,a,K

и затем так называемый скалар кривизны Римана, получаемый применением той же теоремы (6):

R=Zg«Rik.

(, к

Этот скалар получил название кривизны по тому смыслу, который он приобретает в геометрии двух измерений; так же, как и сокращенные символы Римана, он имеет весьма важное значение в общей теории относительности (смотрите) Эйнштейна.

Наконец, последнюю часть Т. и. составляют его интегральные теоремы, которые являют-оя соответствующими обобщениями теорем Стокса и Грина.

Курсы Т. и.: В. К. Фреде рим и А. А. Фридман, „Основы теорнв относительно!ти. Вып. I. Т. и.“, Лнгр., 1924; Я. И. Френкель, „Тензорналь..ый к векториальный анализ“, Лнгр., 1925. Фредерикс.