> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Умножение

Умножение

Умножение. Пусть будут а и 5 натуральные числа. У.числа а на число 5 называется повторение числа а слагаемым 5 раз: а х5=а+а+а+ (5 раз). У. можно определить равенствами «х 1= — а, а х 5=[а х (5 — 1)] + я. Так. обр., определив Ия х 1, мы определим изъ второго равенства последовательно я х 2, а х 3, У. натуральных чисел обладает следующими основными характеристическими свойствами, которые нетрудно доказать: 1) свойство переместительности (коммутативности): я х 5=5 х я;

2) свойство сочетатфльпости (ассоциативности): (ях5)хс=ях(5хс); 3) свойство распределительности (дистрибутивности): (a+b)xm—axm+bxm. У. на дробь

_ am

определяется равенством -у х — =

ахт

~ЬхгГ’ °™юда вытекает, что при У.дробей предыдущия основные свойства У. сохраняются (принцип постоянства основных законов действий—Ганкель). Из определения У. на дробь видно, что такое У. сводится к нахождению части от данного числа.

Предыдущия определения позволяют впсстп общность и единство в рассуждения; в самом деле, если, например, Даны скорость в равномерного движения и время t, то пройденный путь представится произведением vxt, будет ли t целым илп дробным. Определение У. иррациональных чисел зависит от принятого определения самого иррационального числа. Определяя иррациональное число а как сечение в области рациональных чисел, рассмотрим все рациональные числа а, перваго класса и вое рациопальные числа а, второго класса, такъ что at <ая; точио так же, пусть будет (3 иррациональноечисло, представляющее сечение в области рациональных чисел 6, bа (Ьи<Ь2). Произведением сф мы будем называть сечение в области всех рациопальпых чиселъ а,6, и агЬз, разделяющее эти числа на два класса, такъ что а7Ь1<ажЬ3. При таком определении основные свойства У. и здесь имеют место. В силу того же принципа постоянства основных законов У. алгебраическихъ чисел должно быть определено равенствами (+а)х Х(+б)=+аб, (—а) х (—6}=4-аб, (4-а)×(—&)=—аЬ,

(—а)х(+б)=—ab. У. комплексных чисел а+от, c-t-di (и“=—1) определяется равенством (a-f д»)х (c+di)= —ас—bd+i(ad+bc). Наконец, каково бы ни было число А, всегда Ах0=0хА=0. Дальнейшее расширение понятия числа приводит к необходимости отказаться отъ некоторых основных свойств У.; так, в кватер пионах (г«м.) уже не имеет места закон переместительный.

Практические правила У. целых и дробных чисел излагаются в курсе арифметики; там же даются правила приближенного У., когда требуется знать результатъ лишь с известною точностью. В алгебре при У. одночленов и многочленов пользуются правилом сложения показателей у одинаковых букв umxan=amn. При У. рядов имеет место теорема Мертенса: если

СуТЬ СУММЫ ДВУХb РЯДОВb=Uo + Uj-f Uj-f =

Ve+Vj-f в,+из которых один—абсолютно сходящийся, а другой может быть и условно сходящимся, то ряд 3=u0v0-f (u,V0-fU0V,) + (UiV,-f UrVx-f U,vt)+— сходящийся, и его сумма равна произведению оуммх 2- Упомянем еще про символические У. Напр., селя S есть символ некоторой подстановки, а S символъ другой подстановки, то SS есть символ третьей подстановки, являющейся результатом последовательнаго выполнения первых двух; при этом, вообще, не имеетъ места закон переместительный, т. е. SSirSS.

А. Некрасов.