> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Уравнение

Уравнение

Уравнение. У. называется равенство, в котором левая часть не равна тождественно правой, так что равенство имеет место (удовлетворяется) только при частных значениях некоторыхъ входящих в него количеств, называемых неизвестными. Значения неизвестных, при которых равенство имеетъ место, называются решениями, или корнями У. По числу неизвестных У. разделяются на У. с одним, двумя и так далее неизвестными. Два У. называются равносильными, если они имеют одинаковия решения. Если дано У. А=В, где А и В суть функции неизвестных, то можно доказать, что У. A + D--B+D, АС=ВС (С’фО) равносильны данному; например: У

Зх—8=2л+2 и У.3:с—2х=2 + 8; У. =

О

= 1q и У. 2(х— 2)=х. Поэтому всякое У.

можно привести к виду Цх,у,г,)=О, где /не содержит дробей, и с у, г,— неизвестные. Так как в число решений У. Д“=Ь“ (и—целое) входят все решения У. Д=Д, то возведением въ степень можно уничтожить все ради калы в У.; например: Вх—2=3 и х—2=я. Если после этого левая часть У f(x, у, г,)=0 будет многочленом, то У. называется алгебраическим, и измерение относительно х, е/, г, его высшого члена называется степенью У., въ отличие огьУ.трансцендонтиых, каково, например, y.sinx=0. Решение одного У. со многими неизвестными есть задача неопределенная, так как такоо У. удо влетворяфтся непрерывною последовательностью решопиии; чтобы решения были уединенными вообще, должно быть дано столько У., сколько неизвестных. Совокупность У., удовлетворяющихся одними и теми же значениями неизвестных, называется системою совместных У Можно доказать (теорема Даламбера), что всякое алгебр. У. и-ой степени а0тп+я1и,—+ +ах+ап=0 имеет а действительным или мнимых решений, причем решения общого У. первой, четвертой степеней

Упругость есть способность тел оказывать сопротивление внешним силам, стремящимся или изменить геометрическую форму тел, или изменить объём, ими занимаемый; первое может иметь место в твердых, второе—в жидких и газообразных телах. Способность эта проявляется в том, что всякое тело при данных условиях температуры и внешнего давления занимает определенный объём, а если это тело твердое, то имеет и определенную геометрическую форму, причем постоянство этого объёма и этой формы обусловливается тем, что среднее расстояние между отдельными частицами тела вполне соответствует данной температуре и данному давлению. Внешния силы при своем возникновении стремятся изменить это расстояние, переместить частицы, деформировать тело. Эта деформация в виду податливости тела и осуществляется, но одновременно с пей развиваются между частицами тела взаимно уравновешивающияся внутренния парные силы, силы упругого противодействия, величина и направление которых таковы, что любая часть тела, мысленно от ного отсеченная, обеспечивает свое самостоятельное равновесие, развивая на поверхности раздела, мысленно нами проведен-пой, внутренния силы, совершенно уравновешивающия силы внешния, действующия на отсеченную часть. В таком состоянии тело называется упруго напряженным, или находящимся в состоянии упругого равповесия с впешними силами. Самия деформации и перемещения отдельных точек тела при этом таковы, что работа внутренних упругих сил по внутренним деформациямъ должна быть равна работе внешних силъ по деформациям точек приложения этихъ сил. Таким образом работа внешнихъ сил поглощается упругим телом в виде внутренней работы, величина которой называется упругой энергией тела, и все явление представляется частным случаем преобразования энергии. Эта упругая эпергия является энергией потенциальной и обратимой, так как но прекращении действия силъ тело вновь целиком восстанавливает свою прежнюю форму и прежний объём, причем, если этому восстановлению встречаются препятствия, тело производит мехапическую работу устранения этих препятствий, равную имеющемуся в пем запасу упругой энергии.

Идеально упруггим называется тело, которое воспринимает всю работу внешних сил в обратимой форме, т. е. которое целиком восстанавливает свою форму по прекращении действия внешних сид и целиком может работу внешних сил, затраченную па его деформацию, отдать обратно в виде механической работы при восстановлении своей формы. Идеально упругими являются тела газообразные и жидкия, из тел жетвердых идеальной У. обладают огпделъные кристаллы тел кристаллического строения, стойко сохраняющие свою форму. Вообще же твердое тело в большей или меньшей степени обладает не. идеальной У., но целиком восстанавливает свою форму, причем упругия свойства тел, с одной стороны, ограничиваются их неоднородной внутренней структурой, а с другой—величиной действующих впеишпх сил. Действительно, при достаточно значительной величине этих сил упругия свойства тела резко ослабляются и даже совсем прекращаются, и тело подвергается уже пе упругой, а остающейся деформации плп даже совершенно разрушается—распадается па отдельные части. Последпее имеет место в кристаллах при черезмерном значении действующих на нихъ сил. Изучение упругих свойств твердыхъ тел и упругих явлений в ннх ограничивается, следов., такими телами, которых съ достаточным приближением можно считать идеально упругими, и такими внешними силами, при которых идеально упругия свойства тел по нарушаются. При соблюдении этихъ двух последних ограничений упругое тело будет обладать еще тем свойством, вытекающим из предыдущого изложения, что его деформированное состояние при данныхъ значениях внешних сил зависит лишь от этих конечных пх значений и пе зависит от того, какам путем отдельныя внешния силы дошли от пуля до конечныхъ значений, так как если только пи одна изъ внешних сил за все время процесса пе превзошла предельного значения, нарушающого упругия свойства данного тела, то тело, деформируясь сообразно с изменениями въ значениях внешних сил и одновременно с этими изменениями, в конечном итоге может принять лишь форму, соответствующую копечному значению сил. Следует при этом утверждении лишь оговориться, что оно будет совершенно справедливо лишь для тел с тремя измерениями одного порядка, для которых данной комбинации сил соответствует лишь одпа возможная форма деформации. В телах, в которых формы де формации неустойчивы, и в которых при даи-пых силах мыслимы несколько форм деформации, т. е. в телах с одним илщ двумя исчезающими измерениями (прутья,1 пластинки), возможно как такое промежуточное, предшествующее конечному, значение действующих сил, при котором форма деформации предрешается для дальнейшихъ изменении сил в одном определенномъ направлении, так и такое их промежуточное значопие, при котором форма предрешается в другом направлении.

Отметим, что внутренния силы, взаимно уравновешивающияся, действуют в телахъ между частицами и до приложения к шим

Упругость.

442

441

какпх-либо внешних сид. Этн первичные внутренния силы обеспечивают цельность тела и противодействуют атмосферному давлению, испытываемому поверхностью тела, а иногда могут проявляться как результатъ каких-либо местных упругих деформации, вызываемых в теле, например, при его предварительной обработке. Этих первпчлых силъ в рассчот но вводят, и за внутренния силы У. принимают лишь те дополнительные внутренния сплы, которые вызываются собственным весом тела и приложенными к нему внешними силами.Это положение относится къ твердым телам. Конечно, газ, занимающий определенный первичный объём, или жидкость, заключенная в определенный сосуд, немыслимы и в своем первичномъ состоянии без внешпяго воздействия на пихъ стенок сосудов, в которые они заключены.

Таковы общия положения, определяющия упругия свойства тел природы.

Наука, изучающая явления, происходящия в идеально упругих телах природы, называется теорией упругости и является отделом математической физики, черезвычайно важным для целого рода вопросовъ научного естествознания. Так, вся теория звука есть отдел теории У., изучающий колебание упругих твердых тел, все теории распространения световых лучей и электромагнитных волн также основаны па законах теории У., все исследования, касающияся сейсмических явлений,приливов и отливов, вопроса о форме и впутреппем строении земли, основываются на теории У., и даже основпой вопрос о строении материи наиболее глубоко освещается именно изучениемъ явлений, происходящих в упругих телах. Значение Же теории У. для техники заключается в том, что именно из ея основныхъ положений исходят все выводы сопротивления материалов и строительной мехапикн, наукъ столь необходимых для современного инженера, и следует отметить, что особенно за последнее время инженеру, по мере усложнения технических задач, все чаще и чаще приходится прибегать к помощи теории У.

Теория У., изучая явления, происходящия в телах природы, подвергает эти явления тщательному математическому исследованию, и именно в точных математических построениях и заключается вся ея сила, какъ науки. Одпако она основывает свои выводы па ряде экспериментально доказанных фактов и положений, которые позволяют установить определение того идеально упругаго тела, с которым имеет дело теория У. Тело это в общем случае предполагается твердым, так как явления, происходящия въ жидких и газообразных телах, могут рассматриваться, за некоторыми оговорками, как частный случай тела твердого, как это будет в своем месте отмечено. Загемъ тело это предполагается nenpejmeuo заполненным материей (milieu сопиипи), и внутренния силы соответственно предполагаются непрерывно распределенными по мыелепнымъ внутренним сечениям тела, так что близъ каждой отдельной точки внутри тела внутренняя сила безконечно мала, и оказывается необходимым ввести нопятие о внутреннемъ напряжении, определяемом как предел, к которому в данной точке стремится от-

АР А 71

пошеше - > где ДР есть внутренняя спла, действующая на площади Д со. Если сила действует нормально к площади ш, то получаем нормальное напряжение (и), а если она действует в самой плоскости ш, то имеем тангенциальпое напряжение (t). Напряжения измеряются, как сила/площадь.

Предположение о непрерывности материи противоречит современному представлению о строении материи, которая считается состоящей из отдельных частичек, одпако принимается как рабочая гипотеза, облегчающая математические операции и позволяющая оперировать над непрерывными функциями при изучении внутренних деформаций и па-пряжений, между тем как при предположения об атомистическом строении материи задача с математической точки зрения очень осложняется и требует применения методов статистической механики. Деформации тела разсматриваются в теории У. с ограничительным предположением, что, во-периых, оне достаточно малы, а во-вторых, и каждом отдельном достаточно малом параллелепипеде, вырезанном из тела, соответственные ребра играни остаются параллельными и после деформации, т. е. достаточно малый параллелепипед может превратиться лишь в нарадделешшед же, но с другими длинами ребер и с другими углами между гранями. Это ограничение оказывается равносильным утверждению, что достаточно малый гааръдеформнруется вътрехоспый эллипсоид, т. о. в поверхность второго порядка. Оно не мешает тому, чтобы всо тело в целомъ подвергалось любой форме деформации, например, чтобы большая длинная прямоугольная балка изогпулась, искривилась, или чтобы большой шар получил весьма сложную копочную поверхность, так как вышеотмечепное ограничение относится лишь к достаточно малым элементам внутри тела.

Наконец, последнее допущение, вытекающее из опытов, гласит, что деформации находятся в линейной зависимости от напряжения, т. е. что воздействие каждого изъ панрижепий, действующих в районе данной точки, па каждую пз деформаций, возникающих в том же районе, выражается некоторым постоянным коэффициентом, или что 8/=аик. пк, где 8; есть деформация но направлению и пк есть напряжение по направлению /с; ам—постоянный коэффициент, вавиопций от физических свойств данного тела. Допущение это называется законом Гука и также может рассматриваться как рабочая гипотеза, упрощающая изучение упругихъ явлений, однако для идеально упругих телъ (кристаллы) при небольших действующихъ силах оно, поинднмому, вполне точно выражает явление, что особепио остроумно доказал Stokes, основываясь па изохронности колебаний упругих твердых тел.

С математической точки зрения два последних допущения, касающияся деформации и линейной зависимости между деформациями и напряжениями, могут рассматриваться какъ пренебрежение при разложении в ряд соответственных функций всеми членами, кроме первого, за малостью последующих членов. Отметим еще, что тело считается однородным при ого исследовании в том смысле, что каждая малая часть, выделенная из тела, рассматривается как обладающая всеми свойствами целого тела и как могущая в свою очередь быть разделенной на достаточно большое число частиц, сохраняющих все свойства целого тела.

На основании всех вышеприведенных ограничений и определений создала трудами ученых, из которых следует упомянуть ИИавье, -Иамб, Коши, Пуассона,

Максуэла, Сен Венана, Грипа, лорда Кельвина и многих других (смотрите сопротивление материалов), стройная теория У., основы которой изложены нижё.

I. Деф< рмация отдельных точек упругого тела сводится къ тому, что координаты каждой изъ атих точек (аз, у, г) при перемещении точки приобретаютъ некоторые приращения и, в и w, где м=Л (“. У, ). в=ft (“, 2/. г); в>=U (хи У>г)-При колебаниях тела величины и, в и w суть еще функции от времени t. Разлагая функции по строке Тейлора и пренебрегая всеми членами, кроме первых, найдем следующее значение приращения функций и, в, го для точки, координаты которой отличаются от координат начальной точки (%. у, г) на величины Да;, Л у и Л г:

ди , , ди , , дих--4- Л г —:

ду dz

дв , , дв , , де

-г— -р А у р— -р А z -г—,

OX 1 ’ и} дгдгв . . дгв . . дгв

-г- -4- Л у ---ЕДг - —.

дх 1 Оу dz

ди дв_ dw_ _

Ту~УуТгди. д вди дгв

дх~Ху~Ух’’ л, + XZ — х‘ —

dz

дудв, дгв

+ дГ,=Уг=г« и еще дв dz

то выражения

dz ду

dw ди_ 2

дх dz удвдх

Д и=Д хдх дидудгвдуперепишутся так:

1 А и и

2 У

= — ДО),

Л z — Д Z;

А г — А х;

Ду — А 2/.

Девять выражений, введенных нами, вполпе характеризуют как перемещения точки (х, у, г), так и деформации близ этой точки, и в частности определяют, во что нревра-

А в=А у. уу +

Д w=А z. гг -f-

2 У и>х. 1

тжа>„

д у + т х“ Д у +

Д х + Y уг. А z —J— ш2

д + Yjr д×+ Фх .

Гис. 1.

Д и=А х —4- Д у дх

Д в=Д х

Д w =Дл

Если обозначить —=х.

дх

щается весьма малый кубик со сторонами Да;, Ду, Д г (смотрите рисунок 1), а именно: хх,уу, z. определяют относительное удлинение граней Да;, Ду, Да; ху=у%, а:,=гх, уг=zy определяют относительное искажение угловъ между осями ОХ и О Y, ОХ и OZ, и ОУ и OZ соответственпо; наконец, величины и)х, гоу, со, определяют вращение частицы, как целого, вокруг мгновенных осей.

Первия две группы выражений характеризуют собою так называемую чистую деформацию без вращения, а третья группа—вращение частицы. Если величины <ох==шг =0, то дефюрмация совершается без вращения, и тогда перемещения имеют потенциал Ф,

т. е. и =

ёФ

дхдФ дФ т. -,

: —го=Кроме ТОГО, ду dz 1

должным начальным выбором осей координат можно достигнуть равенства нулю величин ху=ух; х,=zx; у.=zy. В этом случае начадьпо выбранные 3 оси координат остаются взаимно перпендикулярными и после деформации, т. ф. искажения угловъ между этими осями пе происходит. На этихъ осях можно построить эллипсоид деформации (рпс. 2), т. е. поверхность, определяющую

распределение деформаций по всем направлениям от данной точки. Эллипсоид этот может быть понимаем, как геометрическое тело, в которое превращается шар, вырезанный из тела близ точки х, у, z. Заслуживает впимания еще выражениедидх

+

дв, dw ду дг

Е,

называемое объёмным прпращепием тела, каковое приращение, конечно, влочет за собою и изменение плотности тела. Для жидкостей и пластичных твердых тел величина е —0, а потому, если деформация совершается без вращения,то выражение объёмного приращения приобретает вид у2 Ф=О, где (fl d2 rfi

дх2 ду2 дг1 :

т. е. есть выражение

Лаииласовой операции и, следовательно, Ф есть гармоническая функция. В результате отыскание выражений и, в, w совершенно решает вопрос о распределении как перемещений отдельных точек, так и деформаций в отдельных точках по всему объёму изучаемого упругого тела.

Используя термины и приемы векториального анализа, можно сказать, что ди дв дио

6=ax + + ~ои=div- воктоРа в> »)

2 (и>х, и>у, ш,)=вихревая производная вектора (и, в, w), т. е. curl или turbillion перемещения.

Величины хг, Уу, Zz, Ху, у„ 2Х по могут быть произвольными и независимыми другъ от друга, так как оне суть функции отъ величин и, в, tv. Исходя и в значения первых шести величин и производя соответственные группировки, молено получить въ результате необходимость следующих шести соотношений мелиду ними:

Уу <е2 гг __ <Ру _ дз2 ду2 дудз ’

п““. d		1 А.“, Ау) и дх ду дз 1 а» хх д1 гх
“ dyOz дх Э2 zz
дх2 1 2 - А- / дхдг ду & хх,		дг1 дхдз ’ ’ _ fy“, д“х. <М , дх ду ‘ де ) а5 Уу а2 ху
ду2 + „ а2 Лг адхду дз		ёх2 дхду ’ ( _дУг., дХу V дхдуОг

II. Напряжения в отдельной точке упругого тела изучаются такжо посредством рассмотрения элементарного кубика, вырезаннаго внутри тела, с ребрами, параллельными осям координат. Если назвать напряжения, т. е. силы, приходящияся на единицу площади, так: Хх, Yy, Z2 суть напряжения. нормальные к граням, т. е. параллельныя осям OX, OY, OZ; Ху, Yx-, Хг, Zx, Y„ суть напряжения, действующия в плоскости граней параллельно осям, обозначеннымъ прописной буквой, то мы увидим, что этими девятью величинами вполне определяются все те внутренния силы, которыя, действуя на поверхности грапей, создают упругое равновесие частицы (рнс. 3). Очевидно, опе суть каждая функция величин х, у, г и, при движении, еще времени и. Конечно, вышеотме-ченпия величины относятся к граням, прилегающим к точке (х, у. г), а на противоположных гранях опе направлены протнво-пололспо и отличаются па дифференциал соответствующей функции. Кроме того, на частицу действуют объёмные силы, т. е. силы различного происхождения, равномерно распределенные по объёму тела. Называя проекции на оси координат этпх сил, отпесенпыхъ к единице массы, через X, У, Z и называя плотность тела р, имеем полное значение этих проекций в видерХ dxdydz; pYdxdydz, pZdxdydz. Возможны при колебательном движении и силы инерции, проекции которых на оси координат суть:

г)1-’и д2. в д- w

е ои и dxdydz; f dxdydz; р2 —Г dxdydz.

Никаких других сид к частице не приложено,раз она взята внутри тела. Определяя условия ея равновесия, находим следующия шест уравнений равновесия упругой частицы в врострапстве:

а) Приравнивая нулю моменты всех силъ относительно осей координат:

Xy=Yx.. . (1)

Х2= Zx.. . (2)

Г,=Д,. .. (3);

б) проектируя псе силы на оси координат:

дХх

+

дГ„

dZ2

(flu

дх

--У ду

+

дг

Ч-рХ

(4)

дХудх

+

dYy У

+

д/, дг

+ рУ

д2 V — Р dt

(5)

дХг

+

дТ,

dZz

д“ив

дх

ду

+

дг

+ р х

= РЖ

(6)

Определение величин Хх, Yv Z.. Ху, Гг, Zx в функции от х, у, г, а иногда и от

SS

Рвс. 3.

t, также исчерпывающе освещает распределение напряжений внутри тела, как определение величин и, в, w и соответственно хп Уу< ев ху У:> гх освещает распределение перемещении и деформаций внутри тела.

На поверхности тела должно существовать равновесие между впешнимн силами, приложенными к поверхности, и внутренними силами, действующими в соответственной части поверхности, почему на поверхностию!) площадке, направление нормали к которой мы назовем через в, должны действовать следующия условия равновесия, если назвать проекции внешпих сил, ирнложеппых къ этой площадке и отнесенных к единице площади, через Х.„ Yv, Хв.

X, =Хх Cos (хч) -f- X;l Cos (yv) X. Cos (гв). Zt=Zx Cos(xv) -f- Zv Cos (i/v) -f- Z, Cos trv).

Y, + Y. Cos (xv) + Yy Cos (i/v) -)- Y, Cos(sv).

l

Косинусы появляются вследствие того, что площадки действия впутренппх сил соответственно мепее площадки с нормалью в Итак, искомия шесть функцийXxZx должны удовлетворять поверхностным условиям.

Так же, как и при изучении деформаций, можпо пайти для каждой отдельной точкитакие оси. при которых Xy=Ysz=Zx—0, т. е. напряжения на гранях развиваютсялишь нормальные, и па этих осях можно построить эллипсоид напряжений (эллипсоидъ Ж2 у- г2

Ламе) у2- -j- -syj- -+- -н=-=1, каждый радиусвектор которого ость напряжение па одной из плоскостей, проходящих через рассматриваемую точку.

Для того, чтобы определить, къ какойименно плоскости отпоснтся напряжение, выражаемое данным радиусом-вектором, сле-

дует построить при даппоии точке, кроме эллипсоида папряжений, еще другую поверхность (называемую днректрисспой) х2 уъ а3

+ =1, которая, как видно

“as -1 уиз ея выражения, может представлять собою или эллипсоид, имеющий главные оси, совпадающия с эллипсоидом папряжепий, или сочетапие двуполого и однополого гиперболоидов, разделенных общим асимптотическим конусом и также имеющим оси, совпадающия с осями эллппосонда папряжений (смотрите рпс. 4). Эллипсоид для днректрисспой поверхности получается, когда все три па-прялсепия одного знака, а гиперболоиды—когдаа) В идеальной жидкости Xr — У=Z, как в покое, так и при движении, и все суть папряжений сжатия. Эллипсоид папряжений, так же как и директриссная поверхность, превращается в тар. В этом случае для любых осей Ху=Y, — Zx= О, такъ как тангенциальные напряжения в любомъ направлении отсутствуют, ибо пе могутъ проявляться в жидкости. Объемное расширение г=О.

б) В вязкой жидкости в покое эллипсоид напряжений также—пиар, по при движении развиваются не свыше известнагодва напряжения одного знака, а третье—другого. Поверхности эти обладают тем свойством, что плоскости, касательные к отдельным точкам их, и сути плоскости действия для того радиуса-вектора эллипсоида напряжений, продолжение которого проходит черезъ точку касания. Ясно, что асимптотические ко-пвсаотделяют напряжение одного знака отъ напряжения другого знака, и что по направлениям образующих этих конусов развиваются лишь тангенциальные напряжения. Лишь совместное построение эллипсоида напряжений и директрисспых поверхностей позволяетъ полностью изучить распределение папряжений в данной точке. Отметим еще, что величина j0 _ Xy+Yy + Z,

3 3

называется средним напряжением растяжения в данной точке.

В зависимости от того, каково физическое состояние тела, получается то или ипое соотношение между главными напряжениями:

Гис. +.

предела и тангепциальпия напряжепия вязкости, вместе с чем ранепство главпых папряжепий нарушается. Одпако Хх, Yy и Z, остаются исключительно отрицательными, и днректрнсспал поверхность остается эллипсоидом. Объсмпоо расширение г — 0.

в) В сыпучем теле при достаточно малых размерах частичек тела можпо также с известными допущениями установить наличие уиругого напряженного равновесия (теория Рэпкина) и построить эллипсоидъ папряжений. II здесь все главные напряжения отрицательны, а тангепциальпия по могут превосходить известного предела, зависящого от физических свойств тела.

г) В пластическом твердом теле эллипсоид напряжений отличен от шара, и главные напряжения могут быть и разнозначные. Тангенциальные напряжения ограничены известным проделом, более узким, чем предел допустимых главных напряжений, по могут иметь место и в состоянии покоя. Объемное расширение е=О.

д) Наконец, в идеально упругом твердом теле, образцом которого являются кристаллы, пикаких ограничений для главных и тангенциальных напряжений в пределах упругих свойств тела нет. Главные напряжении могут быть разных знаков, и директриссиия поверхности гипер-болоидальиыми.

И

Отметпм ядесь, что тангенциальное напряжение, являясь присущим гл. обр. твердым телам, проявляется частью как след-ствиевпутреннего сцепления между частицами, частью как следствие внутреннего между ннмп трепия, препятствующого сдвпгу, чтб выражается формулой и=у -f- fn, где и есть дап-ноо тангенциальное напряжение, у — величина силы сцепления, f— коэффициент внутреннего трепия, и—нормальное напряжение, вызывающее это трение. В вязких жидкостях, сыпучих и пластических телахъ доминирует величина ип, в идсальпо упругих твердых телах—величина у.

Очень упрощаются все формулы для плоского напряженного состояния, т. е. для случая, когда одно из главных напряжений равно 0. Тогда эллипсоид превращается въ эллипс, а гиперболоиды в гиперболы. Интересен случай, когда Хх — — У,„ называемый случаем чистого сдвига. Здесь эллипсоид представляет собою круг, а гиперболы становятся равнобочными, причем max

здесь ~тт Х»=± Хх=Y<j (Г™. 5).

Зпачение главпых напряжений max ХЛ и min X- через определенные для случайных осей нормальные папряжепия Хх, Уу и тапгенциальпоеХу выражаются вообще так:

max

min

max min XJ

= max Xx — min Xx, max r

т‘ °’тигГв Равп0 полуразностп главныхнапряжений. Направление max Ху, образует угол 45° с направлением главных напряжений. Чем менее разность между главпымн. max

напряжениями, тем мепее——Хю и вообще ивы у утем мепее развиты в точке тангенциальные напряжения. Можно доказать, что и в трех измерениях максимум тангенциальных напряжений выражается полуразпостыо главных напряжений и действует па площадке, проходящей через среднее но величине напряжение и делящей пополам уголъ между наибольшими и наименьшими напряжениями.

Если игнорировать влияние объёмных сил и рассматривать тело в покое, то выражения равновесия напишутся так:

дХх				дХ„,		дХг
дх		+		ду +		dz		= 0.
dYx				dYv		dY3
дх		+		ду +		dz		= 0.
дх				дЛ, ду +		dZg dz		= 0.

Дж. Максуэл в 1870 г. показал, что в этом случае можно найти некоторые функции 7л> b 7.3- удовлетворяющия такому условию, что

Х„ =

дуоп-Ь

а + 0г2~; ХУ=-

2 у— дг“ + дх2 ’ х“~-7 __ 7и 7 _

а» + оиг; ——

дхду

da7t

дудгииьдгдх

Для случая плоского папряженпого состояния этн три функции приводятся к одной— /3, при которой

Т - — V _ i!iL. V — ИИ/1

ду‘ > х у ~ дх“ ’ V- дхОу

Существование этой фупкцип было впорвые указано астрономом Эри (1863 г.). Конечно, функции должны быть подобраны такимъ образом, чтобы напряжения удовлетворялиповерхностным условиям, и чтобы деформации, вызываемия этими напряжениями, удовлетворяли выше выведенным уравнениям совместности деформации.

В некоторых случаях пространственного напряженного состояния возможно провести аналогию между распределением внутри упругого твердого тела величип и направлений перемещений и напряжений и распределением в силовом поле силовых линии и поверхностей равпого потенциала в электростатических задачах (например, аналогия между задачей Буссипеска о действии сосредоточенной силы и задачей о поле, вызываемомъ плоскими проводниками). Встречаются и гидродинамические аналогии, передко много способствующия решению отдельных задачъ (аналогии в теории кручения).

В некоторых пространственных задачах оказывается возможным проведение „изостатичсскпхъ“ поверхностей, образующих три системы взаимно пересекающихся под прямыми углами в любой точке тела поверхностей, обладающих тем свойством, что касательные к линиям пересечения этих трех поверхностей в любой точке дают направления главных напряжений нъ этой точке. Случаи эти все же довольно редки.

Дифференциальные уравнения равновесия внутри упругого твердого тела могут быть выражены, кроме ортогональных прямолинейных координат, и в любой ортогональной криволинейной координатной системе, в частности в цилиндрических г, Ф, г и в полярных г, Ф, Ф координатах.

III. Зависимость между деформациями и напряжениями выводится, исходя из выражения работы упругих сил, развивающихся в теле во время деформации. Легко установить, что при отсутствии электростатического поля и при адиабатическом ходе процесса, т. е. когда тепло во время перехода тела из недсформированного в деформированное состояние не уходит из тела и не входит в ного, прнращопие внутренней энергии тела, т. е. приращение термодинамического потенциала па единицу объёма выразится в достаточно малый промежутокъ времени It так:

W— Хх. Ихх 4 у. Иуу -f- Zz. Iz, -f-+ Ху Ц/ + h/г + zx &

Правая часть этого выражения должна быть и полным дифференциалом по всемъ деформациям. Следовательно, существуетъ функция деформаций W, обладающая темъ свойством, что

_д]В г _ йТГ r _ dW Хх~~ дхх ’ YV ~ ду w ;Z>- >

в » ИЖ

в~дхв дгх

Эта-то функция и выражает значение упругой энергии, накопленной в теле во время всего процесса его перехода из педсформн-рованиого в деформированное состояние. Что касается до вида этой функции, то он определяется тем, что теория У. припимаетъбез оговорок закон Гука о лннойпой зависимости между напряжениями и деформациями, выражая его так,что каждоо из шести напряжений Х„ Y;/, Z, Ху, Yz, Zxeсть линейная функция всехъ шести деформаций, т, е. выражается черезъ них и через некоторые постоянные для данного тела коэффициенты так:

Хх=Оц Хх -f- й|2 у у “I- «13 zz -f-+ «11 ху “Г «15 Уг 4~ «16 гх е

Yy=“21 Хх + «22 У у + «23 +

~Ь а21 ху + а23 У г ~Ь «28 zx > гг=а31 хх -I- а,2 у у + а33 +

+ «31 хи «35 У г “f“ «36 гх >

Ху =ап хх -|- аи2 у у + «из гг -J-«1| ху + «15 Уг + «16 гхи Yz — «51 хх~И~ «52 У у 4 «53 Зг 4

4~ «51 ху “4 «.«5 У: 4~ «56 гх !

Хх=аеи Хх -(- «62 У у “Ь «63 гз 4“

+ «61 Ху 4~ «65 Уz + «66 гх > итого имеется 36 коэффициентов.

Одиако, так как напряжения суть производные от выражопия упругой энергия по отдельным деформациям, то ясно, что сама функция В должна быть однородной функцией второй степени от шести деформаций 2 W—

= «и и Хх2 + 2«и2 хх -Уу + 2«из хх гг

+ 2аи хл хв + 2а,5 хх уг -’г «22 У у“ 4~ 2 «23 У у гг

4~ 2«25 У у Уг

-| 2аи гг Ху

+ «33 “г2

4“ «и Ху1

+ 2«,5 Ху у, + «55 У г2

+ 2«16 Ху гх + 2 «д Уу Ху + 2 «26 Уу гх + 2«з5 л, у2 + 2«зб Зг zx 4” 2а1в ху zx Н~ 2«56 У г гх

«66 3X1

+

+

+

4-

~Г

Таким путем число коэффициентов У. сводится к 21-му в самом общем случае Таким получается выражение упругой энергии при принятии закона Гука в основание наших рассуждений. Функция W есть составная части. термодинамического потенциала, являющагося самой общей функцией состояния, зависящого от 3-х факторов: температуры, условий упругого равновесия и вида электростатического поля.

Коши, выводя соотношение между напряжениями и деформациями из взаимодействияи центральных сил, действующих между отдельными частицами твердого тела, приходит к заключению, что число постоянныхв самом общем случае еще меньше, а именно, равпо 15-ти, так как из его выводов следовало, что

023=°а и а31 — а55; 0)2=0|иб ’>

О),=я56; О05=ахи; Ojj=0)5

Те же выводы привели его к заключению, что наблюдаемое при линейном расширении деформируемого тела поперечное сжатие находится к этому расширению в постоянном отношепии, и это отношение о=0,25.

Соображения Коши вызвали некоторые принципиальные возражения и не вполне подтвердились экспериментальными данными, поскольку дело касалось значения коэффициента и, оказавшагося существенно различным для разных упругих твердых тел. Одпако теория Коши имеет .и своих сторонников и носит название „Rari-constanfs theory“, т. е. теория малого числа постоянных, в противоположность другой, более распространенной „Multi-constants theory“,изъ которой мы и будем исходить в дальнейших соображениях. При этом мы предполагаем, что в каждой точке тела можно провести такие взаимно перпендикулярныя оси, соответственно направленные, что значения коэффициентов Оцас6 остапвтся для всех точек тела постоянными при условии пользования и каждой точке соответственными осями. Если эти оси еще и остаются всегда параллельными между собою, то мы имеем дело с параллельной однородной упругостью,если же оси должны быть проводимы лишь соответственно, что может случаться, например, когда параллельно одпородпое упругое тело исогпуто хотя бы по винтовой линии и пе потеряло от этого своих упругих свойств, то получается иная (форма однородной У., в нашем случае — криволинейная или винтовая однородная У.

Если в теле имеются физические плоскости симметрии,т. е. плоскости,относительно которых все физические свойства симметричны, то число постоянных быстро падает. Так:

а) при одпои плоскости симметрии (т. е., папр., для кристаллов одпоклиномерной системы—см. симметрия),

°1« — Я1В=°2«=°25=«31=а35=аЫ=аМ —О,

т. е. число постоянных падает до 13;

б) при трех взаимно нерпенднкулярпыхъ плоскостях симметрии (т. о., например, для кристаллов ромбической системы—см. там же) еще и оц=л, в=язв=я45= 0, т. о. имеемъ 9 постоянных;

в) при трех взаимно прриепдпкулярныхъ носкостях симметрии, имеющих на одинаковых от себя расстояниях одинаковыя физические свойства (т. ф., например, для кристаллов право ‘ьпой системы, в которых отно

шение осииовпь х ь измерений есть 1:1:1,—см. там же),

Я),=яг,=я83; Я),=я55=ясв; а23 — =Я|2=я13, т. е. имеем всего 3 постоянныхъ аИ1 «и. а12

Выражение упругой энергии папишется так:

2W=яп (х“ + у г + О + Я), (/ + + У г- + „) 4- 2Я)2 Си У у + Хх г, + уу г,), а папряжепия выразятся так:

~ °11 Хх + а12 (Уу “Ь ф)

Ху — а а Ху

ИИакопец, при теле, обладающем шаровой изотропией, т. е. при таком теле, в котором все плоскости суть плоскости симметрии, перемена осей координат по должна измепять значения коэффициентов и, конечно, не должна влиять на выражение 2 В. Для этого необходимо, чтобы 2яи -f- я, — яи=0, нлн,

ЧТОбы ЯИ=0)2 + 202,.

-Тамо для этого случая, наиболее важного в теории У., назвала12 ===

Я)и=р.

Очевидно, что яи =×-{- 2р.

Итак, число постоянных сведено к двум. Выражение упругой энергии в этомъ случае можио переписать так, называя

1 + Уу + г,= Д:

2W=(X + 2р) Д2 +

— 4у„га — 4г,хх — 4ххуу)

Хх =×Д -f 2р. хх и г. д и так далее

Ху=у .Ху нт. д и так далее

Легко установить зависимость между постоянными Ламо×и р и применяемыми в теории сопротивления материалов модулями Е и G, а также вышеотмеченным коэффициентом а, называемым коэффициентомъ II) сонь.

Вазс.матрпвая случай Хх=А и остальные напряжения=0, найдем:

р(ЗХ + 2р) X

; G=р; в =

Е--

X -ф ри обратно Х=

Еа

(1 + ) (1 где Е есть модуль Юнга.

2(Х + р) Е

2 а) -2(1+0)

Ясно, что если условии Коши справедливы, то×= р ц сг=0,25, илн имеем одну постоянную.

Приведем теперь таблицы некоторых постоянных, определенных в разное время видающимися физиками и исследователямипо отношению к телам, принятым за тела с шаровой изотропией:

		Р		Е		о=в		<7
Сталь		7,840		2.139.000		819.000		0.310
Железо		7,077		1.963.000		769.000		0,275
Латунь		8,471		1.075.000		316.000		0,327
Медь		8,843		1.234.000		447.000		0,378
Стекло		2,942		6.030.000		240.000		0,258

Нельзя, конечно, по отметить, что цифры эта всо же несколько условны, так какъ материалы далеко не изотропны. Однако изъ них ясно видпо, что гипотеза Коши относительно о=0,25 пе подтперл:дается в общемъ виде. Еще интереснее в этом направлении выдающияся работы Фб’ГИгта, исследовавшаго упругия постоянные в однородных кристаллах правильной системы. Вот некоторые его результаты:

		Е		«и		°И2		а41		а
Пирит				3.6SO		—483		1.075		-W
Плав.шпат.		1.470		1.670		-1-457		345		—
Сильвин		372		375		+198		65,5		—

II здесь отношения Коши пе имеют места. Заслуживают внимания результаты для пирита, давшие для а отрицательное значение.

Последнее слово в этом отношении еще не сказано. Быть может, дальнейшие опыты, ил. обр. наии кристаллами, внесут повый свет в ату область и если и не подтвердятъ целиком теории Коши, то. по крайней мере, установят большую закономерность в значении величины <7. Что касается до величины Е, то нельзя не отметить здесь работы Вертгсйма и (позднее) Фессендена, определивших Е для ряда металлов и получивших результаты, позволяющие принять, что Е.А2=Const., где А — атомный объём. Этот интересный результат заслуживаетъ большого внимания.

Отметим еще, что через Е и G соотношения между напряжениями и деформациями в изотропных телах выражаются так:

хх= Е [Хх — о (Г„ + Zt); Ху=G. ху

Выше были выведепы шесть дифференциальных зависимостей между элементами деформаций, которые должны иметь место в упругом теле. Эии же зависимости могут быть заменены аналогичными зависимостями между элементами напряжения, принимающими особо простой вид, если действием объёмных сил можно пренебречь.

(1 + о) V аХх + -=0 и так далее

д“Ф

(1 + а) 0 и так далее, где

52 й2 й2 _

~ дх“ Wi,Q~ Yy + Zr

Эти зависимости называются зависимостями Бельтрами.

Также и первия три из шести дифференциальных уравнений равновесия могут быть переписаны так: в дЛ

+ Г Г2 + рХ =О

При отсутствии объёмных сил получаем из них (X -j- 2(0 у2 д — о, т. е. Д есть гармоническая функция, удовлетворяющая уравнению Ламнласа. Далее можем доказать, что у‘Ф=0; у2“=ГЧу=+ш. _ о.

Так. обр. для решения задач теории У. мы имеем: а) шесть уравнений равповесия в той или иной форме, б) шесть зависимостей между напряжениями и деформациями, в) поверхностные условия и г) шесм дифференциальных зависимостей между элементами деформаций или взамен их шесть уравнений Бельтрами.

Этими-то данными и следует пользоваться, чтобы определить искомия и, V, W и Хх, 1 у, Z., Ху, ¥г и Zx в функции отъ х, у, z и иногда от t.

При помощи вышеприведенных уравнений можно доказать, что 1) в трех измеренияхъ задачи теории У. имеют лишь одно решение; 2) выражение упругой энергии, соответствующее правильному решению любой задачи, имеет минимальное возможное для него значение, т. е.

W (Их. dy. dz=0. При решенияхзадач теории У. встречаются огромные математические трудпости, однако совместные усилия математиков, механиков, физиковъ и ученых техников постепенно преодолевают эти трудпости, и теория У. всо более расширяет сферу своего воздействия какъ в области научных достижений, так и въ области технических приложений. Гой же теории У. суждено стать главным орудиемъ для окончательного освещении вопроса о внутреннем строении материи, и безспорно она справится и с этой первейшей задачей мироздания, даже если для этого придется перестроить всю теорию и приспособить ее къ изучению междучастичпых сил, отказавшись от рабочей гипотезы о непрерывной среде.

П. Велихов.

выражаются явно в функции их коэффициентов. ИИапр.:

«0г + а1=0,а:=—1; а0хг + агх + а2 — О, ао

— а, ±Ка,2—4а0агх =-1 -в—

2а,

У высших степеней вообще неразре-ииимы в радикалах (теорема Абеля), и их прихо иится решать приближенными методами; эти методы излагаются в высшей алгебре. Если не требуется большой точности, то можно определить действительные решения У. /(г)=0 графически, вычеочивая кривую y-f(г) и определяя на чертеже абсцис сы ея точек пересечения с осью абсцисс у=0. Трансцендентное У. можетъ иметь безконечное множество решений:

например, sin;r=~; здесь х-.+2кг.(к—,любое целое число). Системы У. первой степени проще всего решаются при помощи определителей. Напр.: ах+Ьу=с,

«,х + =с„

х =

с b I с б, I ~ab аф,]

сЬ, —Ьс1 abt—Ьаи —

а сс- с,

а Ь

а, б,

=- а- Система высших ао, — оа,

степеней — приведением различными приемами к одному У. с одним неизвестным. Если не требуется большой точности, то можно получить решение, например, У. f[x, </)=0, о(х, у)—О графически, вычерчивая линии f—0, 9=0 и определяя на чертеже координаты точек пересечения этих линий. См. курсы элементарной и высшей алгебры.

У. дифференциальные см. исчисление белконечно-малых.У. интегральные суть У. вида

9 (Х)=ф (x)-f I ) у [у) k (.х, у) dy,

где даны функции фи k (ядро) и требуется найти функцию 9; I, а, b — постоянныя; эти У., введенные недавно фредгольмом, играют большую роль в мат. физике.—Литература весьма обширна. См. Heywoodet Frichet, „Les Equations integrales“. А. Некрасов.