> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Функции гармонические
Функции гармонические
Функции гармонические. Ф. г.
двух независимых переменных х, у называют функцию V (ж, у), которая в данной области (смотрите функция) непрерывна, однозначна с таковыми яге производными 1-го порядка, допускает производные 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа:
д-v. ту _0
дх2 дуг —
(1)
Из определения Ф. г. выводится, что она допускает непрерывные производные любого порядка и что она аналитическая функция двух переменных х, у, т. е. в окрестности любой точки {х0,уп) области разлагается по степеням разностей (х — х0), (у — в ряд Тэйлора:
V=V0 + jr[r1(x-Ха) + Г2 (У — 2/о)] + ГТ2 [ У Л (® - х0у + 2 Га (х - х0) (:У - У а) +
+ Г,АУ-УоУ] + .-- (2)
где V0, Vi, F3, Vn, Vja, FM значения Fe ее производных 1-го, 2-го, порядков в точке (х0, у0). Все частные производные Ф. г.—тоже Ф. г., как легко убедиться, дифференцируя уравнение (1). Ф. г. двух действительных переменных х, у находится в тесной связи с аналитической функцией комплексного переменного х- -гу (смотрите функция).
Если имеем две функции U, V гармонические в области, ограниченной контуром С, то, на основании так-на-зываемой теоремы Грина, для них имеет место соотношение
,/>4Ь)·=о, о)
сгде интеграл берется по контуру С, ds — дифференциал дуги контура, ~ и — производные по нормали. Полагая 17—1, получаем соотношение
/ ЛГа8=0’ W
симеющее место для всякой гармонической в данной области функции (в предположении, что на контуре С
дУ
существуют частные производные,
линейной комбинацией которыху dV,
является -г).
Непосредственным вычислением можно убедиться, что функция log —, гдег=]/(ш — а)3 -f- {у — Ь)2, т. е. г есть расстояние точки (ж,у) от
точки [а, Ь), удовлетворяет уравнению Лапласа (1). Таким образом функция
log ~ есть Ф. г. везде, за исключением точки (а, Ь), где она обращается в бесконечность. Пусть мы имеем функцию 77 гармоническую в области, ограниченной контуром С. Возьмем точку (а,Ь) внутри этой области и опишем около нее окружность малым радиусом о. Контур С и окружность радиуса р ограничивают двусвязную область (смотрите функции), к которой применим формулу (3), полагая V=log —. При этоминтеграцию придется производить в положительном направлении по контуру О и в отрицательном по окружности (смотрите черт.). Меняя направление последней интеграции, разбивая интеграл на два и перенося второй во вторую часть равенства, получаем:
/О
d]g-
dn
Лп)й8=/
U-
rflgy
dn
С
Замечая, что на окружности Г, г — р, ds=рйв, где 0 — полярный угол, преобразуя второй интеграл и переходя к пределу для р=0, получаем
V(a,b)=±ж)“. <5>
с
Введем теперь в рассмотрение так называемую функцию Грина данной области. Это есть функция, которая на контуре С равна нулю, везде внутри гармонична, за исключением одной точки (а, b) — полюса, где она обращается в бесконечность, как log —. Обозначая эту функцию через д (ж, у а, Ь), имеем
9=4 у + У ),
где (ж, у) есть функция уже везде гармоническая в данной области. Применяя формулу (3) к функциям U и ш =
— д — 1д ж пользуясь формулой (5),
получаем
U (a, b)=-~- f Vds, (6) стак как на контуре д=0. Формула (6) позволяет находить значения Ф. г. 77 в любой точке области по ее значениям на контуре. При этом предполагается, что известна функция Грина для области и что на контуре существуют (непрерывные) производные функции Грина. Доказательство существования функции Грина для любой области было дано Осгудом {Osgood). Задача определения Ф. г. по ее значениям на границе области есть знаменитая задача Дирихле. Формула (6) дает ее решение при сделанных предположениях, но возможность решения этой задачи доказана при самых общих предположениях относительно области и независимо от функции Грина.
Если, в частности, контур С есть окружность, то функция Грина легко строится, и из формулы (6) получаем известную формулу Пуассона
2it
U(a,b)=±f UR,_2R-g_,)+f.m 7)
бдающую решение задачи Дирихле для круга. В этой формуле R — радиус круга, р, 0 — полярные координаты точки («, Ь), в которой вычисляется значение функции 77; через 77 обозначено значение 77 на окружности.
Предполагая, в частности, что точка (а, Ь) совпадает с центром круга, получаем формулу
2<г
U(a,b)=~f Udb, (8)
окоторая может быть легко получена непосредственно и дает значение Ф. г. в центре круга по значениям на окружности; ф есть полярный угол полярной системы, имеющей полюс в центре (а, b) круга. Из этой формулы явствует, что значение Ф. г. в центре круга есть среднее из значений на окружности (теорема Гаусса), а отсюда следует, что ф. г. в области не может достигать ни наибольшего ни наименьшего значения ни в одной точке внутри области.
Для доказательства, которое ведется от противного, достаточно около точки, в которой, согласно допущению, функция достигает наибольшего или наименьшего своего значения, описать круг достаточно малого радиуса, чтобы он целиком находился внутри области, и применить формулу (8).
Из теоремы о наибольшем и наименьшем значении легко выводится, что задача Дирихле для области, ограниченной любым контуром, может иметь только единственное решение.
В самом деле, пусть ТТг и 772 две Ф. г., совпадающие на границе области. Их разность U=U1— U2, очевидно, тоже Ф. г., исчезающая на контуре области, а такая функция необходимо равна нулю везде внутри области, так как в противном случае она достигала бы своего максимума или минимума (положительного или отрицательного) внутри области.
Из классических методов решения задачи Дирихле можно упомянуть о методах Neumann’a, Schwarz’s, Poincare. Новейшие изыскания по задаче Дирихле принадлежат, между прочим, Hilbert’y, Lebesgue’y, Perron’у, Biesz’y, Люстернику.