> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Функции сммйетричесние>
Функции сммйетричесние>
Функции сшшйетричесние> Функция f(xv х2, хп) нескольких аргументов называется Ф. с., если она не изменяется при всевозможных перестановках этих аргументов. Так, например, функция трех переменных хи х2, ж3 есть Ф. с., если имеем: f (xv х2, xa) — — f(x 1» Х2) — f{x2, Xg, £Bj) — f (x2, X, Xg)—
= f{xz, xv x2) — f(xs, x2, £C1). Так как всякая перестановка м. б. сведена к последовательному взаимному перемещению двух элементов, то ф. с. можно определить иначе, как функцию, не изменяющуюся при перемещении (транспозиции) любых двух аргументов.
Простейшие („элементарные“) Ф. с. и аргументов суть:
2 хх= xt + х2 -f х3 + + хп,
Б х, х2= жг х2 + х1 хг + ж2 xs -f + x„_t хп,
Б £C1 х2 xs — £C1 х2 Xg -f- xx x2 x4 -f- Xn 2 xn — i
п, наконец, xx x2 xa xn.
Знак суммования Б в теории Ф. с. имеет тот смысл, что берется сумма всех тех выражений, которые получаются из выражения, стоящего под знаком Б, всевозможными перестановкамибукв xv х2____хп и которые различнымежду собою.
Если имеем уравнение п-ой степени {х—х{) (ж—ж2) {х—хп)=хп- -р1 ж“-1 +
4- f>2 х’1~г + - -Рп=0 (1) с корнями хх, хг, хп, то непосредственно очевидно, что элементарные Ф. с. его корней равны, со знаком 4- или —, коэффициентам уравнения:
Б жi=-Pi,
Б х1 х2 — р2,
Бж1 ж2ж gZ=-Pg, х1 х2, хп — (-1 )прп.
Основное положение всей теории Ф. с. состоит в том, что всякая рациональная Ф. с. рационально выражается через элементарные Ф. с.
Рассматривая, как выше, уравнение (1) и-ой степени с корнями xv ж2, хп, мы это же положение можем высказать в такой форме: всякая рациональная Ф. с. корней уравнения рационально выражается через коэффициенты уравнения.
Положение это доказывается постепенным сведением Ф. с. к более и более простым. Всякая рациональная Ф. с. есть частное от деления двухцелых Ф. с., и, таким образом, положение наше приводится к положению: всякая целая Ф. с. есть целая функция элементарных Ф. с. Целая Ф. с. распадается на совокупность „типов“, т. е. таких функций, которые получаются из одного членасуммованием всех различных членов, получающихся из данного всевозможными перестановками. Для такого „типа“
Б ж1 ж х1 иногда употребляют сокращенное обозначение (Д i2 in). Простейшие из типов получим, взяв число показателей ivi2, равное одному. Такая Ф. с.
{г)=Б х — ж -f- х‘2 + + х‘песть не что иное как сумма г-ых степеней всех аргументов и обозначается обыкновенно через s,-
Для функцш s(- легко выводятся формулы Ньютона:
Si + Pi — 0 s2+:Pi st + 2р2=0 Ss+Pi S2+P2 si + SPs=0
sn +Pl sn-1 +P‘i V-2 + + » Pn — 0 Vfi+iT s„ + :P2 V-i + -- + sA=°
из которых вг- легко вычисляется через коэффициенты pv р2,---Рп уравнения (1) или, что то же, через элементарные Ф. с.
Типы с двумя и более показателями (ij г2), (г, г2 г3), при помощи формул Барита приводятся к суммам Для примера выполним приведение для функции
(ft h)=2 Ц1 xi
Перемножим
= 2 аз1 и s,2=2 аз2
При умножении правых частей, очевидно, получим всевозможные членывида аз1 х£, а также члены вида аз1 ’ 2, и, таким образом, имеем /,= «! + - + г2-
откуда
(г1 гг)=S/j s;2 —
Для приведения любой целой Ф. с. к элементарным симметрическим существуют методы Варинга и Гаусса, Коши, Кронекера.
Таблицы, дающие выражения Ф. с. через элементарные функции, составлялись Вандермондом, Кэли, Мак-Магоном и другими. Д. Егоров.