> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Функция V трех независимых переменных х
Функция V трех независимых переменных х
Функция V трех независимых переменных х, у, s называется Ф. г. в области пространства трех измерений, если она допускает непрерывные производные и удовлетворяет уравнению Лапласа в трех переменных
№V, №V_, зч/ _ дх2 ()у- ~ дг2
(9)
Интегральные соотношения, приведенные выше, сохраняют силу для Ф. г.. трех переменных при замене интегралов по контуру интегралами по поверхности, ограничивающей область.
Таким образом имеем
ff(uJZ-vr)d°=0’ Сю>
где ch — элемент поверхности, и интеграция распространена на границу области.
Из этой формулы сходными рассуждениями выводятся заключения, аналогичные тем, которые приведены выше. При этом лишь следует заменить функцию log -- функцией —, гдег — ]/{х — af + (у — Ь)3 + (г — с)3,
которая, как легко видеть, удовлетворяет уравнению Лапласа (9).
В результате имеем, между прочим,.
V(a,b,c)=~f f Yd“, (11)
где двойной интеграл справа распространен на поверхность сферы радиуса В, имеющей центр в точке (а, b, с), и йш — элемент поверхности этой сферы, Формула (11) дает теорему Гаусса и теорему о наибольшем и наименьшем значении Ф. г., как и в случае двух переменных.
Отсюда следует, что задача Дирихле, которая в случае трех переменных ставится так лее, как и в случае двух, может иметь лишь единственное решение.
Решение этой задачи для сферы дается интегралом Пуассона:
Г(а:
(&-Л
_3
(R2 — 2/еpeosy + p2)2
Здесь В—радиус сферы, ds— элемент ее поверхности, р — расстояние точки («, b, с) от центра сферы, у —угол между радиусами векторами, проведенными из центра к точке (а,b,с) и к переменной точке поверхности сферы.
Методы Неймана и Пуанкаре применяются к решению задачи Дмрихле в пространстве (для трех переменных).
Уравнение Лапласа для трех переменных встречается в целом ряде вопросов механики и физики. Потенциал притяжения в тех точках, где нет притягивающих масс, электростатический потенциал внутри проводника, температура при установившемся тепловом течении—все это ф. г. Д. Егоров.