> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Функция

Функция

Функция. Понятие о ф. появляется в математике в конце XVII и начале

XVIII столетия. Самый термин „функция“ в том смысле, в котором мы его употребляем, повидимому впервые встречается у Ивана Бернулли (1698). Эйлер дает уже элементарную классификацию Ф. на алгебраические и трансцендентные, явные и неявные, однозначные и многозначные и дальнейшую классификацию алгебраических Ф. на иррациональные и рациональные и этих последних на целые и дробные (смотрите высшая математика). Ближайшим поводом для обобщения и уточнения понятия о ф. послужила знаменитая „задача о колеблющейся струне“, вызвавшая целый ряд работ всех выдающихся математиков XVIII и начала

XIX столетия.

Определение Ф., которое можно считать современным, впервые точно формулировано было Лежен - Дирихле (1837). Согласно этому определению количество у есть Ф. количества аз в данном промежутке ахЬ, если каждому значению аз в этом промежутке соответствует определенное значение у. Можно сказать иначе, что функциональная зависимость имеется в том случае, когда установлено соответствие; между двумя множествами (совокупностями чисел). Одно из них объединяется символом аз (числовые значения аз), другое символом у (числовые значения у),. и мы говорим, что у есть Ф. аз, если каждому элементу первого множества соответствует определенный элемент второго.

Определение Дирихле собственно относится только к однозначным Ф. и притом от одного переменного, но непосредственно распространяется на многозначные Ф. и на случай многих, переменных: и есть Ф. переменных scj аз2,. .. азл> если каждой системе значений xv аз2,. .. хп соответствует-одно или несколько (может быть даже-бесчисленное множество) значений и. В общей теории Ф. обычно рассматривают почти исключительно однозначные Ф.; это тем более естественно, что-многозначные Ф., поскольку они появляются в анализе, допускают обычно-разбиение на несколько однозначных

Ф.; например двузначную Ф. ]/ аз для действительных значений аз молено рассматривать как совокупность двух однозначных Ф. -f |/ аз и —}/ х. В определении Дирихле не налагается никаких ограничений на соответствие, которое предполагается между значениями х и у. В последнее время со стороны многих математиков выставляется требование, чтобы это соответствие действительно фактически могло быть установлено, чтобы, иначе говоря, был дан какой либо закон, устанавливающий это соответствие.

Исследования по теории Ф. объединяются в настоящее время в два различных отдела: исследования, исходящие из общего определения Ф., ведутся в предположении исключительно действительных значений переменных и_

потому относятся к так называемой теории Ф. действительного переменного; на ряду с этим рассматривается важный частный класс Ф., так называемых аналитических Ф., и эти Ф. изучаются в области всевозможных комплексных значений аргумента; теория их поэтому называется теорией Ф. комплексного переменного.

Теория Ф. действительного переменного самым тесным образом связана с одним из новейших отделов математики — теорией множеств (совокупностей элементов). Упомянем лишь самое необходимое для дальнейшего из области этой теории. Простейшие бесконечные множества—это те, элементы которых можно привести во взаимно-однозначное соответствие с рядом целых чисел 1,2,3,4,, и, или иначе—можно перенумеровать, расположив в последовательность uv м2, мз> и±’ ’ ип> Такие множества называются счетными. Рассмотрение класса так называемых вполне упорядоченных бесконечных множеств и введение для них понятия, аналогичного понятью числа элементов конечного множества, приводит к продолжению ряда натуральных чисел 1, 2, 3, 4, „за бесконечность“, к созданию так называемых трансфинитных чисел, или трансфипи-тов. Если ограничиться рассмотрением множеств, элементы которых суть действительные числа (или группы чисел), то, прибегая к обычному геометрическому истолкованию, можно говорить о множествах точек, и, таким образом, выделяется важный отдел теории множеств—теория точечных лтоокеств, имеющая особенное значение для теории Ф. действительного переменного, в которой и значения переменных независимых и значения Ф. суть действительные числа.

Верхней гранью множества чисел Е называют такое число А, которого не превосходит ни одно число множества Е, но вместе с тем обладающее тем свойством, что в множестве Е всегда найдутся числа, превосходящие любое число А — е, меньшее А. Если число А есть само одно из чисел множества Е, то оно называется максимумом, множества Е. Аналогично определяются ниоюняя грань и минимум.

Предельной точкой точечного множества, лежащего на прямой, или в плоскости или в пространстве, называется такая точка, в любой близости которой имеются точки множества. Множество, содержащее свои предельные точки, называется замкнутым. Замкнутое множество, все точки которого суть предельные точки множества, называется совершенным.

Рассмотрим линейное множество, т. е. множество точек Е на прямой. Для простоты предположим, что оно помещается на отрезке от нуля до единицы. Покроем точки множества Е счетным множеством отрезков и вычислим сумму L длин этих отрезков. Множество чисел L, для всевозможных выборов системы отрезков, имеет нижнюю грань, которая называется внешней мерой множества Е. Множество Е точек отрезка [0,1], не принадлежащих к Е, называется дополнительным к Е. Разность длины отрезка [ОД] и внешней меры множества дополнительного к Е называется внутренней мерой множества Е. Множества, для которых внешняя и внутренняя мера совпадают, называются измеримыми (по Лебегу), и общая величина внешней и внутренней мер называется их мерой (по Лебегу).

Аналогично определяется мера плоскостных и пространственных множеств.

Частным случаем измеримых множеств являются множества измеримые по Борелю, или так называемые В-мно-оюества. Борель определяет меру линейного множества при помощи следующих принципов: 1° мера отрезка равна его длине (для плоскостного множества—мера квадрата равна его площади и так далее); 2° мера суммы конечного или счетного множества множеств, не имеющих попарно общих точек, равна сумме их мер; 3° если множество Е меры S содержит все точки множества Е меры S, то мера разности этих множеств, т. е. множества, состоящего из всех точек Е, не принадлежащих к Е равна разности S — S1 мер этих множеств. Множества, меру которых можно определить, исходя из этих принципов, и суть В - множества. Мера такого множества по Борелю совпадает с его мерой по Лебегу.

После этого отступления возвращаемая к теории Ф. действительного переменного, причем для простоты будем ограничиваться случаем одного независимого переменного.

Рассмотрим промежуток изменения переменного а х eg b. Множество значений, принимаемых Ф. У (аз) в этом промежутке, имеет верхнюю и нижнюю грани1), которые называются верхней и нижней гранью Ф. в промежутке [а, 6].

Рассмотрим далее какое-нибудь значение переменного аз0 и соответствующую ему на оси ж.точку А. Для лю- бого промежутка, содержащего точку А, Ф. f{x) имеет верхнюю грань И. Эти числа М для всевозможных промежутков, содержащих А, образуют множество чисел, имеющее нижнюю грань М (У, А), которая называется верхней гранью Ф. f(x) в точке А. Аналогично определяется нижняя грань т (У, А) Ф. в точке А. Разность Ж (У, А)— — т (f, А) называется колебанием Ф. в точке А. Если колебание Ф. в точке равно нулю, то ф. в этой точке, или, что то же, для этого значения переменного, непрерывна. Так как вообще имеем, очевидно, т (f, A)f (A) sg; М (f, А), то в точке непрерывности М (f. А) — т (f, А)=f (А), где через f (А) -обозначено значение Ф. в точке А. Если имеет место только равенство f (А)== М (У, А), то ф. называется полу-не-прерывной сверху в точке А; аналогично, если f {А)=т (f, А), то ф. полу-непре-рывна снизу в точке А. Легко убедиться, что если Ф. f (х) непрерывна для значения переменного аз0 и если переменное х стремится к значению х0 (принимая, например, последовательность значений xv аз2> имеющих пределом х0), то значения Ф. стремятся к значению ее для х=ж0, так что

lim У(аз)=У(аз0). х->хи

Если Ф. непрерывна для всех значений х в некотором промежутке, то ф. называется непрерывной в этом промежутке; если Ф. непрерывна вообще для

0 Грани эти могут быть и бесконечно велики. Если обе они конечны, то ф. называется ограниченной в промежутке.

всех рассматриваемых значений х, то она называется непрерывной. В силу теоремы, доказанной Вейерштрассом, Ф., непрерывная в каком-либо промежутке, может быть с любой точностью в этом промежутке представлена многочленом, а следовательно всякая непрерывная в каком-либо промежутке Ф. может быть представлена в этом промежутке равномерно - сходящимся рядом многочленов:

СО

f{x)= £ Pk{х),

где Pk (аз) — многочлен.

Точки, в которых Ф. не непрерывна, называются точками разрыва. Пусть А есть такая точка для Ф. f{x), соответствующая значению х=х0. Рассмотрим всевозможные отрезки оси аз, имеющие правым концом точку А. В каждом из таких отрезков, с выключением его конца А, можно рассматривать верхнюю и нижнюю грани /’(аз). Множество чисел—верхних граней У (аз) в упомянутых отрезках — имеет нижнюю грань, которая называется верхней гранью У’ (аз) слева от А; точно так же верхняя грань множества чисел—нижних граней У (аз) в упомянутых отрезках — есть нижняя грань f (аз) слева от А.

Аналогично определяются верхняя и нижняя грани f(х) справа от А.

Если верхняя и нижняя грани слева от А совпадают, то значения Ф. при приближении точки к точке А слева стремятся к некоторому пределу, который обозначают f (аз0—0). Равным образом, если совпадают верхняя и нижняя грани справа от А, то значения Ф. справа от А стремятся к пределу У (аз0 4- 0). Если при этом У (аз0—0)=f(x0), то ф. в точке А непрерывна слева; если же У(аз0 + 0)=У(азо), то она непрерывна справа.

Если совпадают верхние и нижние грани одновременно справа и слева, так что существуют пределы, обозначаемые У(аз0 — 0) и У(аз0 + 0), то точка А называется точкой разрыва 1-го рода, или точкой конечного скачка; величина скачка измеряется абсолютной величиной разности У(аз0 0) — У(аз0 — 0).

Если хотя бы с одной стороны точки А верхняя и нижняя грани Ф. не совпадают, то точка А называется точкой разрыва 2-го рода, или точкой разрыва с колебаниями.

К точкам разрыва обычно относят и те точки, в которых Ф. получает бесконечные значения. В такой точке верхняя или нижняя грань Ф. необходимо равна бесконечности. Однако, обратное заключение несправедливо. Равным образом Ф. может быть конечна во всех точках некоторого промежутка, а между тем верхняя или нижняя грань ее в этом промежутке может быть беско-нечна-велика. Так, например, Ф„ на отрезке [ОД] равная нулю для ж=0 и ~

для всех прочих значений х, везде конечна. в этом промежутке, но верхняя грань ее равна + со. Таким образом, эта Ф. в промежутке [ОД] везде конечна, но неограничеиа. Изложенное замечание находится в связи с выше установленным различием между верхней гранью Ф. и максимумом, нижней гранью и минимумом. Ф., вообще говоря, может в данном промежутке не достигать своей верхней или нижней грани. Для непрерывных Ф. имеет место теорема: Ф., непрерывная в данном промежутке, включая его концы (на данном отрезке), достигает в нем своей верхней и нижней грани, которые, таким образом, являются ее максимумом и минимумом. Теорема эта имеет силу и в том случае, если вместо отрезка рассматривать какое-либо замкнутое множество значений х.

Ф. называется в данном промежутке монот.ой (возрастающей или убывающей), если с возрастанием значений независимого переменного ее значения не убывают или же не возрастают. Разностью двух монот.х Ф. можно всегда выразить Ф., принадлежащую к важному классу так называемых Ф. с ограниченным изменением (a variation bогпёе). Ф. f(x) обладает ограниченным изменением в промежутке [а, Ь], если при всевозможных разбиениях этого промежутка на частичные промежутки (помощью введения промежуточных точек £С1( х2,. .. хп) сумма колебаний f(x) в этих промежуткахостается ограниченной, не превосходящей некоторого числа М. Легко усмотреть, что ф. с ограниченным изменением в данном промежутке может иметь в нем лишь счетное множество точек разрыва, притом все они необходимо— 1-го рода (это очевидно для монот.х Ф., а следовательно, в силу ранее сделанного замечания, имеет место и для Ф. с ограниченным изменением).

Выше мы видели (теорема Вейер-щтрасса), что всякая непрерывная Ф. может быть представлена равномерно сходящимся рядом многочленов. Так как сумма конечного числа многочленов есть многочлен, то моясно также сказать, что непрерывная Ф. может быть представлена как предел многочлена:

f{x)= lim Р„(ж),

я сопри чем стремление к пределу здесь имеет место равномерно, т. е. для любого (сколь угодно малого) числа е всегда можно выбрать такое целое число N, чтобы для всех м 2V имело место неравенство

f(x)-Pn{x) <

для всех рассматриваемых значений х одновременно.

Этот результат дает повод поставить общую задачу об аналитическом представлении Ф. Лебег называет Ф. аналитически представимой, если значение ее для каждого значения переменного можно построить, совершая по определенному закону конечное число или счетное множество операций сложения, умножения и перехода к пределу, исходя из значения переменного и постоянных. Может показаться странным, почему в этом определении исключены некоторые операции,как, например, деление, но дело в том, что все они могут быть выражены через вышеупомянутые.

Задача эта разрешена Лебегом, охарактеризовавшим Ф., аналитически представимые, и Бэром, давшим их классификацию. Классы Бэра строятся следующим образом. Исходный, нулевой, класс образуют непрерывные Ф. Равномерно-сходящийся ряд непрерывных Ф. есть, как известно, опять-таки непрерывная Ф. Но ряд неравномерносходящийся, члены которого непрерывные Ф., может иметь прерывную сумму. Ф. 1-го класса определяются, поэтому, как суммы рядов непрерывных Ф. в том случае, когда сумма ряда не есть непрерывная Ф. Иначе (т. к. сумма ряда есть предел суммы конечного числа его членов) можно сказать, что ф. 1-го класса определяются как пределы Ф. непрерывных в том случае, когда этот предел сам не есть непрерывная Ф. Так как, по теореме Вейер-штрасеа, всякая непрерывная Ф. может быть с любым приближением представлена многочленом, то ф. 1-го класса может быть представлена неравномерно сходящимся рядом многочленов

СО

Z Ря().

П — 1

Ф. 2-го класса определяются как пределы Ф. 1-го класса, если только этот предел сам не есть Ф. 0-го или 1-го класса. Очевидно, что всякая Ф. 2-го класса может быть представлена двойным рядом многочленов

СО СО

Е 2 «().

п~ т — 1

Классификация продолжается аналогично дальше: Ф. «-го класса определяется как предел Ф. (та —1)-го класса, если только этот предел не есть Ф. низшего класса. Ф. «-го класса может быть представлена «-кратным рядом многочленов.

Но этого, мало: пусть имеем сходящуюся последовательность f (ж), f2 (ж), /з (аз),. .. Ф. возрастающих классов (например, пусть класс Ф. равен ее индексу). Предел

lim fn(х)

п—> осесть, вообще, Ф. класса, который выше всякого конечного класса. Мы получаем, таким образом, первый трансфинитный класс, класс <о. За ним следуют классы (<о + 1)-й, (ш + 2)-й и так далее Например,®. (<о + 1)-го класса определяются как пределы Ф. класса <>. Доказано, что существуют Ф. любого трансфинитного класса, так что классификация Бэра не пустая, а вполне реальная.

Все Ф., входящие в классификацию Бэра, очевидно, аналитически представимы, но и обратно, как показал Лебег, аналитически-представимая Ф. входит в классификацию Бэра.

Можно указать общее свойство, характерное для всех Ф. этой классификации.

Рассмотрим множество тех значений х, для которых

« < f (ж) < Р,

где a, р — два любых числа. Если f (ж) Ф., входящая в классификацию Бэра, то упомянутое множество есть множество измеримое по Борелю, или В-мно-жество (смотрите выше), и обратно, если для любых аир рассматриваемое множество есть В-множество, то f( ж) входит в классификацию Бэра и аналитически представима.

Так как В - множества являются лишь частным случаем множеств вообще и в частности измеримых (по Лебегу) множеств, то отсюда молено заключить, что ф., входящими в классификацию Бэра, не исчерпывается все многообразие Ф. Так оно и есть в действительности. Ф., входящие в эту классификацию, являются частным случаем того обширного класса Ф., которые называются измеримыми и которые обычно и рассматриваются в современной теории Ф. действительного переменного. Ф. f(ж) называется измеримой, если множество тех точек ж, для которыхесть измеримое (по Лебегу) множество для любых а и р. Во всех почти построениях теории Ф., Ф. f(x) предполагается измеримой; если в частности она измерима В (по Борелю), то есть если множество, выше упомянутое, есть В-множество, то f (ж) — аналитически представима и входит в классификацию Бэра. Ф. измеримые, но не входящие в классификацию Бэра, реально существуют, и примеры таковых Ф. построены.

Что касается до вопроса о существовании неизмеримых Ф., то дело обстоит следующим образом: хотя, казалось бы, самый факт существования неизмеримых Ф. не должен бы возбуждать оо- мнений, но дать какой-либо пример

245/2

подобной Ф. не представляется возможным, если°не опираться на одно положение теории множеств, так называемую аксиому Цермело (Zermelo), признание которого ведет к заключениям трудно приемлемым и которое поэтому нельзя считать общепризнанным в математике.

Для всех измеримых Ф. характерным является свойство, называемое С - свойством (по терминологии Н. Н. Лузина). Всегда можно для данной измеримой Ф. f (ж) и данного сколь угодно малого число г построить непрерывную Ф., совпадающую с fix) везде, кроме точек множества меры=г. Можно короче сказать, что всякая измеримая Ф. „непрерывна до е“. Отсюда можно заключить, что всякую измеримую Ф. можно представить рядом непрерывных Ф., а значит и рядом „полиномов, сходящимся к ней почти всюду“, т. е. везде, за исключением множества меры нуль.

Возвращаясь к классификации Бэра, следует сказать, что хотя она и не охватывает, как мы отметили, всего множества Ф., но можно сказать, что все существенно-важные типы Ф., встречающиеся в анализе, покрываются классами Бэра.

Непрерывные Ф., как было указано, образуют нулевой класс. Первый класс содержит разрывные Ф., которые могут быть представлены как пределы непрерывных Ф. Бэр дал общий критерий принадлежности Ф. к 1-му классу, введя понятие о точечной и о полной разрывности Ф. Ф. f{x) называется точечно разрывной на отрезке [о, 6], если любая точка этого отрезка или есть сама точка непрерывности, или же в любой близости к ней имеются точки непрерывности. В противном случае Ф. называется вполне-разрывиой. Это определение можно распространить, рассматривая вместо отрезка какое-либо совершенное множество точек х, так как совершенное множество имеет то общее с отрезком, что каждая предельная точка его принадлежит к множеству и обратно—каждая точка множества есть предельная точка точек множества. Поэтому, рассматривая значения Ф. только для точек множества, мы тем не менее можем всецело перенести туда обычные определения непрерывности или разрывности Ф. в данной точке. Критерий, данный Бэром, заключается в следующем: необходимым и достаточным условием принадлежности разрывной Ф. к 1-му классу является требование, чтобы она была точечноразрывна на любом совершенном множестве в области ее определения.

К Ф., удовлетворяющим этому требованию, очевидно, принадлежат Ф., имеющие только конечное число точек разрыва, а также счетно-разрывные Ф. (точки разрыва которых образуют счетное множество), значит, между прочим, все монот.е Ф. и все Ф. с ограниченным изменением. Можно сказать, что все разрывные Ф., имеющие практическое значение, исчерпываются 1-м классом Бэра. В качестве примера Ф. разрывной, но не принадлежащей к 1-му классу, можно привести Ф. х(х), указанную Дирихле, которая равна нулю для всех иррациональных и единице для всех рациональных значений х. На отрезке, где она определена, эта Ф., очевидно, разрывна в каждой точке; значит, она вполне-разрывна, и легко усмотреть, что она 2-го класса и представляется двойным пределом:

у_(а:)= lim lim (cos т лее)2”.

т со и -> оо

Заметим, наконец, что классификация Бэра распространяется и на Ф. многих переменных.

Сопоставляя результаты, изложенные выше, с тем, что было сказано в начале о классификации множеств, мы можем заключить, что В - множества образуют класс множеств, допускающих аналитическое определение. В самом деле, множество такого рода всегда может быть определено как множество значений х, удовлетворяющих двойному неравенству

<<f(aO<P,

где f{x) Ф. классификации Бэра и, следовательно, аналитически представимая.

Не следует, однако, думать, что В-множеетвами исчерпываются аналити-чески-определимые множества. Множество может считаться аналитически-определимым, если его можно определить как множество значений одного из многих переменных, связанных несколькими равенствами и неравенствами, в которые входят Ф. этих переменных, аналитически представимые, т. е. Ф. многих переменных, входящие в классификацию Бэра. Одним из простейших типов после .В-множеств являются так называемые А - множества (М. Я. Суслин и Н. Н. Лузин), которые молено определить как множества значений счетно-разрывной Ф. для значений ж в каком-либо промежутке. Если y — f(х) есть такая Ф„ то множество рассматриваемого типа есть множество точек на оси у, получаемое проектированием на ось у точек кривой у=f (х), соответствующих точкам некоторого отрезка на оси х.

Обратимся к рассмотрению в пределах общей теории Ф. основных операций анализа бесконечно-малых: дифференцирования и интегрирования.

Производная Ф., f{x), как известно, определяется как предел для А=гО отношения

r(x,h)=f(-x + hl-fix).

Одно время полагали, что для всякой непрерывной Ф. этот предел существует. Вейерштрассе построил пример непрерывной Ф„ которая ни для какого значения х не имеет производной. Ф. эта определяется бесконечным рядом

СО

£ ап cos (bn иге),

л=0

рде 0<а<1, и b есть нечетное целое число такое, чтоаbу-1 -f—g-

Ф. дифференцируемые, т. е. имеющие производную для всех значений пере-

f (x)=D+f(x)=D+f

Заданием в данном промежутке своей производной Ф., как известно, определяется в этом промежутке до произвольного постоянного. Как обстоит дело, если задано одно из производных чиселе Если это производное число везде конечно, за исключением, может быть, счетного множества точек, то ф. тоже определяется до произвольного постоянного. В других случаях Ф. может и не вполне определяться, т. е. могут существовать существенно разменного, за исключением, может быть, отдельных исключительных, являются частным подклассом в классе непрерывных Ф.

Обратимся к рассмотрению отношений г (аз, А) в самых общих предположениях. Для данного значения аз отношение г (аз, А) есть Ф. аргумента А. Предположение существования предела у (ж, А) для А=0 эквивалентно требованию, чтобы точка А=0 была точкой непрерывности для Ф. у (ж, А). Вообще говоря, этого, конечно, не будет, и для А=0 будут иметь место все те возможности, которые выше были рассмотрены в точке разрыва Ф. Для у (ж, А) можно, согласно предыдущему, в точке А=0 рассматривать 4 количества: верхнюю и нижнюю грань справа и верхнюю и нижнюю грань слева. Эти 4 количества соответственно называются верхним и нижним правыми, верхними нижним левыми производными числами Ф. f{ж) в точке ж (производные числа Dini); их иногда обозначают следующим образом:

D+ f(x), -D_|_ f (ж), D~f(ж), D_ f (ж).

Числа эти могут быть конечными или лее могут равняться +со или — <ю.

Если равны два правых производных числа, то существует предел отношения у (ж, h) для положительных значений А, равный общей величине DJrf(x)= — D+f(ж); этот предел называется правой производной Ф. f (ж). Равным образом, если D~f(x)=D_f(x), то эта общая величина называется левой производной. Обычная производная существует, если все четыре производных числа совпадают между собою, и тогда

x)=D-f(x) — D_f(x).

личные Ф. с одним и тем же производным числом.

Классическое определение интеграла применимо к непрерывным Ф. и к довольно узкому классу разрывных. Лебег дал новое определение интеграла, применимое к гораздо более широкому классу Ф.

Пусть f (ж) измеримая, ограниченная Ф., данная в промежутке [а, Ь]. Пусть L и I верхняя и нижняя грани значений f (ж) в [а, Ь]. Разобьем промежуток

[L, I] на частичные, вводя промежуточные значения

— о> h> h’ п-1> —

Рассмотрим множество значений ж, для которых f(x) содержится между двумя соседними lk и введем обозначение для меры такого множества:

mes { Е[ ггё/(ж)<г,.+1] }.

Две суммы

α= . mes |е [г/,(я5)<гг-+1]|

Е= Е h mesj Е [ £г- _< f (ж) ss г,- ]|,

как нетрудно доказать, стремятся к общему пределу, независимо от закона разбиения промежутка [L, г] лишь бы разности Ц — lt _ j стремились к нулю, и этот общий предел и есть интеграл Лебега Ф. f(x), обозначаемый, как и классический интеграл, ь

f f{x)dx.

а

Таким образом, всякая ограниченная измеримая Ф. интегрируема по Лебегу пли, как иногда говорят, суммируема. Если Ф. f (ж) неограничена, то заменяем се Ф. fM(x), которая совпадает с f(х) везде, где f(x) <M и равна ± М везде, где (ж) |5з= Ж. Ф. fM(x) ограничена и следовательно суммируема. Ее интеграл Лебега в пределах от а до b есть Ф. М; если существует его предел для М=оо, то этот предел и считаем интегралом Лебега данной Ф. f (ж) от а до b. Таким образом, из класса измеримых Ф. выделяется под-класс Ф. суммируемых, включающий в себя все ограниченные Ф., но содержащий и неограниченные.

Если Ф. f(x) интегрируема в классическом смысле, то ее интеграл Лебега совпадает с классическим интегралом этой же Ф. Интеграл Лебега обладает всеми основными свойствами классического интеграла.

Интеграл Лебега с переменным верхним пределом

f(x + h)

+ТГ(ж) + 0Г(ж) + ---+Т f{n) (а

J f(x)dx=F (ж)

аесть непрерывная Ф. ж с ограниченным изменением. Мало этого, можно-доказать, что F (ж) есть Ф. абсолютнонепрерывная, т. е. что если мы возьмем конечное или счетное множество-каких-либо отрезков внутри области определения F (ж), то сумма колебаний F (ж) в этих отрезках стремится к нулю вместе с суммой длин этих отрезков, и это свойство есть характеристичное для неопределенного интеграла Лебега.

Ф. F(x), как показал Лебег, имеет почти всюду (т. е. за исключением множества меры нуль) производную, равную f(ж). Таким образом, интеграл Лебега решает задачу нахождения примитивной для данной суммируемой Ф, f(x), т. е. задачу нахождения Ф. F (ж), производная которой равна f(x):

F (ж)=f (ж),

при чем это равенство имеет, вообще говоря, место только „почти всюду“.

Существуют и дальнейшие обобщения определения интеграла, из которых следует отметить интеграл Данжусп (Denjoy), решающие задачу для несколько более широкого класса Ф. Если же отказаться от требования дать регулярный процесс для определения примитивной, то эта задача сама по себе в наиболее общем виде решается (Н. Н. Лузин) для любой измеримой Ф.„ почти всюду конечной, и притом существует бесчисленное множество существенно различных (отличающихся не только на постоянное) непрерывных Ф. F(x), для которых почти всюду F1 (ж)=f (ж).

Выше было упомянуто, что дифференцируемые Ф. являются частным подклассом класса непрерывных Ф. Еще более частное семействоФ. получим, предположив существование производных сколь угодно высокого порядка. Для такой Ф. имеет место для любого значения ж (за исключением тех, для которых нарушаются наши предположения) разложение в конечный ряд Тэйлора:

= /Ч®) +

) + (n++iyif(n+1)(x+eh) (0<0<D-

Предположив, наконец, что предел остаточного члена равен нулю для м-> со, приходим к классу так называемых аналитических Ф., для которых в области любого значения ае (может быть за исключением некоторых отдельных значений) имеет место разложение в бесконечный ряд Тэйлораили при изменении обозначений:

Х — Хг,

f(x)=zf(x0)+

t/Q (X

-/“(аьЧ—

®о>

1.2

2 (ж — жп)”,

Г (V ++ и, / <:п) (®0) + (А)

Вопрос о сходимости степенного ряда <А) естественным образом приводит к необходимости рассмотрения не только действительных, но и комплексных значений переменного. Так, разложениепо степеням ж Ф. ——т- оказывается 1+ж2

сходящимся только внутри отрезка (— 1, +1), хотя точки —1 и 4-1 ничем особенным не выделяются по отношению к рассматриваемой Ф. Дело становится ясным из рассмотрения Ф.

1 „

-5- для комплексных значении ж:

14-ж2

Ф. эта имеет особые точки ж=±]/—1, и ряд по степеням ж сходится внутри круга с центром в начале, окружность которого проходит через упомянутые точки. Результаты, полученные в этом направлении Коши (Cauchy), в значительной мере послужили основанием для создания общей теории аналитических Ф. комплексного аргумента.

В основе этой теории лежит известное геометрическое изображение мнимого количества z — ж 4- iy точкой (ж, у) плоскости с прямоугольными Декартовыми координатами ж, у. Каждому значению z соответствует точка плоскости и обратно; кроме того, мыслится одна идеальная „бесконечноудаленная“ точка, соответствующая значению г — со. На плоскости мнимого переменного приходится рассматривать линии, причем непрерывной линией (в смысле Жордана) называется геометрическое место точек, определяемых двумя уравнениями x=у ~ <b (t), где <р и две однозначных непрерывных Ф. действительного параметра t. Дальнейшее ограничение вносится требованием, чтобы линия не имела кратных точек, для чего налагается требование, чтобы соответствие между значениями t и точками линии было взаимно-однозначное. Линии, с которыми чаще всего приходится иметь дело в теории аналитических Ф., предполагаются, кроме того, имеющими длину; другими словами, для всякой дуги такой линии периметры вписанных многоугольников стремятся к пределу при увеличении числа сторон, для чего достаточно потребовать ограниченности этих периметров. Таковые линии называются спрямляемыми.

областью в плоскости называется множество связное и состоящее исключительно из внутренних точек; другими словами: 1° каждые две точки области могут быть соединены ломаной линией, целиком принадлежащей к области; 2° около каждой точки области, как около центра, можно описать круг, все точки которого суть точки области. Границей области называют множество точек, которые одновременно являются предельными для точек, принадлежащих и не принадлежащих к области (внешних точек). Граница области может быть весьма сложной структуры. В частности она может состоять из одной или нескольких Жордановых замкнутых линий. По теореме Жордана обратно можно утверждать, что всякая замкнутая, простая (без кратных точек) Жорданова линия ограничивает область. Окрестностью точки s0=ж0 -)-4- iyo называют какую либо область, содержащую точку z0 и все точки z которой отстоят от 20 меньше известного предела h : z — s0| < h. В частности можно описать около z0 окружность радиуса h.

На ряду с переменным z=x- -iy рассмотрим переменное w=и -J- iv.

Если каждому значению z соответствует определенное значение w, то можно сказать, что w есть Ф. г и обозначать w~f(z); при этом между плоскостями х,у я и, v этих переменных устанавливается соответствие, в силу которого каждой точке (аз, у) первой плоскости соответствует определенная точка (и, v) второй. В таком общем виде определение Ф., однако, не представляет самостоятельного интереса: в самом деле, ясно, что каждая из координат и, v является Ф. аз и у, и обратно—всякая пара Ф. u,v двух действительных переменных аз,у дает Ф. w — u- -iv переменного z — х -j- iy в том общем смысле, какой установлен выше. Для того, чтобы иметь в собственном смысле Ф. комплексного переменного z, следует ввести ограничение, к которому придем, рассматривая отношение

f(Zo-Jrbz)—f{z0) _ Aw Az ~~ As

Пусть точка z0 + Az по какому-либо пути стремится к точке z0 (и следовательно модуль Дг стремится к нулю). „ „ Aw

Вообще говоря, отношение можетпри этом стремиться к различным пределам в зависимости от пути точки г0-(-Да. Потребуем в частности, чтобы упомянутое отношение стремилось к одному вполне определенному пределу, независимо от пути точки z0 -f А г. В таком случае будем говорить, что ф. f (г) имеет в точке г0 производную f (г0). Ф. f (2), определенная в некоторой области Т (в частности—во всей плоскости), называется аналитической в Т, если она в Т однозначна (т. е. в каждой точке области Т имеет одно значение) и в каждой точке Т имеет производную f (г). Ф. fiz) называется аналитической в точке 20, если она аналитическая в окрестности z0.

Требование существования производной р (z) в области Т, при допущении дифференцируемости Ф. и, v, приводит к так называется уравнениям Коши-Римана:

ди dv 5w ___dv_

дх ду ’ ду дх

Обратно, если имеем две однозначных Ф. и, v переменных аз, у, удовлетворяющие уравнениям (В), то они определяют аналитическую Ф. w=и -f- iv комплексного переменного z~x- -iy. Каждая из Ф. и, v отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа:

д2и д2идх2 ду2

(С)

Обратно, имея решение и(х,у) уравнения (С), из соотношений (В) квадратурами находим „сопряженную“ Ф. » (определяемую до произвольного постоянного) и, следовательно, Ф. комплексного переменного w=и + iv. Таким образом, устанавливается тесная связь между аналитическими Ф. комплексного переменного z и Ф. двух действительных переменных х, у, удовлетворяющими уравнению Лапласа. (С) — так называемыми „гармоническими“ Ф.

Если имеем Ф. w — f(z) аналитическую в точке Zq и если р (г0) отлична от нуля, то соответствие, устанавливаемое Ф. f (z) между плоскостями переменных 2 и го, таково, что окрестность точки Zq непрерывно и взаимно-однозначно отображается на окрестность точки w0=f (z0) и притом любые две линии, проходящие через точку 20 на, плоскости 2, отображаются на плоскости w двумя линиями, пересекающимися в точке w0 под тем зке углом. Если f (2)—аналитическая Ф. в некоторой области Т, и если везде внутри этой области Г (2) отлична от нуля, то области Т соответствует на плоскости го некоторая область Г, причем соответствие это взаимно-однозначное, непрерывное и с сохранением углов; отсюда следует также и сохранение гго-добия в бесконечно-малых частях. Такое соответствие называется конформным, и Ф. w — f{z), таким образом, конформно отображает область Т плоскости г на область F плоскости w„ Обратно, конформное соответствие двух областей всегда осуществляется некоторой аналитической Ф.

Задача конформного отображения одной области на другую может быть, путем введения третьего комплексного, переменного, сведена к задаче конформного преобразования данной области Т на круг (или на полу-плоскость). область

Т предполагается односвязной, т. е. граница Т предполагается образующей одно непрерывное связное множество.

Задача состоит в изыскании аналитической Ф. f (г), осуществляющей конформное преобразование области Т на внутренность круга и устанавливающей взаимно - однозначное соответствие между границей Т и окружностью круга. В такой форме задача сначала решалась для более или менее частных случаев; Еаратеодори (Сага-theodory) решил ее для области, ограниченной любой простой замкнутой Жордановой линией. Случай наиболее общей односвязной области потребовал детального исследования структуры границы области, и это исследование тоже было выполнено Каратеодори.

Определение аналитической Ф., данное выше, предполагает заранее данную область. Для того, чтобы получить окончательное общее определение, необходимо ввести понятие аналитического продолжения. Пусть дана Ф. f (г) аналитическая в_ области Т. Пусть имеется область Т, граничащая с областью Т по линии С. Если возможно для точек области Т и линии G построить такие значения <р (г) и W, что совокупность значений f (г), <р (г), W образует одну Ф. аналитическую в области, об£а-зуемой совокупностью областей Т, Т и линии С, то tp (г) и W называются аналитическим продолжением f (г) в область Т.

В основе понятия аналитического продолжения лежит теорема „единственности“, которая может быть формулирована так: Ф. аналитическая в данной области и исчезающая для точек множества, имеющего хотя одну предельную точку внутри области (например, на дуге кривой, лежащей внутри области), тожественно равна нулю вобласти. Отсюда следует, что две аналитические Ф., совпадающие в точках множества, имеющего хотя одну предельную точку внутри области, совпадают во всей области. Теорема единственности в известной мере, при некоторых ограничениях, распространяется на случай множества, лежащего на границе области.

Возвращаясь к определению аналитической Ф., предположим, что нам дана Ф. f(z), аналитическая внутри данной области Т. Строим возможные ее аналитические продолжения в примыкающие области Т; получаем аналитическую Ф., определенную в более широкой области. Продолжаем этот процесс и определим в конце концов аналитическую Ф. как совокупность f{zy и всех получаемых продолжений. При этом в процессе всего построения, в силу теоремы единственности, не может быть нескольких различных продолжений через одну и ту же линию С. Окончательно полученная нами область % может или состоять из всей плоскости с выключением того или иного множества точек, недостижимых в процессе продолжения и называемых особыми точками Ф., или же область £ есть область ограниченная (например, внутренняя область замкнутой Жордановой кривой), и тогда имеем Ф. с так называемой естественной гранигей, за которую она не может быть аналитически продолжена; может быть и так, что ф. определена вне некоторой ограниченной области, внутрь которой она не может быть продолжена. Примером Ф. с естественной границей может служить Ф., определяемая рядом

1 + 2 е + 2<е4 + 2р9 + »

для которой естественной границей служит окружность круга радиуса=1 с центром в начале.

При всевозможных аналитических продолжениях первоначально данной Ф. мы можем получать перекрывающиеся области (например, область Т может частично перекрываться с Т; см. чертёж 2). Если при этом во всякой точке области определения Ф. % получается только одно значение, то ф. называется однозначной, в противном случае — многозначной.

Весьма важную роль в теории аналитических Ф. играет операция интегрирования по контуру. Пусть имеем аналитическую Ф. f z) и дугу спрямля

емой линии („контур“) С внутри области Т, в которой дана Ф. f(z). На линии С берем последовательность точек z2, zk,, zn, причем Sj и zn, совпадают с началом и концом дуги С. Суммастремится к определенному пределу при увеличении числа точек zk, если

В окрестности любой точки внутри G Ф. f(z) по предположению—аналитическая. Теорема верна и для многосвязной области, ограниченной несколькими линиями О1, С2,. . Сп (смотрите чертёж 3).

Если Ф. f (г)—аналитическая в области любой точки внутри контура С, за исключением нескольких отдельных точек, и однозначна внутри С, то

f{z)dz=% f f(z)dz,

С

сI

где Ct — контур, описанный около особой точки г£, например окружность круга, имеющего zi своим центром. Интеграл

/ f(z)dz,

С/

очевидно, не зависит от радиуса этого круга и называется интегральным вы-

Чертёж 3.

четом для точки zL.

Из теоремы Коши следует так называемая формула Коши: если точка z лежит внутри области Т, в которой Ф. f (г)—аналитическая, то

f (t) dt t — z ’

(E)

только каждая из разностей ziJrl—zt при этом стремится к нулю. Предел этот называется интегралом f{z) по контуру С и обозначается:

f f (s) dz.

С

Основной теоремой теории является так называемая теорема Коши: „Если Ф. f(z)—аналитическая везде в области Т (а следовал, и однозначная) и если внутри этой области имеем замкнутую спрямляемую линию С, то интеграл взятый по этой линии равен нулю“:

J f(z)dz — 0. (D)

с

Линия С ограничивает некоторую область, лежащую внутри области Т.

где С — линия, ограничивающая область Т. Отсюда простым дифференцированием по z получаетсяи вообще

f{t)dt

{t—zе

f(t) dt

(P)

Из этих формул следует, что аналитическая Ф. имеет производные любого порядка и что все они тоже аналитические Ф.

Из формулы Коши (Е) легко получается разложение аналитической Ф. в ряд Тэйлора:

f (s0) f“ (г0) »

f{z)=f(z0) -1--р- (г — г0) + -j—Y — го) +

f(n) (z0)

п!

(z-z0)n + (G)

Ряд этот сходится равномерно внутри круга с центром в точке г0, внутри которого ф. f (г) — аналитическая. Наибольший возможный круг получим, описывая из г0, как из центра, окружность, проходящую через ближайшую к г0 особую точку Ф. f (г).

Вейерштрасс пошел обратным путем. Аналитическая Ф. определяется, согласно его теории, данным степенным рядом

СО

$(« —«о)= 2 «л (« — zo)n

п=ож всеми его продолжениями, причем под продолжениями разумеются степенные ряды, идущие по степеням разностей (г —s0), где г0—точка, лежащая внутри круга сходимости одного из „продолжаемых“ рядов. Продолжить Ф. вдоль пути L значит построить ряд кругов, имеющих центры на L, причем центр каждого следующего лежит внутри предыдущего (смотрите чертёж 4), и круги

эти служат кругами сходимости соответствующих степенных рядов. Коэффициенты каждого следующего ряда могут быть вычислены, как коэффициенты ряда Тэйлора, по данному предшествующему ряду. Аналитическая Ф., таким образом, определяется счетным множеством а0, ах, а2,.. . коэффициентов первоначально данного степенного ряда. Этот ряд вместе со всеми степенными рядами—его продолжениями, дает полное определение аналитической Ф., а область, покрытая всеми кругами сходимости, есть область определения Ф. Точка, которая может быть сделана центром одного из кругов, есть обыкновенная точка; особые точки — это точки границы области определения, недостижимые „продолжением“. Если, исходя из произвольной точки z

и продолжая Ф. по любому пути, приходящему обратно в г, возвращаемся всегда с первоначальным значением, то ф.—однозначная, в противном случае—многозначная. Если внутри некоторой области все точки — обыкновенные, то ф. внутри этой области необходимо однозначная. Это следует из того, что при продолжении Ф. по пути, выходящему из точки z и возвращающемуся в ту же точку, мы приходим вес прежним значением, если внутри области, ограниченной упомянутым замкнутым путем, нет особых точек Ф. Могут быть и особые точки, при обходе которых мы возвращаемся с прежним значением; в окрестности такой особой точки Ф. однозначна. Ф., однозначные во всей области определения, могут иметь только такие особые точки. Особая точка, в достаточно-малой окрестности которой нет других особых точек, называется изолированной. Если Ф. в окрестности точки z0 однозначна и везде, кроме точки г0, — аналитическая, а сверх того во всей окрестности ограничена по абсолютной величине (по модулю), то можно доказать, что она аналитическая и в г0, т. е. что г0 — обыкновенная точка. Пусть теперь z0 — особая изолированная точка однозначной Ф. В таком случае, согласно пред-идущему, в окрестности этой точки Ф. f(z) не может быть ограниченной. Рассмотрим обратную величину f{z)

Везде в окрестности г0 <р (г)—аналитическая Ф.; если для 9 (г) и z0 обыкновенная точка, то необходимо

9 (г0)=0,

следовательно при разложении в ряд Тэйлора по степеням z — z0 необходимо а0=0; пусть вообще а0=ах=а2.. .==ап_г= 0 и ап Ф 0; тогда

9 (z)=(z — z0)nd>(z),

где ф (з0) 4= 0 и z0 — нуль и-го порядка; а для Ф. f(z) имеем в г0 так называемый полюс и-го порядка. В полюсе имеем f(z0)=со и в окрестности z0

f (s)=(« — Sq) “ и х (я),

где x(s)= — Ф. аналитическая в г0.

Изолированная особая точка однозначной Ф., которая не есть полюс, называется существенно-особой точкой. В окрестности такой точки, как показал Вейерштраес, Ф. сколь угодно близко подходит к любому значению. Из формулы Коши легко получается разложение Ф. в окрестности существенно - особой точки в ряд Лорана (Laurent)

со — оо

f(z)= 2 an(z — z0)n + £ an(z-z0)n.

n — 0 ra=—1

Если членов с отрицательными степенями конечное число, то точка «0 есть полюс.

Можно расширить определение существенно - особой точки, допустив в окрестности ее существование полюсов. Относительно поведения Ф. вблизи такой точки имеет место теорема Пикара. в окрестности существенно-особой точки Ф. принимает всевозможные значения за исключением, самое большее, двух. Молено говорить о поведении Ф. и в области точки г=оо. Для суждения об этом совершаем преобразованиег=—

Z

и Ф. <р (z)=f

исследуем в окрестности г=0. В этом смысле говорят, что ф. f (z) в бесконечности имеет полюс или существенно-особую точку и так далее

Ф., которая на всей плоскости не имеет особых точек, называется целой трансцендентной Ф.; она может быть представлена степенным рядом, сходящимся на всей плоскости. В точке г —со такая Ф. вообще имеет существенно-особую точку; если, в частности, точка z — оо есть полюс п-го порядка, то наша Ф. есть многочлен п-й степени. Ф., которая на всей плоскости мнимого переменного имеет только полюсы, называется мероморфной; в бесконечности она имеет вообще существенно-особую точку. Мероморфная Ф. может быть представлена отношением двух целых трансцендентных Ф. Если точка s=со в частности есть полюс или обыкновенная точка, то число полюсов на всейплоскости необходимо конечно, и Ф, есть рациональная Ф.

Особые точки Ф. могут быть и не изолированными; в частности существуют Ф. с особыми линиями; примером таковых могут служить Ф. с естественной границей.

Можно поставить себе задачу: построить аналитическое выражение, представляющее Ф. во всей области ее существования. Наиболее приближается к решению этой задачи результат Мит-таг-Леффлера: соединяем любую обыкновенную точку Ф. со всеми ее особыми точками и продолжаем полученные прямые в бесконечность. область, которую получим, вырезая из плоскости бесконечные лучи, идущие от особых точек в бесконечность по продолжению выше упомянутых радиусов-векторов, называется звездой Миттаг-Леффлера. Ф. может быть представлена, рядом многочленов, сходящимся в любой точке звезды и равномерно-сходя-щимся в любой области, целиком лежащей внутри звезды. Ряд многочленов вполне может быть определен по разложению Ф. в ряд Тэйлора в окрестности исходной точки.

Этот результат Миттаг - Леффлера дает повод указать на необходимость, строго различать понятия аналитической Ф. и аналитического выражения. Одно и то лее аналитическое выралсение моясет в разных областях определять различные аналитические Ф., и ряд. полиномов

СО

2 р„(г),

п= О

котор. сходится в некоторой области Т, вообще говоря, не определяет в Т одной аналитической Ф. Согласно результатам Осгуда (Osgood), в любой части области Т всегда находится область, в которой ряд 2 Рп (г) сходится равномерно и определяет там аналитическую Ф. Вообще говоря, внутри Т существует бесчисленное множество Ть Т2, Т3, таких областей равномерной сходимости, в которых данный ряд определяет, таким образом, бесчисленное множество различных аналитических Ф., не являющихся одна аналитическим продолжением какой-либо из других.

Исследование многозначных Ф. удобнее всего вести, пользуясь так называется Римановыми поверхностями. Ограничимся здесь упоминанием наиболее часто встречающегося типа особых точек многозначных Ф.; это — точки ветвления алгебраического характера. В окрестности такой точки Ф. определяется рядом видасо и — со тг

f(z)= 2 ап (з — г0)е + 2 ап(з-з0)ч,

л=0 п=— 1

где q — целое положительное число. Если /(я)—алгебраическая Ф., то число членов с отрицательными показателями всегда конечно. При обходе точки ветвления различные значения Ф. переходят одно в другое. Примером точки ветвления может служить точка г — О

от /— JL для Ф. w=y з=я«.

Особенно разработана в настоящее время теория алгебраических Ф. и связанная с ней теория интегралов алгебраических Ф., так называемых Абелевых интегралов. Простейшие Абелевы интегралы—это интегралу, зависящие от корня квадратного из многочлена 3-й или 4-й степени. Обращение их приводит к однозначным двояко-периодическим Ф., к так называемым эллиптическим Ф.

В общей теории многозначных Ф. кардинальное значение имеет результат Пуанкаре, согласно которому для всякой многозначной Ф. w — f(e) можно подыскать такое вспомогательное переменное t — „униформизируьощее“ переменное, что да из одновременно являются однозначными аналитическими Ф. t: w — o (t), z=!j (t). Исключение t из этих двух соотношений приводит к соотношению дα= f (я). Полное и строгое доказательство результата Пуанкаре потребовало целого ряда работ (Кебе и друг.), и, таким образом, создалась целая теория „униформиза-ции“. Д. Егоров.