> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Циссоида

Циссоида

Циссоида, плоская кривая линия, изобретенная греческим ученым II в до н. э. Диоклесом для геометрического решения знаменитой в древности задачи об удвоении куба. Ц. может быть начерчена следующим образом: строят круг с диаметром ОА—а и в точке А к нему касательную; из точки О проводят к кругу секущие линии до касательной и на каждой секущей OD откладывают от точки О отрезок ОВ, равный расстоянию между кругом и касательной CD; геометрическое место точек В и будет Ц.; из построения видно, что она имеет острие в точке О и две совершенно симметричные ветви относительно диаметра ОА, простирающиеся в бесконечность и неограниченно приближающиеся к касательной UV, которая служит для Ц. асснмптотой. Уравнение Ц. легко вывести в полярных координатах: обозначая рад.-вектор О В через г, а угол ВОА=е, имеемг=CD=OD — ОС — — acs=;

С8е 1

азп25

или г= —; переходя к прямоугольным координатам, получим х=а. -j£- или х= ; х3=(а — х)у3, что

можно представить в виде:

Т.о., Ц. -кривая 3-го порядка. Для удвоения с помощью Ц. куба с ребром а, откладываем на оси 0Y отрезок 0Е=2я, соединяем точку Е с точкою А и через точку пересечения М линии ЕА с Ц. проводим прямую ON до встречи с ка-сательн. AU; тогда AN и будет стороною куба вдвое большего объёма, чем я3. Действительно:

an_мр__у

ОА ОР х ’

с другой стороны:

_—__ у .—2-

ОА РА а —х ’

но по свойству Ц.:

МР

РА

, или

— 2-

МР AN

откуда, так как 01г= находим:

AN3=2. О А3 или АХ=аъ/ 2.

Откладывая по оси 0U отрезкп За, 1а, 5а, мы подобным же образом получили бы на касательной AU отрезки длиною аj/з, a j/I, a-j/5 Ц. обладаетмногими интересными геометрическими свойствами; так, площадь между бесконечными ветвями кривой и касательной UV равна утроенной площади производящего круга. Поэтому, Ц. была предметом изучения многпх ученых, в частности Ньютона, указавшего способ для черченпя ее непрерывным движением. II. Ч.