> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Эллиптические функции

Эллиптические функции

Эллиптические функции, группа специальных функций, появившаяся в математическом анализе в связи с т. наз. эллиптическими интегралами. Из интегрального. исчисления известно, что интеграл вида

[r (ж, /Р(х)) Зх.(1),

где В—знак рациональной функции, а Р{х)—многочлен, выражается через т. наз. элементарные функции (к ним принадлежат — рациональная. иррациональная, показательная, логарифм и тригонометрические) лишь в том случае, если степень Р{х) будет не выше второй; если же Р(х) многочлен более высокой степени, то такое интегрирование, вообще говоря, невозможно. К этой категории принадлежит в частности интеграл, выражающий длину дуги эллипса:

(а<—с2ж“) dx

(а—хя) (a—(fix1)

ат. к. содержит корень квадратный из многочлена 4-й степени. В связи с этим название эллиптических получили все интегралы вида (1), когда Р(х) многочлен 3-й или4-й степени (один случай переходит в другой помощью замены переменной), не имеющий кратных корней; в этом последнем случае интегрирование оказывается выполнимым, и интегралы будут псевдоэллип-эпическими. Если степень Р{х) выше 4-й, мы имеем гипер- или ультра-эллиптические интегралы. Интегралы вида (1) являются частным случаем более общих абелевых интегралов—

JR (х, у) dx, где у—алгебраическаяфункция, то есть функция, определяемая уравнением f (х, у)=0, в котором f— целая функция.

Э. интегралы, как не выражающиеся через элементарные функции, следует рассматривать как новые трансцендентные функции и, для того чтобы иметь возможность ими практически пользоваться (а с Э- интегралами пришлось встретиться, в целом ряде вопросов), оказалось необходимым составить с достаточной точностью таблицы их числовых значений. Задача эта была выполнена (путем разложения подъинтегральной функции в бесконечный ряд) Лежандром (смотрите), исследовавшим новые функции (1825— 28) и показавшим, что все Э. интегралы могут быть сведены к 3 стандартным

формам, из которых более важными являются интегралы I и II рода:

F(kt Х)г

:/У

(1х

(1—ае-) (1—к-х-)

О),

Е (к, х)

или в эквивалентной тригонометрической форме (после подстановки х=sine):

=/,/г

-к-sin-9

(4),

однозначной функцией sin а;, оказывается целесообразным от многозначных Э. интегралов перейти к функциям им обратным. Эта черезвычайно плодотворная мысль об обращении Э. интегралов принадлежит Абелю (1823) и Якоби (1827/, пришедшим к ней независимо друг от друга (еще ранее этим вопросом занимался Гаусс). Обращение Э. интегралов и приводит нас к Э. функциям.

В интеграле I рода

А)

нужно рассматривать верхний предел, амплитуду как функцию от значения интеграла и:

E(k,<t)=:j J/T—fc-Hn-е c!f

О

где модуль к—правильная дробь, а амплитуда о меняется от— т,— до + тр Интеграл F, взятый в пределах от 0 догу, называется полным и обозначается К; если модуль к заменить на 7=1/1—А-, то соответствующий полный интеграл обозначается К:. Лежандром были составлены обширные числовые таблицы интегралов 1 и II рода, легшие в основание всех современных таблиц. Обычно полагают &=sin9 и значения Э. интегралов располагают в виде таблицы с двойным входом, где 9 и о меняются в пределах от 0° до 90 е.

Э. интегралы в их алгебраической форме обладают, как показали дальнейшие исследования, рядом важных функциональных свойств, и, в частности, Э. интеграл 1 рода, рассматриваемый в области комплексного переменного,имея для х=±1 и х=±~--

критические точки, обладает двумя полярными периодами и является т. обр. функцией бесконечно - многозначной, подобно функции arc si пае, в которую он и переходит в предельном случае к=0. И подобно тому, как удобнее иметь дело не с многозначной функцией-арксинусом, а с обратной ейе=am и(5).

Тогдах — sure -- sin аш и }

1/1 — ая=cosf=cos am и j | 1—At-aе-=у 1 — Asin1е — I=A i — A am и j что теперь записывается короче: х=srm, |/1 — х~=епщ 1—A’Oo-dnw. При этом являющийся верхним пределом Э. интеграла I рода в его алгебраической форме, оказывается, так же как и две другие функции, однозначной аналитической функцией и. Следует притом отметить, что такое обращение является возможным лишь для Э. интегралов; если степень Р(х) выше 4-й—однозначность нарушается. Полное доказательство этих предложений сделалось возможным лишь е дальнейшим развитием теории функций комплексного переменного (Лиувилль, Эрмит, см.).

Три функции sn и, on и и dnw получили название якобиееых Э. ф. При к — 0 %пхь и с пи переходят в обычные тригонометрические функции синус и косинус, ad пи в 1. Функции эти, подобно тригонометрическим, периодичны, но в отличие от них обладают двумя независимыми периодами (отношение которых мнимое). Аналогия с тригонометрическими функциями может быть продолжена и далее. Для Э. ф. существуют также формулы сложения и приведения: $п{и + п) рацыо-

1 <-hA

нально выражается через snu, спи, d.n и и sn v, on v и dn v; если аргумент и увеличивается на величину полного интеграла К, sn и переходит в простую функцию от сп и и dn и, при прибавлении к аргументу 2K—snu меняет только знак, 4К является т. обр. периодом для snu; вторым периодом служит 2iKf (то же с соответств. видоизменениями относится и к другим Э. ф.). Sn и оказывается нечетной функцией, а сп и (и dn«) четной. На ряду с двоякопериодвчностью Функции Якоби обладают другим важным с точки зрения теории функций свойством—все они имеют полюсы (1 порядка) и, не имея других особенных точек, суть, следовательно, функции дробные (мероморфные).

Абель и Якоби ввели также в рассмотрение особую целую трансцендентную функцию 0 (встретившуюся уже ранее Фурье), определяемую при помощи бесконечного, весьма быстро сходящегося степенного ряда. Кроме этой первой функции тэта, Якоби ввел в дальнейшем еще три других функции тэта и положил их в основание всей теории Э. ф. Snw, спи и dпи весьма просто выражаются через частные функций тэта. Все функции тэта очень удобно выражаются через хорошо сходящиеся тригонометрические ряды и играют значительную роль в приложениях Э. ф.

Дальнейшее развитие теории Э. ф. связано с именем Вейергитрасса (смотрите). С точки зрения Вейерштрасса, легшей в основу современной теории функций, функция определяется не внешним, формальным заданием, а своими особенностями. Такими характерными свойствами для Э. ф. являются обладание периодами и полюсами. В современном анализе Э. ф. называется всякая двоякопериодическая меро-морфпая функция, то есть функция, во-первых, удовлетворяющая равенствам f (и)=f (1C + <),)=f (и -f <os) (7), где и о>2—периоды, отношение которых мнимое (двух периодов, отношение которых было бы числом вещественным, а также более двух периодов однозначная функция — как показал Якоби — иметь не может), и, во-вторых, не имею-цая других особенностей, кроме полюсов (периодическая функция, которая не имела бы совсем особых точек, целая, была бы всюду ограниченной и в силу т. наз. теоремы Лиувилля должна была бы сводиться к постоянному). Определенные т. ор. Э. ф. обладают, как показали работы Лиувилля (1841), рядом важных свойств. Число нулей Э. ф. в параллелограме периодов равно числу полюсов и не может быть меньше двух. Число это называется порядком Э. ф. Э. ф. 7е.-го порядка принимает в паралл. периодов каждое значение и раз. Две Э. ф., имеющие одинаковые периоды и полюсы с одинаковыми бесконечными частями, отличаются лишь на постоянное слагаемое. Э. ф. этими данными т. обр. вполне определяется.

Вейерштрасс (1840) и поставил перед собой задачу построить Э. ф. по данным периодам и полюсам, приняв за простейшую Э. ф. функцию, имеющую 1 двойной полюс в точке w=ещ 4- т2 ш2, где <«! и о>2 - выбранные произвольно периоды (с тем только ограничением, что

77 — число мнимое). Как получить такую функциюе Если взять элементарную (целую) функцию sin и, имеющую корни в точках v=Аж, то из нее мож- («П иуно вывести функции --~==ctgw и

— (ctg)f=qi u> причем первая изполученных функций будет иметь v простым, а вто[ ая — двойным полюсом. Построение требуемой Э. ф. можно произвести аналогичным образом. Строится (ввиде бесконечного произведения) целая функция а (и), имеющая корнями точки w= + «2о<о2; далее из неелогарифмическим дифференцированием выводится функцияи из этой функции выводится функция £(«)=_(;(»)(9).

Полученная функция <р(и) представляет собой искомую Э. ф. 2 порядка: имеет числа од и ш2 периодами и один ДВОЙНОЙ ПОЛЮС В точке М’= 70)! +ТП2<02.

Представляется она в виде двойного ряда:

id (и) =

(10).

Л+УМ

АЫ 1(1!-wy

mi, ms

Если раньше построить Э. ф. £) («), то из нее интегрированием можно вывести функции Сие (этим путем и шел Вейерштрасс). Производная функции hd ii) есть также Э. ф. и между ними существует важное соотношение: U>V«>]-=4 ид(п})·-дф(и) ~ до. (И), где инварианты у2 и gz зависят от пе- j риодов. Это соотношение позволяет; решить задачу об обращении Э. ф. разрешая которую, мы приходим к Э. интегралу в вейергитрассовой форме:

ру“ (Ц

U ~ Ь V ifo-Vsti-Уз U2I.

Наоборот, обращение интеграла (12),! рассмотрение его верхнего предела, как функции величины интеграла, приведет нас к Э. ф. Вейерштрасса — ${и).

Три трансцендентные функции с С, JQ составляют основу вейерштрассовой теории Э. ф. Из них эллиптической является лишь функция Jfl; две другие не периодичны, но при прибавлении к аргументу чисел щ и <>2 испытывают незначительные изменения (функция С! приобретает постоянное слагаемое, а; функция а — постоянный множитель);; кроме того, функция о, как мы видели, I целая, а С имеет 1 простой полюс. Функ-1 ция р четная, а две другие нечетные. I Любую Э. ф- оказывается возможным выразить либо через функцию <м), либо через С и ее производные Тфор-мула Эрмита). либо через $(и) и |

Через функции Вейерштрасса выра-1 жается и интеграл от Э. ф., вообще не; являющийся сам Э. ф. Для вейерштрас- j совых функций существует также ряд I формул сложения и приведения, как и! для якобиевых; при этом Э. ф. %д(и) обладает алгебраической теоремой j сложения, то есть jpOx + up алгебраи- чески выражается через $(щ) и $ (и.,). I Этим свойством обладает всякая Э. ф. | (Вейерштрасс показал, что всякая одно-1 зкачная трансцендентная аналитиче-! ская функция, обладающая теоремой! сложения, будет либо рациональной; функцией от показательной, либо Э. ф.). | Функции Якоби и Вейерштрасса просто !

| между собой связаны. Так, между $(и) | и sn и существует соотношение:

Aеt) =- + ;щвй) ‘

(где А и В постоянные, зависящие от j инвариантов. Наряду с функцией о, во | многих отношениях сходной с функцией

Якоби, оказывается цепесообразным ввести еще три функции z (г=1,2,3)»

: аналогичные функциям тэта, j Теория Э. ф. более стройно развертывается на основе функций Вейерштрасса, в приложениях же более значительная роль принадлежит Э. ф. Якоби.

Введение Э. интегралов и функций, усилив аппарат интегрального исчисления, значительно обогатпло средства математического анализа. С Э. ф. и интегралами приходится иметь дело во многих вопросах прикладной и чистой математики. Так, Э. ф. встречаются в ме ханике при изучении движения маятника, простого и сферического; ими пользуются при интегрировании уравнений движения твердого тела, в некоторых вопросах теории упругости и теории потенциала. К Э. интегралам и функциям приводят задачи нахождения длины дуги эллипса, гиперболы, лемнискаты, геодезических линий на поверхностях 4-го порядка и прочие; с помощью Э. ф. разрешается проблема униформизации (параметрического представления) кривых 3-го порядка и вообще кривых I рода. В Э.ф. интегрируются дифференциальные уравнения Пикара, в частности уравнение Ламе; ими пользуются в некоторых вопросах алгебры (уравнения 5-й степени) и теории чисел (вопрос о разложении числа на сумму квадратов). В теории конформного отображения с помощью Э. ф. производится отображение многоугольных областей на верхнюю полуплоскость. Методами теории конформных преобразований молено также воспользоваться для изучения свойств Э. ф.; с другой стороны, рассмотрение этих преобразований для некоторой группы отображений приводит к интересной категории функций с «естественной границей, не могущих быть аналитически продолженными на всю комплексную плоскость(cm«.XLV,ч.2,4б>

к открытым Елейном I (1890) модулярным Э. ф.

Литератур а: Л. Ж. Legendre, „Traite d< s fonotions elliptiques et des integrities Euleriennes44,

1825_2<; C. G. J. Jacobi, „Fundamenta nova theoriao

functionum elliptiearuaT4, Konigsherg, 1S29; K. Weier-sirass, „Mathematische Werke, V-VI—Elliptisehe Fnnk-tionen“, 1915. C. Briot et J. C. Bouquet, „The rie des fonctions elliptiques44, 2 ed„ P., 1875; G. H. Halphen, „Traiid des fonctions ellipti iues“, P., 1885; P. Appell et E. Lacour, „Principes de la theorie des fonctions elliptiques44, P., 1897 (но8. изд. I922j; A. G. Green-hill, „The Applications of Elliptic Functions44, L.— N-Y., 1892; A. Cayley, „Elliptic Functions-, 1895; A. Enneper u. F. Muller, „ЕШ tiselie Funktionen4“, 1892; F. Klein u. R. Fricke, „Theorie der ellip -tischen Modulfunktionen“, 2 B., Lpz., 1890, 1892; JR. Fricke, „Die elliptisehen Funktionen44, v. 1—191G, v. II—1923; A. BJurwitz и. R. Courant, „Funktionen-ttieorie“, 3 Aufl., 1929 (русек. пер. в двух отдельных книгах: А. Гурвиц. „Теор я аналитических и эл ши- j тических функцииЛ,-М., 1933, и Р. Курант, „Геометрическая теория функций комплексной переменной-, Л.-М., 193t): A. Krazer, „Lehrhuch Лег Thetafunktionen44, В., 1930; М. А. Тихомандрицкай, „Теория .). интегралов и Э. ф.“, X., 1895; Д. Граве, | „Элем, теория Э. ф.“, 1910.—См. также общие курсы: i „Cours de М. Hermite44, redige en 1Б8: par M. Andoyer j (4 ed.} P., 1S91; pyres. пер — Ш Эрмитп, «Курс анализа“, М.-Л., 193d; Е. Goursat, „Co..rs d’Analyse matbimatique4“, t. II, 5 ed, P., 1927 (руеек. пер. 1933); E. F. Whittaker and G. N. Watson, „ A course of modern analysis“, Cambridge. 4-th ed., 1927 (pycei:. пер., ч. M, Л.-М., 1934); В. И. Смирнов, „Курс выеоткуда, исключая ©, получаем:

ж2 у2

а2 + р“=1—каноническое уравнение эллипса.

Самый Э. ц. обычно состоит из металлической крестовины (чертёж 2), -в

Y

шей математики“, т. III, М.-Л., Г. 33. — Таблицы Э. ф. и интегралов см., например, Jahnke и. Emde, „Funktionentafeln“, Lpz., 1923; по-руо кп — С. П. Гла-зенап, „Математические и асчрономич. таблн 1Ы“, Лиг., 1932; Я. N. Шшиърейн, „Таблицы специальных функций“4, ч. II, М.-Л., 1934.

А. Школьник.