> Энциклопедический словарь Гранат, страница > ЭпИЦИКЛОИДа и гипоциклоида

ЭпИЦИКЛОИДа и гипоциклоида

ЭпИЦИКЛОИДа и гипоциклоида, кривые, принадлежащие к числу рулет (смотрите XIII, 3L9/20, прил., 4.7/48), описываемые точкой окружности круга, катящегося (без скольжения) но другому — неподвижному кругу. Когда катящийся круг касается неподвижного извне, точка описывает

Эпициклоиду (чертёж 1), когда капание внутреннее — гипоциклоиду (чертёж 2).

Чертёж 2.

Если через а обозначить радиус неподвижного, через b— радиус катящегосяк руга, а за параметр t принять угол псворота катящегося круга, то уравнения Э. в параметрической форме напишутся в след, виде:

(×= {а 4- b) cos г — b cos ” » jr=(e + 6)slni-Jsin£± -

(Ур-ния гипоциклоиды можно получить из ур-ний Э. заменой Ь на —b).

Вид кривой зависит от отношения радиусов подвижного и неподвижного кругов. Если отношение— число рациональное, то кривая замкнута; При б=и Э. принимает вид сердцевидной кривой, носящей название кардиоиды (чертёж 1, 1). Привнутреннем касании, когда радиус подвижного круга в 4 раза меньше радиуса неподвижного, получается гипоциклоида с 4-мя заострениями, звездчатая кривая — астроида (чертёж 2, 2); когда радиус подвижного в 2 раза меньше радиуса неподвижного круга, то траекторией точки оказывается диаметр неподвижного круга (гипоциклоида вырождается в отрезок прямой), вдоль которого точка колеблется взад и вперёд; на этом, между прочим, основано преобразование вращательного движения в колебательное прямолинейное в некоторых механизмах ’(иногда приме-нязтся в типографских скоропечатных машинах).

Длина одной арки Э. (при изменении t от 0 до 2г. ) может быть найдена по формуле:

s — 86 (l

для гипоциклоиды — по формуле:s=8b(l — -b-).

а /

Если точка, описывающая кривую, берётся не на окружности катящегося круга, а внутри или вне его, то получаются укороченная или удлиненная Э. и гипоциклоида, называемые эпитрохоидой и гипотрохоидой (смотрите XIII, 319/20, прил., 48).

А. Дюрер первый, повидимому, рассматривал (1525) свойства Э. В XVII в этими кривыми занимались Де-ла-Гир, Дезарг, Ныотон и др.

А. Ш.