> Энциклопедический словарь Гранат, страница > Это интегрирование облегчается введением так называемых „потенциалов” скалярного V и векторного >

Это интегрирование облегчается введением так называемых „потенциалов” скалярного V и векторного >

Это интегрирование облегчается введением так называемых „потенциалов” — скалярного V и векторного —>

А. по формулам

—>

—> 1 dA —> —>

Е=— grad V — (- fU> H—rot А. (19)

Подставляя эти выражения в уравнения (11) и (15), нетрудно проверить, что они удовлетворяются тождественно (чем и оправдывается введение потенциалов), между тем, как уравнения (10) и (14) обращаются в дифференциальные уравнения второго порядка

(21) выражаются следующими формулами:

—> —> ( (г.

А (г, t) — J

)dv

V) dv R

(23)

(24)

где t=t— > a ft—расстояние междуточкой (с радиусом-вектором г), для которой определяется потенциал, и

Элементом объёма dv (с радиусом—>

вектором г), к которому относится

—►

плотность заряда или тока р, j. Таким образом, плотности эти берутся не для того момента, для которого определяется потенциал, а для предшествующего момента в соответствии с конечной скоростью распространения электромагнитных действий.

Формулы (23) и (24) можно рассматривать как общее математическое выражение этого запаздывания. Заметим, что определяемые им потенциалы также называются „запаздывающими”, или „отстающими”.

В применении к случаю электрического заряда е весьма малых размеров (в пределе точечного), движущедля потенциалов V и А:

1 mv

до —		4р		(20)
, -> 1 дЫ		—►
VlA— С2 Qtf — —		4 ~j		(21)
при дополнительном условии
1 dV -> с т +divA =		0,		(22)
которое выполняется в		связи		с со-

отношением (18).

Уравнение (20) представляет собой обобщение уравнения Пуассона (33) гл. I и называется уравнением Да-ламбера.

При р =0 оно принимает вид обыкновенного волнового уравнения, то есть уравнения распространения колебаний в упругой однородной среде, причем коэффициент с обозначает скорость этого распространения.

Общие решения уравнений (20) игося со скоростью v (которая может произвольным образом изменяться с временем) формулы (23) и (24) дают

ft(1 - vk A=V -,

с

V

(25)

где штрихи означают, что соответствующие величины—расстояние R.

скорость v, и проекция еена-R—берутся не для момента t, для которого определяются потенциалы, но для пред-

71“ г >

шествующего момента V=t — —. Заметим, что формулы (25) были впервые даны Льенаром и Вихертом.

Из этих формул с помощью (19) можно вывести выражения для напряженностей ЕяН. Они оказываются довольно сложными и сводятся к уже рассмотренным нами выше кулоновскому—

фарадеевскому полю в случае Е и биосаваровскому - максуэловскому в слу—>

чае Ы.

Связь между слагающими электромагнитного ноля и величинами г, р (которые характеризуют расположение и движение зарядов, то есть материю), устанавливаемая уравнениями Максуэла-Лоренца, может быть интерпретирована двояким образом.

В первой интерпретации материя рассматривается как первичный фактор, или „причина“, а электромагнитное поле—как вторичный фактор, или „следствие“. Математически это означает, что величины j и р считаются данными (известными), а величины

Д Н—подлежащими определению. Во второй интерпретации, наоборот, поле считается первичным фактором, а материя вторичным — местом сгущения силовых линий поля.

Развитие электронной теории привело к утверждению первой интерпретации (в обновленной форме, смотрите выше). При этом уравнения электромагнитного поля дополняются уравнениями механики электронов, определяющими движение электрона в заданном „внешнем“ электрическом поле. При таких условиях э.-м. поле может рассматриваться как посредник в процессе взаимодействия электронов, принципиально несущественный для характеристики этого взаимодействия и связанного с ним движения.

Однако, не исключена возможность того, что вторая интерпретация окажется в дальнейшем если не практически, то принципиально более правильной. Возможность эта связана с электромагнитнойинтерпретациейлшс-сы, то есть сведением ее к энергии электромагнитного поля, создаваемого соответствующей частицей. При таких условиях уравнения движения электрона могут быть выведены из дополнительного принципа, относящегося к электромагнитному полю и не содержащегося в уравнениях Максуэла-Ло-ренца (последние с точки зрения второй интерпретации служат лишь дляопределения величин р и j, характеризующих состояние, материи).